圆锥曲线常用结论

1、1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.圆锥曲线常用结论（自己选择） 椭 圆点P处的切线 PT平分 PFF2在点P处的外角.PT平分 PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线 PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.以焦点半径PR为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.2 2若Fo（Xo,yo）在椭圆 笃再=1上，则过F0的椭圆的切线方程是 巻缪 =1.a ba bX2 y2若Fo（Xo,yo）在椭圆 2 =1外，则过Po作椭圆的两条切线切点为 P1、P2,则切点a b弦P1P2的直线方程是辱缨a b2 2X y 椭圆

2、2 =1 （a b 0）的左右焦点分别为F1, F2，点P为椭圆上任意一点a b2 丫 -F1PF2 =，则椭圆的焦点角形的面积为S.f1Pf2 =b tan?.2 2X y 椭圆一22=1 （ab0）的焦半径公式：a b| MR |=a eb IMF?戶a -ex）（ Fj-c,。），F2（c,0） M （心 y。）.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点 F的椭圆准线于 M N两点，贝U MFL NF.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点 P、Q, A、A为椭圆长轴上的顶点，AP和A2Q交于点M, A2P和AQ交于点 N贝U MF

3、LNF.22=1的不平行于对称轴的弦，M（Xo, yo）为AB的中点，AB是椭圆笃笃a bkOM kAB2 ，a即Kab = 一譽。a y。2 2右FO（X0, yo）在椭x y22=1内，则被Po所平分的中点弦的方程a b2X0X w X0 ya2b22,2-a b2 2若F0（x0, y）在椭圆务占=1内，则过Po的弦中点的轨迹方程a b2yxxyy2b a b二、双曲线点P处的切线 PT平分 PF1F2在点P处的内角.PT平分 PFF2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.2xa1.2.3.4.5.

4、6.7.8.9.10.11.12.精彩文档以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切：P在右支；外切:P在左支)若P)(xo,yo)在双曲线2 2X y =1 (a0,b 0)若P0(xo, yo)在双曲线2一 .2ab22xy上，则过R的双曲线的切线方程2 2 =1 (a 0,b 0) a b外，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P，则切点弦RP的直线方程是 竽-弓 =1.2 2双曲线爲一爲=1a b点 ZF1PF ,a b(a0,b o)的左右焦点分别为F1, F2,点P为双曲线上任意则双曲线的焦点角形的面积为S F1PFb2cot-.(a 0,b o)的焦半径公式：(

5、FJ-c,。),F2(c,0)2 2双曲线m =1a b当 M(X0, y)在右支上时，|MR |二 exj a , | MF2 卜 ex - a .当 M(X0, y)在左支上时，|MF11二-ex0 a, |MF?卜-e0 - a设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点,连结AP和AQ分别交相应于焦点 F的双曲线准线于 M N两点，则MFL NF.过双曲线一个焦点 F的直线与双曲线交于两点P、Q, A、A为双曲线实轴上的顶点,AP和A2Q交于点 M A2P和AQ交于点 N,贝U MFL NF.2xAB是双曲线 2a2y1 (a0,b 0)的不平行于对称轴的弦

6、，M(X0,y)为ABb的中点，贝U Komb2Xob2x2 0a y。Kab ：a y。2 2若P)(x0, y0)在双曲线 令 $=1 (a0,b 0)内，则被Po所平分的中点弦的- b_ y。2一 b2 .方程是x；ay0yb2a2Xo2a,即 K AB13.若P0(xo, yo)在双曲线2x2a(a0,b 0)内，则过Po的弦中点的轨迹方1.2yxox yoy.bab椭圆与双曲线的对偶性质椭-(会推导的经典结论) 圆椭圆牛 ya2 b2=1 ( a b o)的两个顶点为A,(-a,0), A,(a,0)，与y轴平行的直2 2 线交椭圆于Pi、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是 与

7、厶=1.2.a b x2 y2过椭圆 =1 (a 0, b 0)上任一点A(x0, y0)任意作两条倾斜角互补的直 a bb2x线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且kBCA (常数)a y2 23. 若p为椭圆7 =1 ( a b 0)上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点，a b任 a -ca PPF1F，, PF2F .，贝Utan cot .a c 222 2x y4. 设椭圆二 2 =1 (ab0)的两个焦点为F1、F2,P (异于长轴端点)为椭圆上a b PRF2 = 1 , F,F2P 二，则有任意一点，在 PF1F2中，记.hPF2 = :sin ：c=e sin，亠

8、 sina2 2x y5.若椭圆二 2 =1 (a b0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当0a bvew 2 -1时，可在椭圆上求一点P,使得PR是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.2 26. P为椭圆 令=1 (a b 0) 上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，a b则2a-1 AF2闫PA| | PF1匸2a | AF1 |,当且仅当A, F?,P三点共线时，等号成7.椭圆（X -X。）22a.（y -y。）2b2-1与直线 Ax By，C=0有公共点的充要条件是A2a2 B2b2 一 （Ax0 By0 C）2.8.2已知椭圆x2a(1) |OP|的最小值是y

9、2 =( a b 0),0为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OP_OQ. b12|OQ|a2b2a b1142b22 牙；(2)|OP|2+|OQ|2 的最大值为一2 ; ( 3) SqPQ aba b9.10.11.12.MN的垂直平分线交22已知椭圆笃爲a2 b2线与x轴相交于点x轴于P,贝U |PF L -| MN |2=1 ( a b 0) ,A、B、是椭圆上的两点， 线段AB的垂直平分2 . 2 2 . 2a -ba -bP(x),O)，贝yx ：2 2设P点是椭圆二* ( a b0)上异于长轴端点的任一点,F XF2为其焦点a2记.EPF? “则(1) |PF1|PF2| = 1

10、.(2) S PF1F2 =b2tan 丁1+cos 日2/PF1F222x y2 2 =1 ( a b 0 )的长轴两端点，P是椭圆上的一点,a bPAB =；; , . PBA = 1 , BPA二,c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有2 2 22ab | cosa |R 22a b(1) |PA| 22 .(2) tan： tan 一 1-e2.(3) S-Pab22 cota -c cos b -a设A B是椭圆c、2 2X y过椭圆二 2 =1 (a b0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于 M,N两点，弦a b13.2 2已知椭圆a b0)的右准线丨与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直

11、线与椭圆相交于 A B两点，点C在右准线丨上，且BC _ X轴，则直线 AC经过线段EF的中点.14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16. 椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注 :在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)17.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项双曲线1.2双曲

12、线刍一a b2每=1 (a0,b 0)的两个顶点为 A(-a,0), A2(a,0)，与 y 轴2 2平行的直线交双曲线于P1、P2时AP1与A2P2交点的轨迹方程是 冷+厶=1.a2b22.2 2x y过双曲线 2 =1(a0,b 0)上任一点 A(Xo,yo)任意作两条倾斜角互a b补的直线交双曲线于 B,C两点，则直线BC有定向且kBc二- b X02(常数).a y3.2 2X y若P为双曲线 2=1(a 0,b 0)右(或左)支上除顶点外的任一点，F1,a bF 2 是焦点，.PF1F : , PF2F ；,则_Stan co f (或 c a4.5.6. taLc。4). c a2

13、2设双曲线一占=1 (a0,b 0)a2b2为双曲线上任意一点，的两个焦点为在 PF1F2Fi、F2,P (异于长轴端点)记F1PF2 二:卩证证P则有_(sin -sin ：) a2 2X y若双曲线 2 =1 (a 0,b 0)的左、右焦点分别为a bF1、F2,左准线为L,则当1v eW 、2 1时，可在双曲线上求一点 P,使得PF1是P到对应准线距离d与PR的比例中项.22X yP为双曲线 2=1 (a0,b 0) 上任一点,F 1,F2为二焦点，A为双曲线a b内一定点，贝V | AF2 | -2a 0,b 0)与直线Ax By0有公共点的充要条a b件是 A2a2 B2b2 乞 C

14、2.2 2x y8. 已知双曲线 2 =1 (ba 0), O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，a b且 OP _ OQ .,、1 1(1) 2 2|OP |2 |OQ |22b2的最小值是 _a .b -a2 过双曲线x2a9.2 y b210.11.12.13.M,N两点，弦1 1 2 2-;(2) |OP| +|OQ| 的最小值为 a b=1 (a 0,b 0)的右焦点MN的垂直平分线交 x轴于P,则2 222 ； ( 3 ) S.QPQb - - aF作直线交该双曲线的右支于|PF | _e| MN |222x y已知双曲线 2 - 2 =1( a 0,b 0) ,A、B是双曲线上的

15、两点,a b垂直平分线与2 2a2 +b2x轴相交于点P(x0,0)，则x0或x0 0,b 0) 上异于实轴端点的任一点，F 1、F2abb2 为其焦点记 F1PF2,贝y (1) |PF1 |PF2 |-1 cos 日.2 丫S 卡时2 = b cot 3.2 2x y设A、B是双曲线 2 =1 (a 0,b 0)的长轴两端点，P是双曲线上的a b一点，NPAB ,NPBA = 0 , N BPA = Y , c、e分别是双曲线的半焦距2ab |cos： |离心率，则有(1) |PA|=222-| a _c cos ； |r2.22a b 丄 cot .b2 a2 tan- tan： =1-

16、e2.(3)S PAB已知双曲线22xy22 =1 (a0,b 0)ab的右准线I与x轴相交于点E ,过双曲线右焦点F的直线与双曲线相交于 A、B两点，点C在右准线I上，且BC _ x轴，则直线AC经过线段EF的中点.14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交， 则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直16. 双曲线焦三角形中，外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e（离心率）.（注：在双曲线焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、夕卜点）.17. 双曲线焦三角形中，其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.18. 双曲线焦三角形中，半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项其他常用公式：1、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式：AB = J1 +k2 R _x2 =（1 +右| - y22、 直线的一