建筑力学课件7

1、10.1 形心、静矩及其相互关系形心、静矩及其相互关系10.2 惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径10.3 惯性矩、惯性积的平行移轴和转轴公式惯性矩、惯性积的平行移轴和转轴公式10.4 主惯性轴和主惯性矩主惯性轴和主惯性矩结论与讨论结论与讨论 构件在外力作用下产生的应力和变形，都与截面的构件在外力作用下产生的应力和变形，都与截面的形状和尺寸有关。与平面图形几何形状和尺寸有关的形状和尺寸有关。与平面图形几何形状和尺寸有关的几何量，如截面面积几何量，如截面面积A与拉压应力计算有关、与拉压应力计算有关、EA为拉为拉压杆的刚度，与变形计算有关；极惯性矩压杆的刚度，与变

2、形计算有关；极惯性矩IP与扭转切与扭转切应力计算有关、应力计算有关、GIP为扭转刚度，与扭转变形计算有关；为扭转刚度，与扭转变形计算有关；惯性矩惯性矩Iz与受弯的应力计算有关，与受弯的应力计算有关，EIz为弯曲刚度，与为弯曲刚度，与弯曲变形有关；弯曲变形有关；iz为惯性半径，与压杆的稳定性计算有为惯性半径，与压杆的稳定性计算有关。平面图形的几何量统称为截面的几何性质。关。平面图形的几何量统称为截面的几何性质。这些几何量不仅与截面的大小有关，而且与截面的这些几何量不仅与截面的大小有关，而且与截面的几何形状有关。它们与研究对象的力学性质无关，但几何形状有关。它们与研究对象的力学性质无关，但研究杆件

3、的应力与变形，研究失效问题以及强度、刚研究杆件的应力与变形，研究失效问题以及强度、刚度、稳定问题，都要涉及截面图形几何性质。度、稳定问题，都要涉及截面图形几何性质。为什么要研究截面图形的几何性质为什么要研究截面图形的几何性质截面图形的几何性质包括：形心、静矩、截面图形的几何性质包括：形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积、主轴、主惯性矩等。主轴、主惯性矩等。 截面图形的几何性质内容包括截面图形的几何性质内容包括10.1 形心、静矩及其相互关形心、静矩及其相互关系系Centroid of area, static moment1. 形心 Centroi

4、d of area 对于等厚度的平板，其重心坐标对于等厚度的平板，其重心坐标AcAy dAydAAcAz dAzdA截面的形心就是截面图形的几何中心，重心是针对实物体而言的，而形心是针对抽象几何体而言的，对于密度均匀的实物体，即 ，则形心坐标形心坐标与重心坐标重合。与重心坐标重合。constAydAyAcAzdAzAcAyAzSd2. 静矩 static momentyzOdAzyAzAySd图形对于图形对于 z 轴的静矩轴的静矩图形对于图形对于 y 轴的静矩轴的静矩静矩量纲：静矩量纲：长度长度3 ，可正、可负、可为零，可正、可负、可为零dzACy ASyAA形心、静矩及其相互关系形心、静矩及

5、其相互关系CyAzSAyAzSdAzAySdCzAyS dyACz ASzAA形心轴的概念；对称轴为形心轴形心轴的概念；对称轴为形心轴组合图形的形心、静矩及其相互关系组合图形的形心、静矩及其相互关系112211112211nnzziCCnCniCiinnyyiCCnCniCiiSSA yA yA yA ySSAzA zA zAz1111niCiziCniiniCiyiCniiA ySyAAAzSzAA例例1 求形心位置求形心位置解解： 建立参考坐标系建立参考坐标系oyzyz0zs802012010201202211ccyzAzAs3310216mm0zcSyA3216 1045120202yc

6、SZmmA对于由型钢组合的截面图形，对于由型钢组合的截面图形，必须查表必须查表确定确定各个图形的各个图形的 面积、形心坐标等参数面积、形心坐标等参数！10.2 惯性矩、惯性积、极惯惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径性矩与惯性半径（Moment of inertia; Production of inertia; Polar moment of inertia; Radius of gyration）2dzAIyAAArId2PAyzAyIzd2dyAIzA图形对图形对 z 轴的轴的惯性矩惯性矩图形对图形对 y轴的轴的惯性矩惯性矩图形对图形对 y z 轴的轴的惯性积惯性积图形对图形对 O 点的点

7、的极惯性矩极惯性矩惯性矩、惯性积、极惯性矩的计算方法惯性矩、惯性积、极惯性矩的计算方法yzOdAzyrA量纲：量纲：长度长度4AIiyyAIizz图形对图形对 y 轴的轴的惯性半径惯性半径图形对图形对 z 轴的轴的惯性半径惯性半径惯性半径的计算方法惯性半径的计算方法yzOdAzyAyAzId2AArId2PAyzAyIzdAzAyId2 0 0 0 0, 0惯性矩、惯性积、极惯性矩的特征惯性矩、惯性积、极惯性矩的特征若有一轴为对称轴，则0yzIyzOdAzyAyAzId2AArId2PAzAyId2zyIIIP222ryz222Pd(+z )dAAIrAyA22d +z dAAyAA例例2 已

8、知：圆截面直径已知：圆截面直径d 求求：Iy， IzdrdrdACzyd2 dAr r42202 dr32ddrr44P3232DdI =-P=/ 2yzIII44P/2()64yzI = I = ID -dDdzyPyzIII2P=AIr dA4p264yyIdII已知：矩形截面已知：矩形截面b h，求求：Iy，Iz ，iy，iz2yAIz dACzybhy dydAzdzdA322212hhybhIz bdzdAbdz2zAIy dA322212bbzhbIy hdydAhdy312ybhI 312zhbI 惯性半径惯性半径3/1236yyIbhhiAbh3/1236zzIb hbiAbh

9、 思 考 题判断 的正负yzIAyzAyIzd12zdzdyzAAIyAyA12AAA11zd0AIyA22zd0AIyA120yzIIIA1A210.3 惯性矩、惯性积的惯性矩、惯性积的平行移轴和转轴公式平行移轴和转轴公式 移轴定理（移轴定理（parallel-axis theorem）是指）是指图形对于互相平行轴的惯性矩、惯性积之间图形对于互相平行轴的惯性矩、惯性积之间的关系。即通过的关系。即通过已知图形已知图形对于一对坐标的惯对于一对坐标的惯性矩、惯性积，求图形对性矩、惯性积，求图形对另一对坐标另一对坐标的惯性的惯性矩与惯性积。矩与惯性积。IyIy1Iz1Iy1z1IzIyz y1=yb

10、 z1=za 已知已知： Iy、Iz、Iyz求：求： Iy1、Iz1、Iy1z1AzyAzAyAzyIAyIAzIddd1111211211ab22dddyAzAyzAIzAIyAIyz A2221=(2)yAAI=z+adAz + aza dA21211 122yyyzzzy zyzzyI= I + aS +a AI= I + bS +b AI= I+aS +bS +abAab222AAAz dA+ azdAadA2221(2)zAAI=y+bdAy + byb dA222AAAy dA+ bydAbdA1 1ddy zAAIybzaAyzyabzbaAAAAAyzdA+aydAbzdAab

11、dAddyAzASz ASy A21211 122yyyzzzy zyzzyIIaSa AIIbSb AIIaSbSabA21211 1yyzzy zyzI= I +a AI= I +b AI= I+abA在所有互相平行的轴中，截面对形心轴的惯性在所有互相平行的轴中，截面对形心轴的惯性矩最小矩最小假定假定x, y为形心轴则有以下结论：为形心轴则有以下结论：1 1x yxyI= I+abA1 1x yxyI= I例例 求右图对形心轴的惯性矩、惯性积。求右图对形心轴的惯性矩、惯性积。解：解：4633211096. 212201201212020mmIIIzzz21yyyIII3322641 111

12、11202012020353.02 101212ybhIAamm3322642222220 12012020(6025)5.82 101212yb hIA amm461084. 8mmIy0yzIzy112212CCCAzA zzAAy(yc, zc)20 120 13020 120609520 12020Cy 思 考 题bzhczy已知已知123bhIz，求，求 zcI2zzcIIa A由平行轴定理得：由平行轴定理得：其中，a为形心到z轴的距离，A为三角形的面积。2zczIIa A332()123236bhhbhbh1cossinyyz已知已知：Iy、Iz、Iyz、求：求： Iy1、Iz1、

13、Iy1z1211dyAIzA1cossinzzy211dzAIyA1 11 1dy zAIy z AAzyAzAyAzyIAyIAzIddd11112112111 1sin2cos22yzy zyzIIII11cos2sin222cos2sin222yzyzyyzyzyzzyzIIIIIIIIIIII11cossincossinzzyyyzP22211ddIArAzyIIIIAAzyzy11cos2sin222cos2sin222yzyzyyzyzyzzyzIIIIIIIIIIII10.4主惯性轴和主惯性矩主惯性轴和主惯性矩11dd12 ()sin2cos2 dd2yzyzyzIIIII 01

14、00,d12 ()sin2cos20d2yyzyzIIII 令时0dd0dd11zyII，11cos2sin222cos2sin222yzyzyyzyzyzzyzIIIIIIIIIIIIzyyzIII2tan20009090可得相差的两个角度和从而确定了一对互相垂直的坐标轴从而确定了一对互相垂直的坐标轴y0轴轴z0轴。轴。yz22min0max04212yzzyzyzyIIIIIIIII坐标轴坐标轴y0轴轴z0轴称为轴称为。0 000sin2cos202yzy zyzIIII 图形尺寸如图所示，求：图形尺寸如图所示，求：图形的形心主矩图形的形心主矩1 1将所给图形分解为简单图形的组合将所给图形

15、分解为简单图形的组合 yzyC233312333310270 1050 10150 10m300 1030 10270 1050 10iCiiCiiA yyA mm90yzyCyz4-93-3-93-3m12105010270121030010304745mm10037m10037.yz Iz0=Iz0()+Iz0() -33-9300 1030101212100721050-93-34844mm10042m10042.-3-362103010300109026-3-346010270 1050 10m试求图示平面图形的形心主惯性矩。试求图示平面图形的形心主惯性矩。 (a) 10 10 16

16、2 2 2 C o22 z y z0 y0 (-4, 9) (4, -9) 1求形心位置，由对称性可知，对称求形心位置，由对称性可知，对称中心中心C为形心。为形心。 2求图形对轴和轴的惯性矩和惯性积求图形对轴和轴的惯性矩和惯性积3936121622921012210323yImm4984122162421012102323zImm4101101298982d d2/ 2dyzIyz y zy zz 101028880 d404036z zz 1440 (a) 10 10 16 2 2 2 C o22 z y z0 y0 (-4, 9) (4, -9) 3求形心主轴的位置求形心主轴的位置976. 098439361440222tan0zyyzIII 或或o220o112 (a) 10 10 16 2 2 2