刚体运动第八次课

1、刚体运动第八次课1 第五章第五章 刚体力学刚体力学 刚体运动第八次课2 如果在所研究的问题中，物体的体积和形状如果在所研究的问题中，物体的体积和形状 是无关紧要的，那么我们就可以把它看作为质点是无关紧要的，那么我们就可以把它看作为质点 在通常的情况下，物体是不能视为质点的，在通常的情况下，物体是不能视为质点的， 我们可以把它们看为连续体，但是连续体的运动我们可以把它们看为连续体，但是连续体的运动 却是相当的复杂。为了使问题简化，通常要引入却是相当的复杂。为了使问题简化，通常要引入 一些理想的模型，如刚体、弹性体和理想流体等。一些理想的模型，如刚体、弹性体和理想流体等。 刚体运动第八次课3 第五

2、章第五章 刚体力学刚体力学 5-1 刚体的运动刚体的运动 5-2 刚体动力学刚体动力学 5-3 定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律 5-4 固体的形变和弹性固体的形变和弹性 刚体运动第八次课4 刚体（刚体（rigid bodyrigid body）在任何情况下在任何情况下, ,其大小和形其大小和形 状都不变化的物体。或者说物体上任意两点的相状都不变化的物体。或者说物体上任意两点的相 对位置保持不变。对位置保持不变。 5-1 刚体的运动刚体的运动 注意：注意： 刚体是一种理想模型，是一种科学抽象，实际的刚体是一种理想模型，是一种科学抽象，实际的 刚体是不存在的；刚体是不存在

3、的； 2. 在问题的讨论中，如果物体的形变甚微，以至于在问题的讨论中，如果物体的形变甚微，以至于 对物体的运动影响不大，则该物体可视为刚体。对物体的运动影响不大，则该物体可视为刚体。 刚体运动第八次课5 宏观宏观 机械的转动机械的转动 陀螺仪的转动陀螺仪的转动 星体的自转星体的自转 陀螺仪作为一种惯性测量器件，是惯性导航、陀螺仪作为一种惯性测量器件，是惯性导航、 惯性制导和惯性测量系统的核心部件惯性制导和惯性测量系统的核心部件. 微观微观 分子的转动分子的转动 原子的转动原子的转动 电子的自旋电子的自旋 刚体力学所讨论的问题：宏观和微观刚体力学刚体力学所讨论的问题：宏观和微观刚体力学 刚体运动

4、第八次课6 1. 平动平动 在刚体运动过程中在刚体运动过程中, 如果刚体上的任意一如果刚体上的任意一 条直线始终保持平行条直线始终保持平行, 这种运动就称为平动。这种运动就称为平动。 一、平动和转动一、平动和转动 (Translation and rotation) 平动物体的特点平动物体的特点： 1. 物体上各点具有相同的轨迹；物体上各点具有相同的轨迹； 2. 物体上各点都具有物体上各点都具有 相同的位移，因此各相同的位移，因此各 点具有相同的速度和点具有相同的速度和 加速度。加速度。 刚体运动第八次课7 结论：结论： 1. 刚体上任意一点的运动均代表整个刚体的运动；刚体上任意一点的运动均代

5、表整个刚体的运动； 2. 有关质点一切规律对于刚体的平动都满足有关质点一切规律对于刚体的平动都满足, 用质心代表整个刚体的运动用质心代表整个刚体的运动。 2. 2.转动转动 在刚体运动过程中在刚体运动过程中, , 如果刚体上所有的点都绕如果刚体上所有的点都绕 同一条直线作圆周运动同一条直线作圆周运动, ,那么这种运动就称为转动。那么这种运动就称为转动。 这条直线称为转轴。这条直线称为转轴。 刚体运动第八次课8 刚体运动第八次课9 刚体的一般运动刚体的一般运动 质心的平动质心的平动绕质心的转动绕质心的转动+ 刚体运动第八次课10 刚体的平面运动刚体的平面运动 刚体在运动过程中，各点的运动轨迹始终

6、在刚体在运动过程中，各点的运动轨迹始终在 一个平面内一个平面内 刚体运动第八次课11 在刚体转动中在刚体转动中, , 如果转轴固定不动如果转轴固定不动, , 称为定轴称为定轴 转动。过刚体上任意一点并垂直于转轴的平面称转动。过刚体上任意一点并垂直于转轴的平面称 为转动平面。为转动平面。 二、刚体的定轴转动二、刚体的定轴转动 (Fixed-axis rotation) 1. 描述刚体转动的物理量描述刚体转动的物理量 角位置和角位移角位置和角位移 与转轴垂直的固定平面称为转动平面，与转轴垂直的固定平面称为转动平面， 可有无穷多个，取其中任意一个，该转动平可有无穷多个，取其中任意一个，该转动平 面与

7、转轴的交点取为面与转轴的交点取为O点，点，x 轴为参考线轴为参考线。 刚体上任意一点刚体上任意一点P的位置，由的位置，由OP的长短和与的长短和与 x轴的夹角轴的夹角 来描述来描述 :角位置角位置 P r z x 刚体运动第八次课12 P P r z x 在在dt 的时间内，的时间内，P点运动到点运动到 点，其角位置为点，其角位置为 P ：角位移：角位移 角速度的方向由右手定则确定。角速度的方向由右手定则确定。 角速度角速度 刚体在刚体在d dt 时间内的角位移时间内的角位移d d 与与d dt 之比。之比。 )s(rad d d 1 t P d r z x 刚体运动第八次课13 角加速度角加速

8、度 刚体在刚体在 t时间内时间内 角速度的增量角速度的增量 与与 t 之比的极之比的极 限限 tt t d d lim 0 单位：单位： 2 srad 1 0 0 1 0 0 刚体运动第八次课14 刚体作定轴转动时，所有的点都具有相同的角刚体作定轴转动时，所有的点都具有相同的角 速度和角加速度速度和角加速度, 在相同的时间内有相等的角位在相同的时间内有相等的角位 移。但是位移、速度和加速度却不相等。移。但是位移、速度和加速度却不相等。 一般情况下一般情况下, 角速度和角加速度是矢量角速度和角加速度是矢量, 但在定但在定 轴转动中它们的方向沿着转轴轴转动中它们的方向沿着转轴 , 可以用带正负号可

9、以用带正负号 的标量来表示。的标量来表示。 结论结论: 注意注意: 刚体运动第八次课15 、 本来是矢量，由于在定轴转动中轴的方位本来是矢量，由于在定轴转动中轴的方位 不变，故只有沿轴的正负两个方向，可以用标量代不变，故只有沿轴的正负两个方向，可以用标量代 替。替。在刚体作匀加速转动时，相应公式如下：在刚体作匀加速转动时，相应公式如下： 2 2 1 2 0 2 0 2 00 t tt 三、匀变速转动公式（三、匀变速转动公式（ = = 衡量）衡量） 刚体运动第八次课16 四、刚体运动学中角量和线量的关系四、刚体运动学中角量和线量的关系 2 nt 2 2 d d d d d d rararv tt

10、t tctct t dd d d 由定义得：由定义得： 例例1：设圆柱型电机转子由静止经：设圆柱型电机转子由静止经300 s后达到后达到 18000 r/min，已知转子的角加速度已知转子的角加速度 与时间成正与时间成正 比，求转子在这段时间内转过的圈数。比，求转子在这段时间内转过的圈数。 解：因角加速度解：因角加速度 随时间而增大，设：随时间而增大，设： = =ctct 刚体运动第八次课17 对上式两边积分对上式两边积分 2 00 2 1 ddctttc t 由条件知由条件知 11 srad600srad 60 2 18000 , s300 t 所以所以 33 22 srad 75 srad

11、 300 60022 t c 由角速度定义由角速度定义 2 d d ct t 233 00 dd rad s 75225 t ttt 得到：得到： 3 4 3006 10 22 225 N 转子转数：转子转数： 刚体运动第八次课18 例题例题2 2 一飞轮转速一飞轮转速n= =1500r/min，受到制动后均匀，受到制动后均匀 地减速，经地减速，经t t=50 s=50 s后静止。后静止。 （1 1）求角加速度）求角加速度a 和飞轮从制动开始到静止所转过和飞轮从制动开始到静止所转过 的转数的转数N； （2 2）求制动开始后）求制动开始后t=25=25s 时飞时飞 轮的加速度轮的加速度 ； （3

12、 3）设飞轮的半径）设飞轮的半径r=1=1m，求在，求在 t=25=25s 时边缘上一点的速时边缘上一点的速 度和加速度。度和加速度。 角速度 0 v an at a r O 解解 （1 1）设初角度为）设初角度为 0 0方向如图所示，方向如图所示， 刚体运动第八次课19 量值为量值为 0 0=2=21500/60=501500/60=50 rad/s，对于匀变，对于匀变 速转动，可以应用以角量表示的运动方程，在速转动，可以应用以角量表示的运动方程，在 t=50=50S 时刻时刻 =0 =0 ，代入方程，代入方程 = = 0+at 得得 2 2 0 /14. 3 / 50 50 srad sr

13、ad t a 角速度 从开始制动到静止，飞轮的角位移从开始制动到静止，飞轮的角位移 及转及转 数数N 分别为分别为 刚体运动第八次课20 角速度 rad att 1250 50 2 1 5050 2 1 22 00 转625 2 1250 2 N （2 2）t=25=25s 时飞轮的角速度为时飞轮的角速度为 sradsrad sradt /5 .78/25 /2550 0 刚体运动第八次课21 （3 3）t t=25=25s 时飞轮边缘上一点时飞轮边缘上一点P 的速度。的速度。 rv smr rrvv /5 .78 90sinsin 0 的方向与的方向与 0 0相同相同 ； 的方向垂直于的方向

14、垂直于 和和 构成的平面，如构成的平面，如 图所示相应的切向加速度和向心加速度分别为图所示相应的切向加速度和向心加速度分别为 v r 2 /14.3smara t 角速度 由由 刚体运动第八次课22 232 /1016.6smra n 边缘上该点的加速度边缘上该点的加速度 其中其中 的方向的方向 与与 的方向相反，的方向相反， 的方向指向轴心，的方向指向轴心， 的大小的大小 为为 ln aaa l a v aa 23 222322 /1016.6 /14.3)1016.6( sm smaaa nt 的方向几乎和的方向几乎和 相同。相同。a n a 角速度 刚体运动第八次课23 例题例题3 3

15、一飞轮在时间一飞轮在时间t t内转过角度内转过角度 at+bt3-ct4 , , 式中式中a、b、c 都是常量。求它的角加速度。都是常量。求它的角加速度。 解：解：飞轮上某点角位置可用飞轮上某点角位置可用 表示为表示为 at+btat+bt3 3-ct-ct4 4 将此式对将此式对t t求导数，即得飞轮角速度的表达式为求导数，即得飞轮角速度的表达式为 3243 43)(ctbtactbtat dt d 角加速度是角速度角加速度是角速度对对t t的导数，因此得的导数，因此得 232 126)43(ctbtctbta dt d dt d a 由此可见飞轮作的是变加速转动。由此可见飞轮作的是变加速转

16、动。 角速度 刚体运动第八次课24 n i ii vmE 1 2 k 2 1 2 1 2 2 1 n i iir m 设刚体绕固定轴设刚体绕固定轴Oz以角速度以角速度 转动转动,各体元的质量各体元的质量 分别为分别为 m1 , m2 , , mn ,各体元到转轴各体元到转轴Oz的距的距 离依次是离依次是r1 , r2 , , rn， ，各体元的速度分别为 各体元的速度分别为v1 , v2 , , vn z o i r i m i v n 个体元绕个体元绕Oz轴作圆周运动的动能轴作圆周运动的动能 的总和为：的总和为： 一、刚体的转动动能一、刚体的转动动能 (Rotational kinetic

17、energy ) 5-2 刚体动力学刚体动力学 单个质点的动能：单个质点的动能： 22 11 () 22 i ki iiii Emvm r 注意：注意：ri 刚体运动第八次课25 m r i i n i 1 2 式中式中 称为刚体对转轴的转动惯量称为刚体对转轴的转动惯量 。 Jm r i i i n 2 1 代入动能公式中代入动能公式中, 得到刚体转动动能的一般表达式得到刚体转动动能的一般表达式 EJ k 1 2 2 刚体转动动能与质点运动动能在表达形式上是刚体转动动能与质点运动动能在表达形式上是 相似性的。相似性的。 用用J 表示：表示： 刚体的平动动能与转动动能的对比？刚体的平动动能与转动

18、动能的对比？思考题：思考题： n i ii vmE 1 2 k 2 1 2 1 2 2 1 n i iir m 刚体运动第八次课26 二、刚体的转动惯量二、刚体的转动惯量 (Moment of inertia ) 刚体的转动惯量刚体的转动惯量J与质点的质量与质点的质量 m 相对应相对应 。在质。在质 点运动中点运动中, 质点的质量是质点惯性的量度质点的质量是质点惯性的量度 。在刚体转。在刚体转 动中动中, 刚体的转动惯量是刚体转动惯性的量度。刚体的转动惯量是刚体转动惯性的量度。 若刚体的质量连续分布若刚体的质量连续分布 , 转动惯量中的求和号转动惯量中的求和号 用积分号代替用积分号代替 Jrm

19、rV 22 dd 与转动惯量有关的因素：与转动惯量有关的因素： 刚体的质量大小和分布、转轴的位置、刚体的形状。刚体的质量大小和分布、转轴的位置、刚体的形状。 22 kk 11 ; 22 EJEm v 2 1 n i i i Jm r 刚体运动第八次课27 1. 转动惯量的计算转动惯量的计算 （1）均匀细棒（对中点和端点轴的转动惯量）均匀细棒（对中点和端点轴的转动惯量） 将棒的中点取为坐标原点将棒的中点取为坐标原点, 建立坐标系建立坐标系Oxy,取取y 轴轴 为转轴。在距离转轴为为转轴。在距离转轴为x 处取棒元处取棒元dx, 其质量为其质量为 x l m mdd dx x y o 2 l 2 l

20、 / 2 / 2 / 2 32 2 / 2 11 d 312 l l l l mm Jxxxml ll 刚体运动第八次课28 dx x y o l 将棒的端点取为坐标原点将棒的端点取为坐标原点, 建立坐标系建立坐标系Oxy,取取y 轴轴 为转轴。在距离转轴为为转轴。在距离转轴为x 处取棒元处取棒元dx, 其质量为其质量为 x l m mdd 0 32 2 0 11 d 33 l lmm Jxxxml ll 刚体运动第八次课29 （2）均匀圆环与圆盘对过质心的垂直轴的转动惯量）均匀圆环与圆盘对过质心的垂直轴的转动惯量 均匀圆环均匀圆环: y oRdm dd 2 m ml R 22 2 00 2

21、dd 22 2 2 RR RR mm Jll R mR RmR 刚体运动第八次课30 圆盘圆盘: R o x y r dr 盘的质量面密度为盘的质量面密度为 m R 2 取半径为取半径为r、宽为宽为 dr的圆环的圆环 如图所示，其质量为如图所示，其质量为 ddmr r2 圆盘对圆盘对Oz轴轴(过过O点垂直于纸面点垂直于纸面)的转动惯量为的转动惯量为 23 00 32 0 d2d 1 2d 2 RR R Jrmrr rrmR 刚体运动第八次课31 y （3） 球体对通过球心的轴的转动惯量球体对通过球心的轴的转动惯量 球的质量面密度为球的质量面密度为 3 4 3 m R 2 dmr dy dm 2

22、4 222 11 22 1 () 2 dJdmrr dy Rydy 刚体运动第八次课32 2222 12 () 25 R R JdJRydymR 结论：结论： （1） 与质量有关；与质量有关； （2）与转轴有关；）与转轴有关； （3）与质量分布有关；）与质量分布有关； （4）与形状有关）与形状有关 刚体运动第八次课33 几种常见形状的刚体的转动惯量几种常见形状的刚体的转动惯量 刚体运动第八次课34 刚体运动第八次课35 2. 两个定理两个定理 2 C mdJJ 1. 平行轴定理平行轴定理 式中式中JC 为刚体对通过质心的轴的转动惯量为刚体对通过质心的轴的转动惯量, m是刚是刚 体的质量，体的质

23、量，d是两平行轴之间的距离是两平行轴之间的距离 。 证证 明：明： x y x y O c x c y d C 刚体上任意质量元刚体上任意质量元 ， 对对 轴的转动惯量为轴的转动惯量为 i m i moz 222 () ii iiii Jmrm xy 整个刚体对整个刚体对OZ轴的转动惯量轴的转动惯量 i m i x i y 22 () iiii JJm xy 刚体运动第八次课36 i x i y x y x y O c x c y d C i m i x i y 22 () iiii JJm xy ici xxx ici yyy 22 ()() iiicic JJmxxyy 2222 22 i

24、iicciicc mxx xxyy yy 2222 ()22() iiiciiciiicc m xyxm xym ym xy 22 cc xyd 22 cciicii JJxm xym yMd 刚体运动第八次课37 根据质心坐标的表达式：根据质心坐标的表达式： ; iiii cc ii m xm y xy mm ; iciiicii m xm xm ym y ; iiiciiic m xm xm ym y i x i y x y x y O c x c y d C i m i x i y 22 cciicii JJxm xym yMd 在在C-xy坐标系中坐标系中 0;0 cc xy c JJ

25、Md 刚体运动第八次课38 2. 垂直轴定理垂直轴定理 yxz JJJ 若若z 轴垂直于厚度为无限小的刚体薄板板面轴垂直于厚度为无限小的刚体薄板板面, xy 平平 面与板面重合面与板面重合, 则此刚体薄板对三个坐标轴的转动惯则此刚体薄板对三个坐标轴的转动惯 量有如下关系量有如下关系 x y z 证明：设薄板平面分布在证明：设薄板平面分布在xy平平 面内，则薄板对各轴的转动惯面内，则薄板对各轴的转动惯 量为：量为： 22 ; xiiyii Jm xJm y 222 () ziiiiixy Jm Rm xyJJ 刚体运动第八次课39 例例 1：一根质量为：一根质量为m = 1.0 kg 、长为长为

26、l = 1.0 m 的的 均匀细棒均匀细棒, 绕通过棒的中心并与棒相垂直的转轴以绕通过棒的中心并与棒相垂直的转轴以 角速度角速度 = 63 rad s-1 旋转旋转, 求转动动能。求转动动能。 解：先求细棒对转轴的解：先求细棒对转轴的 转动惯量转动惯量J, 然后求转动动然后求转动动 能能Ek。 将棒的中点取为坐标原将棒的中点取为坐标原 点点, 建立坐标系建立坐标系Oxy,取取y 轴轴 为转轴为转轴, 如图所示。在距离转轴为如图所示。在距离转轴为x 处取棒元处取棒元dx, 其其 质量为质量为 x l m mdd x dx x y o 2 l 2 l 刚体运动第八次课40 根据式根据式(5-4),

27、 (5-4), 应有应有 222 3 2/ 2/ 2 mkg103 .8 12 1 3 1 d 2/ 2/ ml x l m x l m xJ l l l l 棒的转动动能为棒的转动动能为 J1071J630830 2 1 2 1 222 k .JE 刚体运动第八次课41 解：两平行轴的距离解：两平行轴的距离 , 代入平行轴定理，代入平行轴定理， 得得 dl 1 2 例例2：在上一例题中：在上一例题中, 对于均匀细棒对于均匀细棒, 我们已求得我们已求得 对通过棒心并与棒垂直的轴的转动惯量为对通过棒心并与棒垂直的轴的转动惯量为 2 12 1 mlJ 求对通过棒端并与棒垂直的轴的求对通过棒端并与棒

28、垂直的轴的J。 2 C mdJJ 222 3 1 212 1 ml l mml)( 刚体运动第八次课42 R o x y 例例 3：求质量为：求质量为m、半径为半径为R 的均质薄圆盘对通的均质薄圆盘对通 过盘心并处于盘面内的轴的转动惯量。过盘心并处于盘面内的轴的转动惯量。 解：盘的质量分布均匀解：盘的质量分布均匀, 盘的质量面密度为盘的质量面密度为 m R 2 取半径为取半径为r、宽为宽为 dr的圆环的圆环 如图所示，其质量为如图所示，其质量为 ddmr r2 圆盘对圆盘对Oz轴轴(过过O点垂直于纸面点垂直于纸面)的转动惯量为的转动惯量为 r dr 刚体运动第八次课43 根据垂直轴定理根据垂直

29、轴定理 yxz JJJ 由于对称性由于对称性, , 所以所以 yx JJ 2 2 1 2mRJJ xz 解得解得JmR x 1 4 2 2 0 3 0 3 0 2 2 1 d2 d2d mRrr rrmrJ R RR z 刚体运动第八次课44 三、转动定理三、转动定理 (Theorem of rotation) xyz zxy yzx yFxFM xFzFM zFyFM 对刚体定轴转动起对刚体定轴转动起 作用的力矩是力矩沿作用的力矩是力矩沿 转轴的分量转轴的分量(Mz), 提提 供供Mz的力只是力在的力只是力在 xy 平面内的投影平面内的投影 在直角坐标系中：在直角坐标系中： kMjMiMM

30、zyx 刚体运动第八次课45 Fi mi ri fi i i z 设刚体绕设刚体绕z轴以角速度轴以角速度 转动，在刚转动，在刚 体上任取一质量元体上任取一质量元mi，其到转轴的距其到转轴的距 离为离为ri，所受外力为所受外力为Fi，内力为内力为fi。 。 根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律 iiii Ffm a 法向分量：法向分量：coscos iiiiiin Ffma 切向分量：切向分量：sinsin iiiiiit Ffma 刚体运动第八次课46 根据角量与线量关系：根据角量与线量关系： it ar sinsin iiiii i Ffmr 对于整个刚体，则有：对于整个刚体，则有： 2 sin

31、sin i iii iii i iii Frf rmr 两边同乘两边同乘ri: 2 sinsin i iii rii i Frf rmr 2 sinsin i iii ii ii i i i MF rMf r m r 外内 其中， J= Fi mi ri fi i i z 刚体运动第八次课47 2 sinsin i iii iii i iii F rf rm r 或者写为或者写为 JM z 上式就是转动定理的数学表达式。上式就是转动定理的数学表达式。 在定轴转动中在定轴转动中, ,刚体相对于某转轴的转动惯量与刚体相对于某转轴的转动惯量与 角加速度的乘积等于作用于刚体的外力相对同一角加速度的乘积

32、等于作用于刚体的外力相对同一 转轴的合力矩。转轴的合力矩。 MJ 外 MMJ 外内 0M 内 Fi mi ri fi i i z 刚体运动第八次课48 转动定理和牛顿第二定律在数学形式上是相似转动定理和牛顿第二定律在数学形式上是相似 的的,合外力矩与合外力相对应合外力矩与合外力相对应 , 转动惯量与质量相转动惯量与质量相 对应对应, 角加速度与加速度相对应。角加速度与加速度相对应。 Fm a MJ z 牛顿第二定律：牛顿第二定律： 转动定理：转动定理：第二转动定理第二转动定理 在定理中，当在定理中，当M0则则 0， 是恒量。这说明是恒量。这说明 刚体受合外力矩为刚体受合外力矩为0时，若刚体最初

33、静止，则保持时，若刚体最初静止，则保持 其静止状态；如果最初匀速转动，则保持匀速转其静止状态；如果最初匀速转动，则保持匀速转 动状态动状态第一转动定理第一转动定理 刚体运动第八次课49 四、力矩作的功四、力矩作的功 在刚体转动中在刚体转动中, 如果力矩的作用使刚体发生了角位如果力矩的作用使刚体发生了角位 移移, 那么该力矩也作了功那么该力矩也作了功 。 因为因为dsi = ri d, 并且并且cosi = sini , 所以所以 ddd ziiiii MrFAsin iii rFA dd ddcos dcos iiii iii AFr Fs 在刚体转动中在刚体转动中, 外力外力 所作的元功为所

34、作的元功为 i F mi d , ii dr ds i r i F i i 刚体运动第八次课50 式中式中Mzi 是外力是外力Fi 对转轴对转轴Oz的力矩。的力矩。 dddAFrM ii iizi sin 在整个刚体转过在整个刚体转过d 角的过程中，角的过程中，n个外力所作的个外力所作的 总功为总功为 式中式中 是作用于刚体的所有外力对是作用于刚体的所有外力对Oz轴的力轴的力 矩的代数和矩的代数和, 也就是作用于刚体的外力对转轴的合外也就是作用于刚体的外力对转轴的合外 力矩力矩Mz 。 M zi i n 1 ddd 11 )( n i zi n i i MAAd z M 刚体运动第八次课51

35、如果刚体在力矩如果刚体在力矩Mz 的作用下绕固定轴从位置的作用下绕固定轴从位置 1转转 到到 2 , 在此过程中力矩所作的功为在此过程中力矩所作的功为 AM z 1 2 d 力矩的瞬时功率可以表示为力矩的瞬时功率可以表示为 P A t M t M zz d d d d 式中式中 是刚体绕转轴的角速度。是刚体绕转轴的角速度。 d z dAM 刚体运动第八次课52 五、动能定理五、动能定理 (theorem of kinetic energy ) z d dAM dJdJdJd dt 在在t1 t2内，内， 由由 1 2 积分：积分： 2 1 22 21 1 () 2 AJ dJ 定轴转动的刚体定

36、轴转动的刚体, ,外力矩作的功等于刚体转动外力矩作的功等于刚体转动 动能的增量。这就是作定轴转动刚体的动能定理动能的增量。这就是作定轴转动刚体的动能定理 。 刚体运动第八次课53 5-1 刚体的运动刚体的运动 小小 结结 刚体刚体:在任何情况下在任何情况下,其大小和形状都不变化的物体。其大小和形状都不变化的物体。 或者说物体上任意两点的相对位置保持不变。或者说物体上任意两点的相对位置保持不变。 平动平动 在刚体运动过程中在刚体运动过程中, 如果刚体上的任意一条直如果刚体上的任意一条直 线始终保持平行线始终保持平行, 这种运动就称为平动这种运动就称为平动 转动转动 在刚体运动过程中在刚体运动过程

37、中, 如果刚体上所有的点都绕同如果刚体上所有的点都绕同 一条直线作圆周运动一条直线作圆周运动,那么这种运动就称为转动。这条直那么这种运动就称为转动。这条直 线称为转轴线称为转轴 刚体的一般运动刚体的一般运动 质心的平动质心的平动绕质心的转动绕质心的转动+ 刚体运动第八次课54 1. 刚体的转动动能刚体的转动动能EJ k 1 2 2 其中，其中，Jm r ii i n 2 1 2. 刚体的转动惯量刚体的转动惯量JrmrV 22 dd 与转动惯量有关的因素：刚体的质量大小和与转动惯量有关的因素：刚体的质量大小和 分布、转轴的位置、刚体的形状。分布、转轴的位置、刚体的形状。 2 C mdJJ 3.

38、平行轴定理平行轴定理 4. 垂直轴定理垂直轴定理 yxz JJJ 5-2 刚体动力学刚体动力学 刚体运动第八次课55 (1) 从开始制动到停止从开始制动到停止, 飞轮转过的角度；飞轮转过的角度； (2) 闸瓦对飞轮施加的闸瓦对飞轮施加的 摩擦力矩所作的功。摩擦力矩所作的功。 解：为了求得飞轮从制解：为了求得飞轮从制 动到停止所转过的角度动到停止所转过的角度 和摩擦力矩所作的功和摩擦力矩所作的功A, 必须先求得摩擦力必须先求得摩擦力、摩擦力矩摩擦力矩 和飞轮的角加速度。和飞轮的角加速度。 例例4：一个转动惯量为：一个转动惯量为2.5 kg m2 、直径为直径为60cm 的飞轮，正以的飞轮，正以1

39、30 rad s 1 的角速度旋转。现用闸瓦的角速度旋转。现用闸瓦 将其制动将其制动, 如果闸瓦对飞轮的正压力为如果闸瓦对飞轮的正压力为 500 N,闸瓦闸瓦 与飞轮之间的摩擦系数为与飞轮之间的摩擦系数为0.50。求：。求： d 飞轮飞轮 闸瓦闸瓦 N f 刚体运动第八次课56 闸瓦对飞轮施加的摩擦力的大闸瓦对飞轮施加的摩擦力的大 小等于摩擦系数与正压力的乘积小等于摩擦系数与正压力的乘积 N1052N500500 2 .Nf 方向如图所示。摩擦力相对方向如图所示。摩擦力相对z 轴的力矩就是摩擦力矩轴的力矩就是摩擦力矩, 所以所以 Nm75Nm30. 0105 . 2 2 2 d fM z 摩擦

40、力矩的方向沿摩擦力矩的方向沿z轴的负方向轴的负方向, 故取负值。根据故取负值。根据 转动定理转动定理 , 可以求得飞轮受到摩擦力矩作用时的角可以求得飞轮受到摩擦力矩作用时的角 加速度，为加速度，为 2-2- srad30srad 52 75 .J M z d 飞轮飞轮 闸瓦闸瓦 N f 刚体运动第八次课57 (1) 对于匀变速转动对于匀变速转动, 从开始制动到停止从开始制动到停止, 飞轮转过飞轮转过 的角度的角度 可由下式求得可由下式求得: 2 2 0 2 所以所以 rad1082rad 302 1300 2 2 22 0 2 . (2) 摩擦力矩所作的功摩擦力矩所作的功 J1012J1082

41、75 42 . z MA 刚体运动第八次课58 另外，还有另外一种求解方法。根据动能定理另外，还有另外一种求解方法。根据动能定理 2 0 24 1 0 2 1 2.5 1302.110 2 AJ J 刚体运动第八次课59 m1 m2 2 T 例例 5：质量为：质量为 m1 的物体置于完全光滑的水平桌面的物体置于完全光滑的水平桌面 上上 , 用一根不可伸长的细绳拉着用一根不可伸长的细绳拉着 , 细绳跨过固定于细绳跨过固定于 桌子边缘的定滑轮后，在下端悬挂一个质量为桌子边缘的定滑轮后，在下端悬挂一个质量为 m2 的的 物体物体 , 如图所示。已知滑轮是一个质量为如图所示。已知滑轮是一个质量为 M

42、,半径为半径为r 的圆盘的圆盘, 轴间的摩擦力忽略不计。求滑轮与轴间的摩擦力忽略不计。求滑轮与 m1 之间之间 的绳子的张力的绳子的张力 、滑轮与滑轮与 m2 之间的绳子的张力之间的绳子的张力 以及物体运动的加速度以及物体运动的加速度 。 1 T a M 刚体运动第八次课60 解：物体解：物体m1、m2和滑轮的受力情况如图所示。和滑轮的受力情况如图所示。 列方程列方程 T1 =m1 a （1） m2 g T2 = m2 a （2） 对于滑轮对于滑轮 T rT rJMr 21 2 1 2 （3） 辅助方程辅助方程 r = a （4） 解以上四个联立方程式解以上四个联立方程式, 可得可得 1 T

43、N F gm 1 ） 2 T 1 T 2 T a gm 2 刚体运动第八次课61 Mmm gm a 2 1 21 2 Mmm gmm T 2 1 21 21 1 Mmm gmMm T 2 1 2 1 21 21 2 )( 此题还可以用能量的方法求解。在物体此题还可以用能量的方法求解。在物体m2下落下落 了高度了高度h时时, 可以列出下面的能量关系可以列出下面的能量关系 m ghmmvJ 212 22 1 2 1 2 ()（5） 刚体运动第八次课62 式中式中v是当是当m2下落了高度下落了高度 h 时两个物体的运动速率时两个物体的运动速率, 是此时滑轮的角速度。是此时滑轮的角速度。 因为因为 ,

44、 , 所以得所以得JMr 1 2 2 v r m ghmmM v 212 2 1 2 1 2 () 由此解得由此解得 h Mmm gm v 2 1 2 21 2 2 （6） m ghmmvJ 212 22 1 2 1 2 () 刚体运动第八次课63 将将 v 2 = 2 a h 代入代入 (6) 式式, 可以求得两个物体的加速度可以求得两个物体的加速度 2 12 1 2 m g a mmM 根据根据 , 立即可以求得张力立即可以求得张力T1T hm v 11 2 1 2 Mmm gmm h vmT 2 1 21 21 2 11 1 2 1 h Mmm gm v 2 1 2 21 2 2 （6）

45、 刚体运动第八次课64 根据根据 或或 ()m gT hm v 222 2 1 2 T rT rJ 21 可以立即算出张力可以立即算出张力T2 Mmm gmMm T 2 1 2 1 21 21 2 )( 以上两种方法，都是求解这类问题的基本方法以上两种方法，都是求解这类问题的基本方法, 都都 应该理解和掌握。应该理解和掌握。 如果忽略滑轮的质量，则有如果忽略滑轮的质量，则有 12 2 12 1 mm g TT mm 刚体运动第八次课65 解解：（：（1）要求转动动能）要求转动动能Ek，必必 须求出均匀细棒相对于通过过须求出均匀细棒相对于通过过 端点轴的转动惯量端点轴的转动惯量J, 例题例题6

46、长度为长度为l、质量为质量为m 的均匀棒悬挂在通过的均匀棒悬挂在通过 其顶端的水平轴上，并可绕此轴在竖直平面内作其顶端的水平轴上，并可绕此轴在竖直平面内作 无摩擦的摆动。如果棒自由摆动通过平衡位置时，无摩擦的摆动。如果棒自由摆动通过平衡位置时， 低端的速率为低端的速率为v，试求：试求： （1）棒通过平衡位置时的转动动能）棒通过平衡位置时的转动动能; （2）棒摆动的最大棒摆动的最大偏偏角角 m ； （3）在从平衡位置到达最大偏角）在从平衡位置到达最大偏角 m 的过程中，的过程中， 在任一位置时棒的角加速度。在任一位置时棒的角加速度。 x l 刚体运动第八次课66 2 1 3 Jm l 棒通过平衡

47、位置时低端的线速度为棒通过平衡位置时低端的线速度为v，则棒则棒 此时角速度为此时角速度为 v l 此时棒的转动动能为此时棒的转动动能为 2222 1111 ( ) 2236 k v EJmlmv l （2）假设棒处于平衡位置的重力势能为零，当）假设棒处于平衡位置的重力势能为零，当 它摆动到最到偏角时，质心位置升高了它摆动到最到偏角时，质心位置升高了h，则则 (1 cos) 2 m l h 刚体运动第八次课67 根据机械能守恒定律，当棒达到最大偏角时应有根据机械能守恒定律，当棒达到最大偏角时应有 2 1 2 Jmgh 将将J和和h代入上式，可以得最大偏角：代入上式，可以得最大偏角： 2 cos1 3 m v gl （3）在从平衡位置达到最大偏角的过程中，棒）在从平衡位置达到最大偏角的过程