2021年高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线与向量综合题

1、精品word可编辑资料- - - - - - - - - - - - -第 19 页，共 14 页- - - - - - - - - -考纲透析圆锥曲线与平面对量考试大纲： 椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质以及直线与圆锥曲线的位置关系，平面对量的概念，向量的坐标运算.圆锥曲线与平面对量的综合.新题型分类例析1.已知中心在原点的双曲线c 的右焦点为（ 2， 0），右顶点为 3,0（ 1）求双曲线 c 的方程；（ 2）如直线l : ykx2 与双曲线 c 恒有两个不同的交点a 和 b ，且 oa ob2（其中 o 为原点） . 求 k 的取值范畴 .2解：（）设双曲线方程为xa 2y

2、1a2b 20, b0.由已知得 a3 , c2, 再由a 2b 222 ,得b 21.2故双曲线 c 的方程为 x3y 21.（）将 ykx2 代入 x23y 21得 13k 2 x 262kx90.13k 20,62 k 23613k 2 361k 2 0.由直线 l 与双曲线交于不同的两点得即 k 21 且k 21.3设 a xa, y a, b xb, yb ，就x axb62 k13k 2, xa xb913k 2,由oa ob2得x a x by a y b2,而 x a xby a y bx a x bkx a2 kx b2k 21 x a x b2k x axb 2k 291

3、13k 22 k 612k 3k 23k 2723k 21 .3k 27于是3k 211k 23.32,即3k293k 210,解此不等式得由、得1k 21.3故 k 的取值范畴为3 1,33 ,1.33. 设x, yr ， i 、j为 直 角 坐 标 平 面 内 x 轴 、 y 轴 正 方 向 上 的 单 位 向 量 ， 如axi y3 j , bxi y3 j ，且 ab4 .（）求点p x, y 的轨迹 c 的方程；（）如 a 、b 为轨迹 c 上的两点，满意 ammb ，其中 m（ 0，3 ），求线段 ab 的长 . 启思4. 已知椭圆的中心为坐标原点o，焦点在 x 轴上，斜率为1 且

4、过椭圆右焦点 f 的直线交椭圆于 a 、b 两点， oaob 与 a3,1 共线 .（）求椭圆的离心率；（）设 m 为椭圆上任意一点，且omoaob ,r ，证明 22为定值 .解：本小题主要考查直线方程、平面对量及椭圆的几何性质等基本学问，考查综合运用数学学问解决问题及推理的才能. 满分 12 分.（ 1）解：设椭圆方程为2222xy1 aabb0, f c,0就直线 ab 的方程为 y2xc，代入 x2y1 ，化简得222ab x2222 a cxa ca 2b 222a b0 .2222令 a（x1 , y1 ）， b x2, y2 ），就 x1x22a c222ab, x1x 2a c

5、a b. ab22由 oaobx1x2 , y1y2 , a3,1, oaob与 a 共线，得3 y1y2 x1x20, 又 y1x1c, y2x2c ，3 x1x22a 2 c2c3c x1x20,x1x23 c.2226a即a2b 2，所以 a23b .cab，322故离心率 ec6 . a3x2y 2（ ii）证明：（1）知a 23b 2 ，所以椭圆1 可化为 x23 y23b 2 .a 2b 2设 om x, y，由已知得 x, y x1 , y1x2 , y2,x x1x2 ,2222y x1x2.m x,y 在椭圆上， x1x2 3y1y2 3b .1即 2 x 23 y2 2 x

6、23 y 2 2 x1x23 y1y2 3b2 . 12由（ 1）知 x1x2变式新题型 33c , a 223 c 2 ,b 221 c2 .2抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，准线 l 与 x 轴相交于点 a 1， 0，过点 a 的直线与抛物线相交于p、q 两点 .（1） 求抛物线的方程；（2） 如 fp . fq =0，求直线 pq 的方程；（3） 设 ap = aq （ 1），点 p 关于 x 轴的对称点为m ，证明： fm =-fq .6. 已 知 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 ， 向 量 j0,1,ofp的面积为 23 ， 且o ff p ,to m 3 3o .p

7、j（i）设 4t43,求向量 of与fp的夹角 的取值范畴；2（ ii ）设以原点o 为中心，对称轴在坐标轴上，以f 为右焦点的椭圆经过点m，且| of |c, t31c ,当| op | 取最小值时，求椭圆的方程.7. 已知m 0,2 ，点 a 在 x 轴上，点 b 在 y 轴的正半轴，点p 在直线 ab 上，且满意，appb ， ma ap0 .（）当点 a 在 x 轴上移动时，求动点p 的轨迹 c 方程；（）过 2, 0 的直线 l 与轨迹 c 交于 e 、 f 两点，又过 e 、 f 作轨迹 c 的切线l1 、 l2 ，当 l1l2 ，求直线 l 的方程 .8. 已知点 c 为圆 x1

8、 2y 28 的圆心，点 a（ 1，0）， p 是圆上的动点，点 q 在圆的半径 cp 上，且 mqap0, ap2am .（）当点 p 在圆上运动时，求点q 的轨迹方程；2（）如直线 ykxk1与（）中所求点q的轨迹交于不同两点f， h， o 是坐标原点，且 2ofoh 33，求 foh 的面积4已知椭圆 e 的中心在坐标原点， 焦点在坐标轴上， 且经过 a2,0 、 b2,0 、c1, 3三2点（）求椭圆e 的方程；（） 如直线 l ： yk x1 （ k0 ）与椭圆 e 交于 m 、 n 两点， 证明直线 am 与直线 bn 的交点在直线 x4 上10如图 ,过抛物线 x 2=4y 的对

9、称轴上任一点p0,mm0 作直线与抛物线交于a 、b 两点， 点 q 是点 p 关于原点的对称点； 设点 p 分有向线段 ab 所成的比为 ，证明 qpqaqb; 设直线 ab 的方程是 x 2y+12=0, 过 a、b 两点的圆 c 与抛物线在点 a 处有共同的切线，求圆 c 的方程；10. 已知平面上肯定点c1,0 和肯定直线l : x4. 为该平面上一动点，作pql , 垂足为q ， pq2 pc pq2 pc 0 .(1) 问点在什么曲线上？并求出该曲线方程；(2) 点是坐标原点，a、b 两点在点的轨迹上，如范畴oaob （1）oc，求的取值11. 如图，已知 e、f 为平面上的两个定

10、点| ef |6，| fg |10 ，且2eheg ，hp ge0 ，（g 为动点， p 是 hp 和 gf 的交点）（1） ）建立适当的平面直角坐标系求出点p 的轨迹方程；（2） ）如点 p 的轨迹上存在两个不同的点 a 、 b ，且线段 ab 的中垂线与 ef（或 ef 的延长线）相交于一点 c ，就|oc| 95（ o 为 ef 的中点）12. 已知动圆过定点1,0，且与直线 x(1) 求动圆的圆心轨迹 c 的方程；1 相切 .(2) 是 否 存 在 直 线 l ， 使 l 过 点 （ 0 ， 1 ）， 并 与 轨 迹 c 交 于 p, q 两点 ， 且 满 足op oq0 ？如存在，求

11、出直线l 的方程；如不存在，说明理由.13. 已知m 4,0, n 1,0 如动点 p 满意mn mp6 | np |（ 1）求动点 p 的轨迹方 c 的方程；（ 2）设 q 是曲线 c 上任意一点，求 q 到直线 l : x2 y120 的距离的最小值.19如图，直角梯形abcd 中，dab90 ， ad bc ， ab=2 ，ad=3 ， bc= 122椭圆 f 以 a、 b 为焦点且过点d ，d（）建立适当的直角坐标系，求椭圆的方程；1c（）如点 e 满意 ecab , 是否存在斜率2abk0的直线l与 椭圆 f交于 m 、n 两点，且| me | ne | ，如存在，求k 的取值范畴；

12、如不存在，说明理由；解（ 1）已知双曲线实半轴a1=4，虚半轴 b1=25 ，半焦距 c1=椭圆的长半轴a2=c1=6 ，椭圆的半焦距 c2=a1=4 ，椭圆的短半轴16206 ，22b2 =6420 ，22所求的椭圆方程为xy13620（ 2）由已知a 6,0 , f 4,0 ，设点 p 的坐标为 x,y ，就apx6, y, fpx2y2 x4, y, 由已知得13620 x6 x4y20就 2 x29 x180 ，解之得 x3 或x6 ，2由于 y0 ，所以只能取 x3，于是 y53 ，所以点 p 的坐标为35,39 分2222（ 3）直线ap : x3 y60 ，设点 m 是m,0 ，

13、就点 m 到直线 ap 的距离是 m6 ，2m6于是m6 ，2又点 m 在椭圆的长轴上，即6m6m2当 m2 时，椭圆上的点到m 2,0 的距离5 x249d 2 x22y2x24 x420 x215992又 6x6当 x9 时， d 取最小值152解：（ 1）由213| of| | fp | sin, 得 | of | | fp |43,由 cosoffpt sin，2sin| of | fp |4 32得 tan4 3 . 3 分t4t431tan30,夹角的取值范畴是（,）436 分（ 2） 设px0 ,y0 , 就fp x0c, y0 , ofc,0.of fp xc, y c,0xc

14、ct31c2x3c0000s1 |of | | y |23y4 32cofp008 分|op |x2y 23c 243 24323c26 10 分00cc当且仅当3c43 , 即c c2时,| op| 取最小值 26 ,此时,op23 , 23om3 233,230,12,3或 om椭圆长轴3 233, 23 0,1 2,1 12 分2a22 230 222 230 28a4, b212或 2a22 2 10 222 210 2117a117 , b2211722故所求椭圆方程为x2y1 . 或x2y2 14 分1612917211172解： （）op 0，就 x y 0， 1 分oq又 p、

15、q 在抛物线上， y12 2px 1， y2 2 2px2，1x21y22y12 y 2 0， y 4p2 ，2p 2p y1y21y 2x my a联立方程组y 2 2px,消去 x 得 y2 2pmy 2pa 0,5 分6 分y1y2 2pa ,7 分设 fb,0 ，rx 3,y3 ，同理可知：y 1y3 2pb ,8 分由、可得y 3b,9 分如 3tq ，设 tc,0，就有x 3 c,y3 0 3x 2 c,y 2 0,y3 3y2即y3 3,10 分将代入，得b 3a 11 分又由（）知， op 0,y1 y2 4p2，代入，得 2pa 4 p2a 2p,13 分 b6p,故，在 x

16、 轴上，存在异于 e 的一点 f6p,0，使得 tr 3tq 14 分注：如设直线 pq 的方程为 y kx b，不影响解答结果（）解：设 p x, y就ap xxa , ypbx , yby.2 分由 appb得x a2x ， yb2 y.4 分又 maxa , 2ap xxa , y即 ma2 x , 2 ， apx, y 6 分由 ma ap0得x2y y0 .8 分（）设 e x1, y1 ， f x2 , y2 由于 y x ，故两切线的斜率分别为x1、 x2 10 分x22 y由方程组得 x22kx4 k0xx2kxx4 k .11212ykx2当 ll 时，xx1，所以 k112

17、128 |y1y 2| 4p2，3 分又|y1y 2| 4， 4p2 4， p=14 分（）设 ea,0），直线 pq 方程为x mya ,y 2atry2oq2所以，直线 l 的方程是y1 x28解： mf 2x 轴，| mf2 |1,由椭圆的定义得：21| mf1 |22a ，-2 分2 | mf1 |2 c 21 ， 2 a1 24c21， -4分2424又 e3 得 c 23 a 224 4a2a3a2 ,a0a2 b2a 2c21 a 241 ， -6分所求椭圆 c 的方程为2xy21 -7分4 由（）知点 a 2,0，点 b 为（ 0， 1），设点 p 的坐标为 x, y就 pa

18、2x,y ， ab2,1 ,由 pa abm4 得 42 xym4 ，点 p 的轨迹方程为 y2xm -9分设点 b 关于 p 的轨迹的对称点为b x0 , y0 ，就由轴对称的性质可得：y011y01x0,2m ，x0222解得： x044m , y 502 m35，-11分点 b x0 , y0 在椭圆上，44m24 2m3 24 ，整理得2m2m30 解得55m1或 m3 2点 p 的轨迹方程为 y2 x1 或 y2 x32， -13分经检验 y2 x1 和 y2 x3都符合题设，2满意条件的点 p 的轨迹方程为 y2x1 或 y2 x32 -解 依题意 ,可设直线 ab 的方程为 yk

19、xm ,代入抛物线方程 x 24 y 得x24kx4m0.设 a 、b 两点的坐标分别是（ x 1,y1）、x 2,y2,就 x 1、x 2 是方程的两根；所以 x1x24m.由点 p（ 0， m）分有向线段 ab 所成的比为，x1x2x1得0 ， 即.1x2又点 q 是点 p 关于原点的以称点，故点 q 的坐标是（ 0， -m） ,从而 qp0,2 m.qaqbx1, y1mx2, y2m= x1x2 , y1y21m.qp qaqb 2m y1y21m2x12= 2mx1x 21x1 m4x24x2= 2mx1x2 x1x24m 4 x2= 2m x1x2 4m4 m4 x2所以 op=0

20、，qaqb. 由 x2 y120, 得点 a、b 的坐标分别是（ 6， 9）、（ -4 ， 4）；x24 y,2由 x4 y 得 y1 x 2 ，y 41 x,22所以抛物线 x 24 y 在点 a 处切线的斜率为yx 63 ；设圆 c 的方程是 xa2 yb 2r，b9就 a6a6 21 ,3b9 2a4 2b42 .解之得a3 , b223 , r 22a4 2b4 2125 .2所以圆 c 的方程是 x3 22 y23 22125，2解:1 由 pq2 pcpq22 pc 0 ,得:pq24pc0 ,（ 2 分）设 px,y ,就 x424 x12y20 ,化简得 :xy1 ,（ 4 分

21、）224322点 p 在椭圆上 ,其方程为 xy431 .（ 6 分）2设a x1 , y1 、 bx2 , y2 ，由 oaob1oc得： cacb0 ，所以， a 、b 、c 三点共线 .且0 ,得: x11, y1x2x111, y2 0 ,即:y1y2x2（ 8 分）x 2y 21x y 2由于 111 ,所以4322143（ 9 分）x 2y 2x 2y 2又由于221 ,所以2243432（ 10 分）由 - 得 :21x2121,化简得 :x235,（ 12 分）242由于 2x22 ,所以 2352 .2解得 :13 所以的取值范畴为1 ,3.33解：（ 1）如图 1，以 ef

22、 所在的直线为 x 轴， ef 的中垂线为 y 轴，建立平面直角坐标系； -1分由题设2eheg ， hpeg0| pg | pe|，而| pf | pe | pg |2a -3 分点 p 是以 e 、 f 为焦点、长轴长为 10 的椭圆，2故点 p 的轨迹方程是： x2y1 -4 分2516（2）如图 2 ，设a x1 , y1 ，bx2,y2 ， c x0 ,0 ， x1x2 ，且| ca | cb|，-6分即 x1x 22y1 x2x 2y 20022又 a 、 b 在轨迹上，y2 x122y11 ， x2y21g25162516p2即 y11616252ax1 ，h2c2y1616 x-8 分2225代入整理得：eofx2x2x1 x09 x 22252x1 x1x2 ， x09x150x2 b-10分图 2 5x15 ， 5x25 ，10x1x210 x1x2 ， 10x1x2100 9x59 ，即| oc5| 9 -145（）以 ab中点为原点 o， ab所在直线为 x 轴，