离散小波变换与正交小波

1、2.5 离散小波变换 与正交小波2,( )2(2), ,jjj kttkj kZ设 为母小波 ，记1. 离散小波变换离散小波变换,( )fj kWj kft则称为离散小波变换( ) t2.正交小波正交小波 定义：定义：设有允许小波 ( ) t，记 2,( )2(2)jjj kttk，其中, j k为任意的整数。如果函数族,| )2(2)(2,Zkjkttjjkj构成空间 2( )L R的标准正交基, 则称 ( ) t是正交小波母函数或简称正交小波 ,| ,j kj kZ称为正交小波基。 函数族正交小波正交小波 对任意 )()(2RLtf，存在唯一的展式： kjkjkjtctf,)()(其中Zk

2、jdtttfttfckjkjkj,)()()(),(,称为 f的小波系数小波系数正交小波级数分解正交小波级数分解 小波系数实质上是离散小波变换，前面所得的二进离散小波与连续小波虽不会损失信息，但会产生冗余，而正交小波则可以使变换后所产生的冗余消失。 正交小波正交小波 正交小波的例：例例5.111,021 ( )1,120,th tt母函数其它经过二进伸缩与平移可得到2,( )2(2),jjj khthtkj kZ是 2( )L R的一个标准正交基，但此小波基是一族阶梯函数，连续性较差，不适合分析光滑性较好的信号。它的时间局部性非常好，但频域局部性不好 Haar小波定理5.1 函数系 ()|xl

3、lZ为标准正交系当且仅当3.平移正交判定定理平移正交判定定理2|(2)|1k Zk ( (), ()() ()klxkxlxkxl dx ()|xllZ证明： 标准正交 1( () , () )2klxkxl1( () , () )2xkxl而1( ( ), ( )2ikilee 周期1( )( )2ikilee d 2()1| ( )|2i k led 2(1)2()21|( )|2mi k lm Zmed 222()01|(2)|2i k lm Zmed 22()01|(2)|.2i k lklm Zmed 正交小波正交小波 Shannon小波 sin( )ttt( ) t的一切平移所生成

4、的函数系 ()()tnnZ构成了子空间 2 ( )( )|( )0,Sf tL Rf的一个标准正交基 尺度函数2, 0)(| )()(22mfRLtfSm令，则2mS具有标准正交基 .,)2(2)2(2sin2)2(222Znmntntntmmmmmmm例例5.2正交小波正交小波 且对任意 mStf2)(有 sin2(2)( )(2)2(2)mmmmmn Ztnf tfntn1222mmmSV记在S中的正交补为，则22, 0)(| )()(122mmfRLtfVm或22( )mmL RV 于是正交小波正交小波 令11sin 2()sin()122( )2 (21)()12()2tttttt在时

5、域，Shannon小波是无限次可微的，具有无穷阶消失矩，不是紧支的，具有渐近衰减性但较缓慢；在频域，是频率带限函数，具有好的局部化特性。 它的整的平移族 ()|tnnZV是的标准正交基的标准正交基 对任意 2,2(2)|mmmZtkkZ2mV是222(2)|,( )mmtkm kZL R构成的标准正交基Shannon小波基 例例 5.3 考虑线性样条函数 11,20( )11,020,ttttt 其他从几何上看，( ) t显然是一个基本小波 ( )( )(2)ts ts t易知,01( )2,120,tts ttt 其他这里是个帐篷函数12012222( )( )(2)1 ()()1 i ti ti tiiiiiiss t edttedtt edteeeeeiiiiei 2221( )( )( )(1)()iiiesese