北京邮电大学高等数学3-5

1、一、函数极值的定义一、函数极值的定义oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6xoxyoxy0 x0 x.)()(,)()(,;)()(,)()(,),(,),()(000000000的的一一个个极极小小值值是是函函数数就就称称均均成成立立外外除除了了点点任任何何点点对对于于这这邻邻域域内内的的的的一一个个邻邻域域如如果果存存在在着着点点的的一一个个极极大大值值是是函函数数就就称称均均成成立立外外除除了了点点任任何何点点对对于于这这邻邻域域内内的的的的一一个个邻邻域域如如果果存存在在着着点点内内的的一一个个点点是是内内有有定定义义在在区区间间设设函函数数xfxfxfxfxxxxfxfxfxf

2、xxxbaxbaxf 定义定义函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得使函数取得极值的点称为极值的点称为极值点极值点.二、函数极值的求法二、函数极值的求法 设设)(xf在点在点0 x处具有导数处具有导数, ,且且在在0 x处取得极值处取得极值, ,那末必定那末必定0)(0 xf. .定理定理1 1( (必要条件必要条件) )定义定义.)()0)(的的驻驻点点做做函函数数叫叫的的实实根根即即方方程程使使导导数数为为零零的的点点xfxf 注意注意:.,)(是极值点是极值点但函数的驻点却不一定但函数的驻点却不一定点点的极值点必定是它的驻的极值点必定是它的驻可导函数可导

3、函数xf例如例如,3xy , 00 xy.0不不是是极极值值点点但但 x( (1 1) )如如果果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx, , 有有0)( xf，则则)(xf在在0 x处处取取得得极极大大值值. .( (2 2) )如如果果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx 有有0)( xf，则则)(xf在在0 x处处取取得得极极小小值值. .( (3 3) )如如果果当当),(00 xxx 及及),(00 xxx时时, , )(xf符符号号相相同同, ,则则)(xf在在0 x处处无无极极值值. .定理定理2(2(第一充分条件第一充分条件)

4、)xyoxyo0 x0 x (是极值点情形是极值点情形)xyoxyo0 x0 x 求极值的步骤求极值的步骤: :);()1(xf 求导数求导数;0)()2(的的根根求求驻驻点点，即即方方程程 xf;,)()3(判判断断极极值值点点在在驻驻点点左左右右的的正正负负号号检检查查xf .)4(求极值求极值(不是极值点情形不是极值点情形)例例1 1解解.593)(23的的极极值值求求出出函函数数 xxxxf963)(2 xxxf，令令0)( xf. 3, 121 xx得驻点得驻点列表讨论列表讨论x)1,( ), 3( )3 , 1( 1 3)(xf )(xf 00 极大值极大值极小值极小值)3(f极小

5、值极小值.22 )1( f极大值极大值,10 )3)(1(3 xx593)(23 xxxxfMm图形如下图形如下 设设)(xf在在0 x处具有二阶导数处具有二阶导数, ,且且0)(0 xf, , 0)(0 xf, , 那末那末(1)(1)当当0)(0 xf时时, , 函数函数)(xf在在0 x处取得极大值处取得极大值; ;(2)(2)当当0)(0 xf时时, , 函数函数)(xf在在0 x处取得极小值处取得极小值. .定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件) )证证)1(xxfxxfxfx )()(lim)(0000, 0 异异号号，与与故故xxfxxf )()(00时，时，当当0 x)()

6、(00 xfxxf 有有, 0 时，时，当当0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 所以所以，函数函数)(xf在在0 x处取得极大值处取得极大值 同理可证同理可证(2).例例2 2解解.20243)(23的的极极值值求求出出函函数数 xxxxf2463)(2 xxxf，令令0)( xf. 2, 421 xx得得驻驻点点)2)(4(3 xx, 66)( xxf )4(f, 018 )4( f故故极极大大值值,60 )2(f, 018 )2(f故故极极小小值值.48 20243)(23 xxxxf图形如下图形如下Mm注意注意: :. 2,)(,0)(00仍用定理仍用定理处不一定取极值处不一定取

7、极值在点在点时时xxfxf 例例3 3解解.)2(1)(32的极值的极值求出函数求出函数 xxf)2()2(32)(31 xxxf.)(,2不不存存在在时时当当xfx 时时，当当2 x; 0)( xf时时，当当2 x. 0)( xf.)(1)2(的的极极大大值值为为xff .)(在在该该点点连连续续但但函函数数xf注意注意: :函数的不可导点函数的不可导点,也可能是函数的极值点也可能是函数的极值点.M三、小结三、小结极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念: :极大值可能小于极小极大值可能小于极小值值,极小值可能大于极大值极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为驻点和不可导点统称为临界点

8、临界点. .函数的极值必在函数的极值必在临界点临界点取得取得.判别法判别法第一充分条件第一充分条件;第二充分条件第二充分条件;(注意使用条件注意使用条件)思考题思考题下命题正确吗？下命题正确吗？ 如如果果0 x为为)(xf的的极极小小值值点点，那那么么必必存存在在0 x的的某某邻邻域域，在在此此邻邻域域内内，)(xf在在0 x的的左左侧侧下下降降，而而在在0 x的的右右侧侧上上升升.思考题解答思考题解答不正确不正确例例 0, 20),1sin2(2)(2xxxxxf当当0 x时，时， )0()(fxf)1sin2(2xx 0 于于是是0 x为为)(xf的的极极小小值值点点当当0 x时，时，当当

9、0 x时时，, 0)1sin2(2 xxx1cos在在1和和1之间振荡之间振荡因而因而)(xf在在0 x的两侧都不单调的两侧都不单调.故命题不成立故命题不成立xxxxf1cos)1sin2(2)( 一一、 填填空空题题：1 1、 极极值值反反映映的的是是函函数数的的 _ _ _ _ _ _ _ _ _性性质质. .2 2、 若若函函数数)(xfy 在在0 xx 可可导导，则则它它在在点点0 x处处到到 得得极极值值的的必必要要条条件件中中为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .3 3、 函函 数数32)1(2 xy的的 极极 值值 点点 为为 _ _ _ _ _ _ _ _ _

10、 ；31)1(23 xy的的极极值值为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .4 4、 已已知知函函数数 0, 10,)(3xxxxxfx当当_ x时时，为为极极_ y小小 值值 ； 当当时时_ x，为为极极_ y大大值值. .练练 习习 题题二、求下列函数的极值：二、求下列函数的极值：1 1、 xeyxcos ；2 2、 xxy1 ；3 3、 方程方程02 yeyx所确定的函数所确定的函数)(xfy ；4 4、 0, 00,21xxeyx. .三、三、 证明题：证明题：1 1、 如果如果dcxbxaxy 23满足条满足条032 acb，则函数无极值则函数无极值. . 2 2、设设)(xf是是有有连连续续的的二二阶阶导导数数的的偶偶函函数数0)( xf， 则则0 x为为)(xf的的极极值值点点. .一一、1 1、局局部部； 2 2、0)(0 xf； 3 3、( (1 1, ,2 2) )