同步第1部分拉分题教师用书压轴专题第20题解答题圆锥曲线的综合问题的抢分策略通用版

1、压轴专题(二)第20题解答题“圆锥曲线的综合问题”的抢分策略解析几何是数形结合的典范，是高中数学的主要知识板块，是高考考查的重点知识之一， 在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等试题难度较大，多以压轴题出现.解答题的热点题型有：直线与圆锥曲线位置关系的判断；圆锥曲线中定点、定值、最值及范围的求解；轨迹方程及探索性问题的求解.V最值、范围问题师说考点圆锥曲线中最值、范围问题的求解方法(1) 几何法若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解 决，这就是几何法.(2) 代数法.若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数， 再利用基本不等式或单调性求

2、这个函数的最值，这就是代数法.2 2典例(2019全国甲卷)已知椭圆E:牛+覺=1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k0)的直线交E于A, M两点，点N在E上，MA丄NA.(1) 当 t= 4, AM|= |AN|时，求 AMN 的面积；(2) 当2|AM|=AN|时，求k的取值范围.解设M(X1, y”，则由题意知y10.2 2(1)当 t= 4 时，E 的方程为 X + 二=1，A(-2, 0).n由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为二.4因此直线AM的方程为y= x+ 2.2 2将 x= y-2 代入X + y = 1 得 7y2- 12y= 0.43解得 y= 0或y=

3、号，所以 y1= y.11212144因此 AMN 的面积 Saamn = 2X X =药.由题意 t3, k0 , A( . t, 0).2 2将直线 AM 的方程 y= k(x+ t)代入X + 十=1 得(3 + tk2)x2 + 2 , t tk2x+k2 3t = 0.t 3由 X1 ( t)=t2k2 3tt (3 tk2)3 + tk2，得 x1= 3 + tk2故 |AM|=凶+ ,tp 1 + k2 =6 ；t (1+ k2)23+ tk由题设，直线AN的方程为y= *x+ t),I 2故同理可得|AN|=6k t (1 + k 3k2 +12k由2|AM|=|AN|,得帚芦

4、时,即(k3 2)t= 3k(2k 1).3l3k (2k 1)当k= 3 2时上式不成立，因此 t = k23 2 2 k3 2k2+ k 2(k 2)( k2 + 1)t3 等价于k32=k320，k 2即 k 0, k3 20k 20,解得 2k0, b0)经过点P(2, 1)，且其中一焦点Fa b到一条渐近线的距离为1.(1)求双曲线r的方程；过点P作两条相互垂直的直线 FA, PB分别交双曲线 r于A, B两点，求点P到直线AB距离的最大值.2解：(1) 双曲线x2ab2=1 过点(2, 1), 事*=1.不妨设F为右焦点，F(c, 0)到渐近线bx ay= 0的距离d=丿严1乞=b

5、,寸a + b b = 1, a 2 x y= 2.所求双曲线的方程为2x 2 彳 y = 1.2 y设 A(X1, y1), B(X2,x2y2)，直线 AB的方程为y= kx+ m.将 y= kx+ m 代入 x2 2y2= 2 中，整理得(2k2 1)x2 + 4kmx + 2m2+ 2= 0.24km2m + 2-X1 + x2= 2k2 1， X1X2= 2k2 1 .=0, 凶一2, y1 1) (X2 2, y2 1) = 0, -(Xi 2)(x2 2) + (kx + m 1)( kx? + m 1) = 0, (k?+)x1x2+ (km k 2)(X1 + X2) + m

6、? 2m+ 5= 0.将代入，得 m2+ 8km + 12k2+ 2m 3= 0, (m+ 2k 1)(m+ 6k+ 3) = 0.而 P?AB, m= 6k 3,从而直线 AB的方程为y= kx 6k 3.将 y= kx 6k 3代入 x2 2y2 2= 0 中,判别式 A= 8(34k2 + 36k+ 10)0 恒成立, y = kx 6k 3即为所求直线. P 到 AB 的距离 d = |2k 6k 典例(2019 东高考节选)平面直角坐标系xOy中，椭圆C:孑+ b2= 1(ab0)的离心 1| 4k+ 1|2 k2+ 1 + 2k= 1 + 右 2.k2 + 1 d w 4 ,2,即

7、点P到直线AB距离的最大值为 4 _ 2.定值、定点问题率是抛物线E: x2= 2y的焦点F是C的一个顶点.(1)求椭圆C的方程;设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线I与C交于不同的两点 A, B, 线段AB的中点为D.直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点 M.求证：点M在定直线上.解(1)由题意知宁=于，可得a2= 4b2因为抛物线E的焦点为F 0, 1 ,所以 b= 2, a = 1.所以椭圆C的方程为x2+ 4y2= 1.证明：设Pm,号(m 0).由 x2= 2y,可得y= x,所以直线的斜率为m.因此直线的方程为2y罗=m(x m),设 A(xi, yi), B(x2

8、,即 y= mx y2), D(X0 , y0),x2 + 4y2 = 1,联立方程I屋y= mx ,得(4 m2 + 1)x2 4mx+ m4 1 = 0.由 0，得 0 v m2v 2+ 5由根与系数的关系得 xi + x4m34m2 + 1,m22m3 因此x0=荷刁.2将其代入y= mx岁，得y0= 2(4m2+ 1).因为x0=-盍,所以直线0D的方程为y=x.4m= 1联立方程P=市，X= m,1得点M的纵坐标yM =-,41所以点M在定直线y=-上.4抢分策略解答圆锥曲线的定值、定点问题应把握3个方面(1) 从特殊情形开始，求出定值，再证明该值与变量无关；(2) 直接推理、计算，

9、在整个过程中消去变量，得定值；(3) 在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出来，并令其系数为零，可以解出定点坐标.应用体验2. (2019石家庄一模)已知抛物线C: y2= 2px(p0)过点M(m, 2)，其焦点为F，且|MF | =2.(1)求抛物线C的方程；设E为y轴上异于原点的任意一点，过点E作不经过原点的两条直线分别与抛物线C和圆F: (x 1)2+ y2= 1相切，切点分别为 A, B，求证：直线 AB过定点.解：(1)抛物线C的准线方程为x= P,|MF|= m + p = 2, 又 4= 2pm，即 4 = 2p 2 p , p2 4p+ 4= 0,. p =

10、 2,抛物线C的方程为y2= 4x.证明：设点E(0, t)(t丰0)，由已知切线不为y轴，设EA： y= kx+ t,联立y= kx+1,y2=4x,消去y,可得 k2x2+ (2kt 4)x+12= 0，直线EA与抛物线 C相切， A = (2kt 4)2 4k2t2= 0,即卩kt = 1,代入可得*x2 2x +12 = 0,. x= t2,即卩 A(t2, 2t).设切点B(x0, y),则由几何性质可以判断点O, B关于直线EF: y= tx+ t对称，则-1,yox 匕2=xo 0 12t2Xo 1：+ i,yo=-伶 t解冷2tyotn，帛.法一一 :直线AB的斜率为kAB上2

11、住工),直线AB的方程为y t2 i(x12)+ 2t,2t整理得y孑万(x 1),直线AB恒过定点F(1, 0),当 t 1 时，A(1， 2)，B(1， 1)，此时直线 AB 为 X 1，过点 F(1，0).综上，直线 AB恒过点F(1, 0).2t法二：直线AF的斜率为kAF产刁(X ),直线BF的斜率为kBF 学港(I),K 1 kAF kBF,即卩A , B, F三点共线.当 t 1 时，A(1 , 2), B(1 , 1)，此时 A, B, F 三点共线.考点三直线AB过定点F(1 , 0).探索性问题师说考点圆锥曲线中探索性问题的解题策略处理探索性问题，一般要先对结论作出肯定的假

12、设，然后由此假设出发，结合已知条件 进行推理论证，若推出相符的结论，则存在性随之解决；若导出矛盾，则否定了存在性.若 证明某结论不存在，也可以采用反证法.x2 y2-J2一典例如图，椭圆E:孑+話一1(ab0)的离心率是2，过点P(0, 1)的动直线I与椭圆相 交于A, B两点当直线I平行于x轴时，直线I被椭圆E截得的线段长为2 .殳(1)求椭圆E的方程;(2)在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q,使得|QA|=鬻恒成立？若QB| |PB|存在，求出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由.解由已知，点C.2, 1)在椭圆E上,2 1解得孑 + b2= 1, 因此a2-b2= c2,

13、c =2a 2 ,所以椭圆2 2E的方程为X4 + 2 = 1.(2)当直线I与x轴平行时，设直线I与椭圆相交于C, D两点.如果存在定点Q满足条件，则有需=1,即|QC|= |QD|.IQDI |PD|所以点Q在y轴上，可设点Q的坐标为(0, y0).当直线I与x轴垂直时，设直线I与椭圆相交于 M ,N两点，则M ,N的坐标分别为(0, , 2),丄 |QM|_ |PM| /曰 |y- 2|2- 1由 |QN|= |PN|，得解得y0= 1或y0= 2.所以若存在不同于点P的定点Q满足条件，则点Q的坐标只可能为(0, 2).F面证明：对任意直线I，均有QA|=驚.IQBI lPBl当直线I的

14、斜率不存在时，由上可知，结论成立.当直线I的斜率存在时，可设直线I的方程为y= kx+ 1,点A, B的坐标分别为(X1, y” , (x2,2).-2 2X + 乞=1 ,联立 42得(2k2+ 1)x2+ 4kx-2= 0.y= kx+ 1,其判别式 = (4k)2+ 8(2k2 + 1)0 ,4k2所以 X1 + x2=- 2k4肓，X1X2=- 2TTi.11 Xi + X2因此 1 + 1 = 2k.X1 X2X1X2易知，点B关于y轴对称的点B的坐标为(-X2, y2).Y1 2 kX1- 11又 kQA =二T = k-X1,y2- 2 kX2 111kQBy k= k+xt k

15、X1,所以kQA= kQB,即卩Q, A, B三点共线,所以 |QA|_ |QA| =凶!= |PAJ|QB| |QB IX2I |PB|.故存在与点P不同的定点Q(0, 2)，使得|=恒成立.|QB| |PB|抢分策略辅助解答一一思路靠谱也给分1. 本题在求解第(2)问时难度太大，很难得分，这就要学会辅助解答(学会捞分)，利用直线I与坐标轴垂直这一特殊情况可巧妙地求出Q点的坐标(0, 2),这样可得一定的分数，这种方法在解决一些压轴题时要学会应用.2 一道题目的解答，既有主要的实质性的步骤，也有次要的辅助性的步骤实质性的步 骤未找到之前，找辅助性的步骤是明智之举如：准确作图，把题目中的条件翻

16、译成数学表 达式，根据题目的意思列出要用的公式等罗列这些小步骤都是有分的，这些全是解题思路 的重要体现，切不可以不写，对计算能力要求高的，实行能解多少写多少的策略书写也是 辅助解答的一部分，“书写要工整，卷面能得分”是说第一印象好会在阅卷老师的心理上产生 光环效应这就是所说的辅助解答.应用体验3. (2019兰州模拟)已知椭圆C的焦点坐标是F1( 1,0), F2(1 , 0)，过点F2垂直于长轴的直线I交椭圆C于B, D两点，且|BD|= 3.(1)求椭圆C的方程；是否存在过点P(2, 1)的直线I1与椭圆C相交于不同的两点 M , N ,且满足=5?若存在，求出直线I1的方程；若不存在，请

17、说明理由.42 2解：(1)设椭圆的方程是X2 + Y2= 1(ab0)，由题可知c= 1,a b2因为|BD|= 3，所以2P = 3,a又 a2 b2= 1,所以 a = 2, b =：.；3,2 2所以椭圆C的方程为乡+七=1.43假设存在直线11且由题意得斜率存在，设直线11的方程为y= k(x 2) + 1.y= k (x-2)+ 1,由 x2 y2得(3 + 4k2)x2 8k(2k- 1)x+ 16k2- 16k-8= 0.4+3=1，因为直线11与椭圆C相交于不同的两点M , N,设 M(X1, y1), N(X2, y2),1所以= - 8k(2k- 1)2-4(3 + 4k

18、2)(16k2- 16k- 8)0，所以 k -.28k (2k- 1)16k - 16k- 8x1+ x2=3+ 4k2, x1x2=3 + 4k2,因为 =(X1-2)(X2-2) + (y1- 1)(y2-1) = 5，所以(X1-2)(X2-2)(1 + k2) = 4,25即X1X2 2(X1 + X2) + 4(1 + k )= 4,2_2 16k 16k-8 8k (2k 1)2 4+ 4k 5所以一_3+ 4k2- 2 3+4k2 + 4 (1 + k)=3T4?=4解得k= 因为k -2所以k=2,1 故存在直线11满足条件，其方程为 y= x.第20题解答题“圆铠曲线的编合

19、问题抢号练22厂1.(2019湖南东部六校联考)设椭圆C1： a2+讣=1(ab0)的离心率为-2, F1, F?是椭圆的两个焦点，S是椭圆上任意一点，且SF1F2的周长是4 + 2 3.(1) 求椭圆C1的方程；(2) 设椭圆C1的左、右顶点分别为 A, B，过椭圆C1上的一点D作x轴的垂线交x轴于点E,若C点满足、二丄；厂，-，连接AC交DE于点P,求证：PD = PE.解：由e=乎知匚屮，所以。=浚,2 a 22因为 SF1F2的周长是4+ 2 3，所以2a + 2c= 4 + 2 3,所以 a= 2, c= , 3,所以 b2= a2- c2= 1,2所以椭圆C1的方程为：7 + y2

20、= 1.4(2)证明：由(1)得 A( - 2, 0), B(2, 0)，设 D(X0, yo)，所以 E(xo, 0),因为，所以可设 C(2, y1)，所以 = (X0+ 2, y。)，疋=(2, y)由可得：(x+ 2)yi= 2y,即卩 yi =拓匚2,所以直线AC的方程为：yx+ 22yo4 .xo+ 2整理得：y=2(x【；2)(x+ 2).又点P在DE上，将x= xo代入直线AC的方程可得：y=号，即点P的坐标为xo, yo，所以P为DE的中点，所以PD = PE.2x2. (2019河南六市联考)如图，在平面直角坐标系 xOy中，已知R(xo, yo)是椭圆C:刃+2醫=1上的

21、一点，从原点 O向圆R： (x xo) 2,化简得(xo 8)k1 2xoyok1 + yo 8= o,禺一8)k2 2xoyok2+ yo 8= o,所以k1, k2是方程(xo 8)k2 2xoyok + yo 8= o的两个不相等的实数根，由根与系数的关+ (y yo)2= 8作两条切线，分别交椭圆于点P,Q.(1)若R点在第一象限，且直线 OP, OQ互相垂直，求圆 R的方程;若直线OP, OQ的斜率存在，并记为 ki, k2，求ki k2的值. 解：(1)设圆R的半径为r，由圆R的方程知r = 2 2,因为直线OP, OQ互相垂直，且和圆 R相切,所以|OR|= 2r = 4，即卩爲

22、+处=16,2 2又点r在椭圆c上，所以+ y2 = 1,xo = 2 迈,联立，解得_yo = 2寸2,所以，圆R的方程为(x 2 2)2+ (y 2 _2)2= 8.(2)因为直线OP : y= k1X和 OQ: y= k2X都与圆R相切，所以|k1Xo yo|-|k2xo yo|=1 + k2 =22，+ k2 =系得，k2=瞬,X0 一 8因为点R(xo, y)在椭圆2 2c 上，所以 24+12=1,1即 y2= 12 *0,所以 72 =4殳21x0 8 = 2.3. ( 2019 江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，已知直线I: x y 2= 0，抛物线C：2y = 2px(p

23、0).(1)若直线I过抛物线C的焦点,(2)已知抛物线C上存在关于直线I对称的相异两点 P和Q. 求证：线段PQ的中点坐标为(2 p, p); 求p的取值范围.解：(1)抛物线C： y2= 2px(p0)的焦点为 2 0 ,由点g, 0 在直线 I: x y 2= 0 上，得 2 0 2= 0, 即p = 4.所以抛物线C的方程为y2= 8x.设P(xi, yi), Q(X2, y2),线段PQ的中点M(X0, yo).因为点P和Q关于直线I对称, 所以直线I垂直平分线段PQ,于是直线PQ的斜率为1，则可设其方程为 y= x+ b.证明：由消去x得y2+ 2py 2pb= 0.(*)因为P和Q是抛物线C上的相异两y = x+ b所以 丫仟 y2,从而 = (2p)2 4X ( 2p