八年级数学培优专题讲解《勾股定理》含答案

1、八年级数学培优专题讲解勾股定理【培优图解】如舉苴角二角甩的闊黄定边长分别対皿bT斜边怅为C 那么d+F1勾股定理的变式！（&?=.屈+蕨:d*c-b4-1= , c*- ft； SA- . e a .直角三角形三边船系婪舷用扛册三鞄魁直甬三侑涉的判断 理墨定痙实际应川如集W肃宠三边Ks忆t*满越才S*. 那么这卜3鋼形竝ff甬二角形【技法透析】勾股定理是几何中重要的定理之一，它是把直角三角形的“形”与三边关系这一 “数”结合起来，是数形结合思想方法的典范.1 勾股定理反逆定理的应用主要用于计算和证明等.2 勾股数的推算公式若任取两个正整数 m、n（mn），那么m2 n2, 2mn, m2 +

2、n2是一组勾股数.如果k是大于1的奇数，那么2 2k2 1 k2 1k, k一1 , -一1是一组勾股数.2 2 如果k是大于2的偶数，那么 如果a, b, c是勾股数，那么3 .创设勾股定理运用条件1,2k1是一组勾股数,2na, nb, nc（n是正整数）也是勾股数.当勾股定理不能直接运用时，常需要通过等线段代换、作辅助线段等途径，为勾股定 理的运用创造必要的条件，有时又需要由线段的数量关系去判断线段的位置关系.在有等边三角形、正方形的条件下，可将图形旋转60或90,旋转过程中角度、线段的长度保持不变，在新的位置上分散条件相对集中，以便挖掘隐含条件，探求解题思 路.【名题精讲】考点1运用勾

3、股定理解有关折叠问题例1 如图，折叠长方形 ABCD 边，点D落在BC边的点F处，若AB = 8cm, BC =10 cm，求EC的长.【切题技巧】由图形易知 ADF AFE，从而AD = AF , DE = EF.先在Rt ABF中用勾股定理求出 BF,再在RtA EFC中由勾骰定理列方程可求 EC的长.【规范解答】亠设则VAADE折叠盾的图形为厶AFE.AAADEB1肆 AF=AD= BC = lo,EF= EfJ=8一丁衣中由勾股定理得 BF= /AF -Aff - Vlof-6?-6：10 (S4.在RtAEFC中由勾股定理得EP+FCfl , ffil-y+ V ,解得壬=3,即EC

4、的长为毗血【借题发挥】图形折叠问题一般是“全等形”，或“等腰三角形”等对称图形问题，勾股定理是常常用到的计算方法，体现了勾股定理作为主要计算工具在解决与直角三角形相关图形变换的综合题中的具体应用.【同类拓展】1.把一张长方形纸片（长方形ABCD）按如图17-2所示的方式折叠，使 顶点B和点D重合，折痕为 EF.若AB = 3cm, BC = 5cm,则重叠部分 DEF的面积是 cm2.考点2运用勾股定理的逆定理求角度例2 如图，在正方形 ABCD中，PA= 1, PB = 2, PC= 3, P在正方形内部，试求 / APB的度数.【切题技巧】/ APR转住力/ RHzHMCtznMP*zcM

5、r和用盤转M圧术岀止BMP求出的国啟APHMffllfc利用与毅建理的淫定理卓岀 PMCWAABP疑点H捲噸时针方向艇转的位甘，连接PM.APA= tPM=9Q在 RtAFBM 巾8 且x：BMP-45*ftAPAfC 中.PM1 =8,MC-1 tPrPM + Mr = PCA RVfC为直角三角形，且/ PMC-906A Z BMC-Z BMP-bZ P1WO 4 F + 则=1 卯又TAHM厂足由MPA廳转而城的；NB賊=ZHPA = I3*故ZAPH的度數为135【借题发挥】 旋转变换后再运用勾股定理及逆定理是求三角形角的度数的常见方 法，即用恰当的旋转变换方式来构建直角三角形能够使用

6、旋转法的条件是旋转后的图形 与原图形有边相等能够重合.2 .如图，等边 ABC内有一点P,若点P到顶点A、B、C的距离分别为3、4、5, 求/ APB的度数.17-5-1考点3求立体图形中的两点之间的最短距离例3 如图所示，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B点，那么沿哪条路线最短？最短路程是多少？已知长方体的长为2cm、宽为1cm、高为4cm.【切题技巧】由于蚂蚁沿长方体的表面爬行，故需把长方体展开成平面图形，根据两点之间线段最短和“勾股定理”可求解.【规范解答】右=序+ r =25AH =ACtCCIYAr h口开祁圖IB 17fi-CB t=2t + (l)l29 A ABF- TTS

7、cmCAAA IT幵居到 1亍一5-3右 Aa = AiyiitDt I1 i-(Z+4T 37冏cm城上所述毎路程应为图1)/扩礼血【借题发挥】“最短路线”是勾股定理在实际生活中的具体应用，一般地，求“最短路线”要“立体问题”转化为“平面问题”，这类问题涉及到的几何体主要有长方体、正方体、圆柱、圆锥等.在将几何体的表面展开时， 要注意确定展开图中两点的相应位置.同时，由于将几何体的表面展开时可能有几种不同的情况，因此，有些问题可能会求得几个不同的结果，这就需要通过分析比较后才能确定适合题意的答案.【同类拓展】3 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm、3cm和lcm , A

8、和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，它想到 B点去吃可口的食物请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到 B点，最短路线的长是多少？考点4勾股定理反其逆定理的综合运用1例4 如图所示，正方形 ABCD中，E是AD中点，点F在DC上，且DF = DC,4 试判断BE和EF的位置关系？并说明你的理由.【切题技巧】 观察图，会给我们 BE与EF垂直的直观印象.若直接证明 BE与EF 垂直，则十分困难.若连接 BF，设DF = a,利用勾股定理及其逆定理证明厶 BEF为直角 三角形，得到 BE丄EF.【规范解答】BF和EF的位置关系是：BE丄EF .p理由=连我HK tQ nr出，则

9、DE丄卫.匚FIE Kt冲HE 申 出F -二片E = %严 + f %F =业RtAPKF中，EF* =D芒十D皆-加屮+淖3护r:.HE + EK 壬 H!-:诺扛用三用瞩.JiF丄EFBC【借题发挥】勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题时是密不可分的，通常既要通过勾股定理求出三角形边长，又要通过逆定理判断一个三角形是直角 三角形，两者相辅相成.米，从A处往B处，经过两座桥：DD、EE.设护城河是东西一一南北方向的，A、B在东西向相距64米，南北方向相距 84米，恰当地架河可使 AD、DE、EB的路程最短，这 个最短距离是米.【切题技巧】要判断最短路程，需先确定两座桥的位置

10、，确定桥的位置后，再根据护城河的直角转弯形成的直角三角形利用勾股定理求解.【规范解答】 如图 ，作AA丄CD , AA = DD , BB丄CE, BB = EE,则折线 ADDEEB 的长度等于折线 AA , DEBB的长度，即等于折线 ADEB的长度+ AA + BB 而折线 ADEB以线段AB最短，故题目所求最短路程 S= AB + 8,而A、B在东西方向上相距 为64 - 4 = 60 （米），在南北方向上相距 84 - 8 = 80 （米）由勾股定理可知， AB = 602 802 = 100（米），S= 108 （米）【借题发挥】实际问题中，最短路程问题等常常在构造直角三角形后，利

11、用勾股定理计算求解.5如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格 为5x 6X 10（单位：cm）,在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为 13cm，小孔到图中边 AB距离为1cm,到上盖中与 AB相邻的的两 边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的长为hcm，则h的最小值大约为cm.（精确到个位，参考数据：.2 = 1.4,3 = 1.7 ,5 = 2.2）.吸管310考点6勾股定理与函数的综合问题y =-与直线x求AB的长.（2）若点P是第一象限双曲线上一动点，如图所示，AE2 RF2轴于点F, AP交y轴于点E，试判断一一 -一的值是否为定值？并加以证明.EF例6如图，在平面直角坐标系中，双

12、曲线y=-交于点 A、B. （1）4BC丄AP于点C,交x2因为A、B为双曲线与直线的交点，所以只需将两个已知函数的解【切题技巧】析式成方程组，它们的解即交点A、B的坐标.(2)从结论AE2 BF2EF2入手，联想勾股定理,x通过作辅助线将 AE、BF、EF这三条线段转移到同一直角三角形中.【规范解答】f V=A!工 十刃=一4门)解方程组W-J*王1 = 1=一I4BJh0A=nB,AAB=2OB = 2 yfz + ? = 2 Jvf竝詳匕为一定值1.过A点惟AM/7CF交丁轴于点连站AM,ME 如图17-U5所示IXVOlOBk AAAOMASOFtAAS： t.*MV*BF*aM=OF

13、+TOE丄MF A儘 RtAiMAf：中十沖拧=ME* 代甘F 沖 AE、t Jr【借题发挥】(1)当题目中涉及线段平方时应联想到勾股定理，若这些线段不在直角三角形中则应添加辅助线， 将分散的线段集中在同一直角三角形中，本题还可以过点 B作BN / AE交y轴于点N ,将三条线段收集在 RtA BNF中，如图17- 11所示.利用“中 点”能构成多种辅助线，要根据题目的需要进行构造.【同类拓展】6 .已知 OMN中，0M = ON，/ MON = 90,点B为MN的延长线上一点，0C丄0B .且0C = OB , 0G丄BC于G,交MN于点A .(1)如图所示，求证：/CMB = 90;求证：AM 2+ BN2= AB2;(2) 如图，在条件上，过 A作AE