第六章工程力学

1、1 2第六章第六章 空间力系空间力系 61 工程中的空间力系问题工程中的空间力系问题 62 力在空间坐标轴上的投影力在空间坐标轴上的投影 63 力对轴之矩力对轴之矩 64 空间力系的平衡问题空间力系的平衡问题 3 工程中常常存在着很多各力的作用线不在同一平面内的力工程中常常存在着很多各力的作用线不在同一平面内的力系，即系，即空间空间力系，空间力系是力系，空间力系是最一般最一般的力系。的力系。 迎 面风 力侧 面风 力b61 工程中的空间力系问题工程中的空间力系问题(a)图为空间图为空间汇交汇交力系；力系； (b)图为空间图为空间任意任意力系；力系； (b)图中去了风力为空间图中去了风力为空间平

2、行平行力系。力系。4 1.1.力在空间的表示力在空间的表示： 力的三要素：力的三要素： 大小、方向、作用点大小、方向、作用点( (线线) ) 大小：大小： 作用点作用点：在物体的哪点就是哪点在物体的哪点就是哪点 方向：方向： 由由 、 、g g三个方向角确定三个方向角确定 由仰角由仰角 与俯角与俯角 来确定。来确定。gFxyOFF 6-2 6-2 力在空间坐标轴上的投影力在空间坐标轴上的投影52 2、一次投影法（直接投影法）、一次投影法（直接投影法）由图可知：由图可知：cos ,cos ,cos XYZFFFFFFg6 3、 间接（二次）投影法间接（二次）投影法注意：注意：空间力在轴上的投影是

3、代数量，而在平面上的投影则是空间力在轴上的投影是代数量，而在平面上的投影则是 矢量。矢量。 与平面力系一样，空间力在坐标轴上的投影也是一个基本与平面力系一样，空间力在坐标轴上的投影也是一个基本计算，应熟练掌握。其中二次投影法用得较多。计算，应熟练掌握。其中二次投影法用得较多。sinsinyFFgcoszFFgsincosxFFgsinxyFFg7222XYZFFFFcos,cos,cosXYZFFFFFFgFxFyFz4 4、 如果已知空间力的各投如果已知空间力的各投影量的大小也可以求出力的影量的大小也可以求出力的大小和方向，即：大小和方向，即：8例例6-1 如图所示圆柱斜齿轮，其上受啮合力如

4、图所示圆柱斜齿轮，其上受啮合力 的作用。已知斜的作用。已知斜齿轮的啮合角齿轮的啮合角(螺旋角螺旋角) 和压力角和压力角 ，试求力试求力 沿沿 x，y 和和 z 轴轴的投影。的投影。nFnF9nsin zFF 解：解：sin xxyFF cos yxyFF ncossin F ncoscos F ncosxyFF将力将力 向向 z 轴和轴和Oxy 平面投影平面投影nF将力将力 向向x，y 轴投影轴投影xyF1063 力对轴之矩力对轴之矩力使物体绕某一轴转动效应的力使物体绕某一轴转动效应的度量，称为度量，称为力对该轴的矩力对该轴的矩。u 力对轴的矩的定义力对轴的矩的定义()zMF()xyOMFxy

5、F d l 力对轴之矩是代数量力对轴之矩是代数量一、一、力对轴之矩的概念力对轴之矩的概念11l 正负号规定正负号规定一、力对轴之矩的概念一、力对轴之矩的概念()zMFxyF d 或用右手法则来判定或用右手法则来判定12(1) Fxy = 0与与z z轴共面轴共面平行于平行于 z 轴轴(2) d = 0作用线通过作用线通过 z 轴轴()zMFxyF d 当力与轴当力与轴共面时，力对该轴的矩等于零共面时，力对该轴的矩等于零。 在什么情况下在什么情况下()0zMFFFFd13力力F与轴共面时，力对轴之矩为零。与轴共面时，力对轴之矩为零。14二、合力矩定理二、合力矩定理12xRxxxnMFMFMFMF

6、 空间力系的合力矩定理：空间力系的合力对某一轴的矩，空间力系的合力矩定理：空间力系的合力对某一轴的矩，等于力系中各分力对同一轴的矩的代数和。等于力系中各分力对同一轴的矩的代数和。xRxiMFMF即即15三、力对轴之矩的解析表达式三、力对轴之矩的解析表达式( )xzyM FyFzF( )yxzMFzFxF( )zyxMFxFyF先看对先看对 轴的矩轴的矩: :类似地，有：类似地，有：()()zOxyMFMF()xOMF()yOMFyx F xy F 力对轴的矩的解析表达式力对轴的矩的解析表达式16 手柄手柄ABCE在平面在平面Axy内，在内，在D处作用一个力处作用一个力F，如，如图所示，它在垂直

7、于图所示，它在垂直于y轴的平面内，偏离铅直线的角度为轴的平面内，偏离铅直线的角度为 。如果。如果CD=b，杆杆BC平行于平行于x轴，杆轴，杆CE平行于平行于y轴，轴，AB和和BC的长度都等的长度都等于于l。试求力。试求力F 对对x，y和和z三轴的矩。三轴的矩。例例6-217应用合力矩定理求解。应用合力矩定理求解。 xMF 由于力与轴平行或相交时力对该轴由于力与轴平行或相交时力对该轴的矩为零，则有的矩为零，则有解：解： yMFxzMF zFABCD cos F lb yzMF zF BC cos Fl zxMF xFABCD sin F lb zMF1864 64 空间力系的平衡方程空间力系的平

8、衡方程 空间任意力系的平衡方程为：空间任意力系的平衡方程为：一、一、空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程 空间任意力系平衡的充要条件：所有各力在三个坐标轴中空间任意力系平衡的充要条件：所有各力在三个坐标轴中每一个轴上的投影的代数和等于零，以及这些力对于每一个坐每一个轴上的投影的代数和等于零，以及这些力对于每一个坐标轴的矩的代数和也等于零标轴的矩的代数和也等于零. 空间任意力系有空间任意力系有独立的平衡方程，可解独立的平衡方程，可解未知量。未知量。 除基本式外，平衡除基本式外，平衡 方程也有四矩式、五矩式和六矩式。方程也有四矩式、五矩式和六矩式。000 xyzFFF000 xyzMMM1

9、9 空间汇交力系平衡的充要条件：空间汇交力系平衡的充要条件：该力系中所有各力在三个该力系中所有各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零。坐标轴上的投影的代数和分别为零。 可见，空间汇交力系共有可见，空间汇交力系共有三个独立三个独立的平衡方程，可求解的平衡方程，可求解未知量未知量。000 xyzFFF二、空间特殊力系的平衡方程二、空间特殊力系的平衡方程1 1、空间汇交力系空间汇交力系的平衡方程的平衡方程 空间任意力系的平衡方程，是平衡方程的空间任意力系的平衡方程，是平衡方程的最一般最一般的形式。的形式。其其它各种力系的平衡方程，都是空间任意力系平衡方程的它各种力系的平衡方程，都是空间任意力系平衡

10、方程的特例特例。20例例6-3 6-3 物重物重P=10kN，CE=EB=DE30，求杆受力及绳拉力。，求杆受力及绳拉力。解：画受力图如图，列解：画受力图如图，列平衡方程平衡方程0 xF 1sin45F0yF sin30AF0zF cos30AF解得：解得：123.54FFkN8.66AF kN2sin45F01cos45 cos30F2cos45 cos30F0P1cos45 sin30F2cos45 sin30F0212 2、空间平行力系的平衡方程、空间平行力系的平衡方程 设各力平行于设各力平行于z 轴，轴，则空间任意力系的则空间任意力系的6个平衡方程中有个平衡方程中有3个恒为零，即个恒为

11、零，即则空间则空间平行力系的平衡方程平行力系的平衡方程1110, 0, ()0nnnixiyiziiiFFMF000zxyFMM22 如图所示三轮小车，自重如图所示三轮小车，自重 = 8 kN，作用于，作用于E点，点，载荷载荷F1 = 10 kN，作用于，作用于C点。求小车静止时地面对车轮的约束点。求小车静止时地面对车轮的约束力。力。 例例6-423 以小车为研究对象，主动力和约束反力组成空间平行以小车为研究对象，主动力和约束反力组成空间平行力系，受力分析力系，受力分析 如图。如图。0zF 5.27 kN8.03 kN4.7 kNDBAFFF解方程得解方程得解：解：列平衡方程列平衡方程 0 x

12、M F 0yMF 1 0. 2F1.2P 2.2DF018 0.F0.6 P 0.6 DF10ABDFP FFF 1.2BF024 例例6-5 在图中胶带的拉力在图中胶带的拉力 F2 = 2F1，曲柄上作用有铅垂力，曲柄上作用有铅垂力F = 2 000 N。已知胶带轮的直径。已知胶带轮的直径D=400 mm，曲柄长，曲柄长R=300 mm，胶带，胶带1和胶带和胶带2与铅垂线间夹角分别为与铅垂线间夹角分别为 和和, =30o , =60o ，其它尺寸如图所示，求胶带拉力和轴承约束力。，其它尺寸如图所示，求胶带拉力和轴承约束力。25解：以整个轴为研究对象，画受力图解：以整个轴为研究对象，画受力图列

13、平衡方程列平衡方程0 xF 0yF 1sin30F000zF 1cos30F2sin60FAxFBxF02cos60FAzFFBzF026 0 xMF 1cos30200F 0yMF F R 0zMF 1sin30200F解得：解得：123000 ,6000 ,FFNN1004 ,9397 ,AxAzFF NN3348 ,1799 ,BxBzFF NN2cos60200F200F400BzF0212DFF02sin60200F400BxF027例例6-6 已知已知: RC=100mm, RD=50mm, Px=466N, Py=352N, Pz=1400N 求：平衡时求：平衡时(匀速转动匀速转

14、动)力力Q=？ (Q力作用在力作用在C轮的最低点）和轴承轮的最低点）和轴承A , B的约束反力？的约束反力？解：解：选研究对象选研究对象 作受力图作受力图 选坐标列方程选坐标列方程 最好使每一个方程最好使每一个方程有一个未知数，方便求有一个未知数，方便求解。解。280;YF由0,352(N)AyAyYPYP0;yM 50 1000,746(N)zxPQQ 290; zM 3005020050 cos200, 437(N)xyBBPPXQX0; XF cos200, 729(N)ABxAXXP QX0; xM 20030050 sin200, 2040(N)BzBZPQZ 0; ZF sin20

15、0, 385(N)ABzAZZPQZ 30 方法方法(二二) :将空间力系投影到三个坐标平面内，转化为平将空间力系投影到三个坐标平面内，转化为平面力系平衡问题来求解，请同学们课后自己练习求解。面力系平衡问题来求解，请同学们课后自己练习求解。31例例6-7 已知已知:P=2000N, C点在点在Oxy平面内平面内 求：力求：力P对三个坐标轴的矩对三个坐标轴的矩 60cos45cos60sin45cos45cos45sinPPPPPPPPyxxyz解：解：选研究对象；选研究对象；画受力图；画受力图；选坐标列方程。选坐标列方程。32( )()()()xyzzzzzm Pm Pm Pm P)mN(8

16、.8445sin6600)()()()(PPPmPmPmPmzzxyxxxx)mN( 7 .7045sin5500)()()()(PPPmPmPmPmzzyyyxyy6( 5)06cos45 sin605cos45 cos6038.2(N m)xyPPPP 33例例6-86-8已知：已知：,25. 4NxF,8 . 6 NyF,17NzF,36. 0FFr,50mmRmm30r，各尺寸如图。，各尺寸如图。求：求：（2 2）A、B处约束力处约束力（3 3）O 处约束力处约束力,rF F(1)(1)解：研究对象解：研究对象1 1：主轴及工件，受力图如图：主轴及工件，受力图如图340zF0yF0 xF0 xAxBxFFFF0yByFF0zAzBzFFFF 0FMx 0FMy 0FMz48876BzFFR48876BxF76Fg388zFzF r076F388xF30yF0035又：又：,36. 0FFr结果：