元二次方程根的分布练习及答案

1、一元二次方程根的分布一元二次方程根的基本分布零分布所谓一元二次方程根的 零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正【例1】若一元二次方程(m围。1)x22(m1)x m 0有两个正根，求m的取值范24(m 1) 分析：依题意有2(m 1)4m(m1)0 m 3)5kx23kx0的两根都是负数，求k的取值范围。【定理3】x-i0X2【例3】k在何范围内取值, 根a一二兀二次方程2kx 3kx k 30有一个正根和一个负根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。设一兀二次方程2 axbxc 0 ( a 0)的两个实根为X1 , X

2、2，且X1X2。b2 4ac 0【定理1】x10,X20(两个正根)b，X1X20acx 0a推论：x10 ,X20b2 4ac 0a 0b2 4ac 0或a 0f(0) c 0f(0) c 0b 0b 0上述推论结合二次函数图象不难得到。k 3分析：依题意有 0 k 3K【定理4】Xi 0, X2 0 c 0且一 0 ；aK Xi 0, X2 0 c 0 且0。a【例4】若一元二次方程kx2(2k1)x k 30有一根为零，则另一根是正根还是负根分析：由已知k 3=0,. k =3,代入原方程得3 x2 +5x =0,另一根为负。二一元二次方程的非零分布一一k分布设一元二次方程ax2 bx

3、c 0 ( a 0)的两实根为x1, x2，且x1 x2。k为常数。则一元二次方程根的 k分布(即x1, x2相对于k的位置)有以下若干定理。【定理1】k x1 x22b 4ac 0af (k)_b_2a【定理2 x1 x2 kb2 4ac 0af(k)0bk2a推论1 x10 x2ac0。推论2 x11 x2a(ab c) 0。【定理4有且仅有k1Xi(或 X2 )k2f(ki)f(k2)0【定理3 x1 k x2af(k)0。a 0a 0f(ki)0f(ki)0【定理5 k1x-ik2p1x2 p2f(k2)0或g)0f(Pi)0f (Pi)0f(P2)0f (P2)0此定理可直接由定理4

4、推出，请读者自证。b24ac 0b2 4ac0a 0a0【定理6 k1x1 x2 k2f (k1)0或f(k：i) 0f (k2)0f(k：2)0bbk1k2k1k22a2a、例题与练习【例5】已知方程x1 2 11x m 2 0的两实根都大于1，求m的取值范围。/129)(12 m -4(2)若一元二次方程mx2 (m 1)x 3 0的两个实根都大于 -1，求m的取值范围。(m2 或 m 5 2 6)卄、若 元.次方程mx (m1)x30的两实根都小于2，求m的取值范围。(m1或m25 2.6 )【例6已知方程x2 2mx :2m230有一根大于2,另一根比2小，求m的取值范围。(1 2m1

5、2 )22已知方程x2 (m2)x 2m10有-实根在 0和1之间，求m的取值范围。(1m -)23(3)已知方程x2 (m 2)x 2m 10的较大实根在0和1之间，求实数m的取值范围。式：改为较小实根(不可能;(4)若方程x2(k2)x2 一3(5)若方程x2(k2)xk1-)22k 1120的两实根均在区间(1、1 )内，求k的取值范围。求k的取值范围。(-k2(6)已知关于x的方程(m0的两根中，一根在22)1)x2 2mx m20和1之间，另一根在1和2之间,1 ，求m的取值范围。【例7】已知关于x的二次方程x2+2m)+2n+仁0.m 60的两根为.7 或 2 m . 7 )且满足

6、f(x)=x2+2m)+2mH与x轴的交点分别在区间(-1, 0)和(1 , 2)内，画出示意图，得mf(0)2m10,mf( 1)20,f(1)4m20,mf(2)6m50制解：(1)条件说明抛物线m12R,1256f(0) 0, 据抛物线与x轴交点落在区间(0 , 1)内，列不等式组 f(1)0，0,0 m 112，2，.2或m 1. 2,m 0.(这里0 m1是因为对称轴x= m应在区间(0, 1)内通过)1 若方程 4x (m 3)?2x m提示：令2x=t转化为关于t的一 2.若关于x的方程 范围。ig(x20有两个不相同的实根，求 m的取值范围。 元二次方程有两个不同的正实根。答案

7、：0有唯一的实根，20x) lg(8x6a3)提示：原方程等价于x220x00m 1求实数a的取值20x 8x 6a20或 x 0令 f (x) = x2+12x+6a+312x 6a 3011(1)若抛物线y = f(x)与x轴相切，有 =144 4(6 a +3)=0即a=d。21111将a=-代入式有x = 6不满足式， a丰。22(2)若抛物线y = f(x)与x轴相交，注意到其对称轴 为x= 6,故交点的横坐标有且仅有一个满足式 的充要条件f ( 20)f(0) 0.当空6另法：原方程等价于问题转化为：求实数a的取值范围，使直线y=8x 6a 3与抛物线y = x2 +20x( x 0)有且只有 一个公共点。虽然两个函数图像都明确，但在什么条件下它们有且 只有一个公共点却不明显，可将变形为X2+12X+3= 6a( x0)，再在同一坐标系中分别也作出抛2物线y = x +12x+3和直线y= 6a ,如图，显然当 31636 a w 163 即a6有且只有一个公共点。3.已知 f (x) =( x a )( x b) 2( a b)，并且 ()，则实数a , b,、 的大小关系是(abB、a b C是0解得1631a621时原方程有唯一解。22x +20X=8X 6a