(统计学课件）7方差分析

1、( (统计学课件统计学课件7 7方差分析方差分析方差分析(Analysis of variance)vSnedecor,1946v根据FISHER的早期工作创造的一种检验方法v v 用于多个样本间均数的比较George Waddel Snedecor1.方差分析的根本原理v所依据的根本原理是变异的可加性所依据的根本原理是变异的可加性v在统计分析中，一般用方差来描述变量的变在统计分析中，一般用方差来描述变量的变异性异性 组间变异组间变异总变异总变异组内变异组内变异总平方和(总变异) SSTv反映全部观测值总变异的总偏差平方和是各观测反映全部观测值总变异的总偏差平方和是各观测值值xij与总平均数与

2、总平均数 的离均差平方和，记为的离均差平方和，记为SSTv反映了反映了所有测量值之间总的变异程度所有测量值之间总的变异程度v即即kinjijTxxSS112.)(.x组间平方和SSBv组间变异=抽样误差+处理因素效应组内变异SSWv组内变异为各处理组内观察值与其均数的差值的平方和之和v反映随机误差的影响三种三种“变异变异之间的关系之间的关系组内组内组间组间总总SSSSSS+=， 且 总 =组间 +组内 组内变异组内变异SSSS组内组内： 抽样抽样误差误差 组间变异组间变异SSSS组间组间：处理因素：处理因素 + + 抽样误差抽样误差 三种自由度v总自由度 TBW2方差分析的根本过程v提出假设提

3、出假设v选择检验统计量并计算选择检验统计量并计算 分解平方和分解平方和SS 分解自由度分解自由度df 计算方差计算方差MS 计算计算F值值v作出统计结论并列方差分析表作出统计结论并列方差分析表方差分析表方差分析表3方差分析的根本假定总体正态分布总体正态分布(常态性常态性)各实验处理随机且相互独立可加性各实验处理随机且相互独立可加性各实验处理内方差一致各实验处理内方差一致(同质性同质性) 需要进行检验需要进行检验4方差分析中的方差齐性检验v常用常用Hartley所提出的最大所提出的最大F值检验法值检验法v其计算公式为其计算公式为2min2maxmaxSSF各组容量不等时，用各组容量不等时，用的的

4、n计算自由度：计算自由度：1 ndfFmax检验统计决断规那么Fmax与临界值比较与临界值比较 P值值 显著性显著性 检验结果检验结果 FmaxFmax(df)0.05P0.05不显著不显著保留保留H0，拒绝，拒绝H1Fmax(df)0.05 Fmax Fmax(df)0.010.05P0.01显著显著在在0.05显著性水平显著性水平拒绝拒绝H0，接受，接受H1Fmax Fmax(df)0.01P0.01极其显著极其显著在在0.01显著性水平显著性水平拒绝拒绝H0，接受，接受H1二完全随机设计的方差分析v只有一个实验因素只有一个实验因素vK种不同水平种不同水平(K2)N名被试，再名被试，再K个

5、实验组施个实验组施以各种不同的实验处理以各种不同的实验处理vK组不同处理间相互独立组不同处理间相互独立v组间设计组间设计/组内设计组内设计/混合设计混合设计1变异来源完全随机设计的方差分析将变异来源分解为组间完全随机设计的方差分析将变异来源分解为组间变异和组内变异两局部变异和组内变异两局部组间变异是不同实验组分数之间的变异组间变异是不同实验组分数之间的变异组内变异是实验组内部各分数之间的变异组内变异是实验组内部各分数之间的变异SSwithin and SSbetweenv 在实验的结果中在实验的结果中v如果组内的差异较大，而组间的差异较小，说如果组内的差异较大，而组间的差异较小，说明几种不同的

6、实验处理在效果上并没有明显的明几种不同的实验处理在效果上并没有明显的差异差异v如果组间的差异较大，而组内的差异较小那么如果组间的差异较大，而组内的差异较小那么说明几种不同的实验处理在效果上表现出明显说明几种不同的实验处理在效果上表现出明显的差异的差异 2完全随机设计方差分析的计算公式总平方和可以分解为组间平方和与组内平方和总平方和可以分解为组间平方和与组内平方和WBTSSSSSS各平方和的计算公式：v组间平方和nXnXSSB22v组内平方和v总平方和nXXSSW22nXXSST22 分解自由度v组间自由度WBTdfdfdfv组内自由度v总自由度总自由度可以分解为组间自由度和组内自由度总自由度可

7、以分解为组间自由度和组内自由度：1 kdfBkndfW1ndfT计算方差v组间方差 BBBdfSSMSv组内方差 WWWdfSSMSWBMSMSF 检验统计决断规那么F与临界值比较与临界值比较 P值值 显著性显著性 检验结果检验结果 FF (dfB,dfW)0.05P0.05不显著不显著保留保留H0，拒绝，拒绝H1F (dfB,dfW)0.05 F F (dfB,dfW)0.010.05P0.01显著显著在在0.05显著性水平显著性水平拒绝拒绝H0，接受，接受H1F F (dfB,dfW)0.01P0.01极其显著极其显著在在0.01显著性水平显著性水平拒绝拒绝H0，接受，接受H1做出统计决断

8、列出完全随机设计的方差分析表变异来源变异来源平方和平方和自由度自由度方差方差F F 值值概率概率组间变异组间变异SSBdfBMSBP组内变异组内变异SSwdfwMSw总变异总变异SSTdfTWBMSMSF 完全随机设计方差分析表例1 根据原始数据方差分析v一批学生随机被分为三组,进行三种记忆方法的实验.结果如下,问这几种记忆方法的效果是否存在显著差异?v在方差分析过程中,如果原始数据比较大,求平方和时运算不方便,可将每个数据值减去一个常数,然后求平方和.结果会与原始数据求得的平方和相等v但由于数值较小,计算比较方便根据样本统计量方差分析v例 把40个学生随机分为四组,每组10人,每组接受一种方

9、法的阅读训练,训练后的测验成绩如表.训练成绩服从正态分布,各组方差齐性,问四种训练方法是否存在显著性差异?v组内设计的方差分析组内设计的方差分析v重复测量设计的方差分析重复测量设计的方差分析v目的目的: : 将个别差异从组内变异中别离出来将个别差异从组内变异中别离出来随机区组设计的方差分析为达成该目的v把从同一个总体中抽取的被试按条件相同的原把从同一个总体中抽取的被试按条件相同的原那么分成各个组称为区组，使每个区组内那么分成各个组称为区组，使每个区组内的被试尽量保持同质的被试尽量保持同质v在在之后，用方差分析之后，用方差分析法对这法对这平均数差异所进行的显著性平均数差异所进行的显著性检验，称为

10、检验，称为的方差分析的方差分析用“区组的方法v步骤v 1先分“组：根据被试的特点和研究课题的要求v v 2再分“区：根据实验水平，在每一组内划分假设干小区v3形成“区组做实验：v 区组内的被试随机接受不同的实验处理， v 或者，区组内的被试接受所有实验处理v原那么原那么v就区组来说，每一个区组都接受所就区组来说，每一个区组都接受所有的各种实验处理有的各种实验处理v就实验处理来说，每一种实验处理就实验处理来说，每一种实验处理在各个区组中重复的次数相同在各个区组中重复的次数相同2.变异来源v随机区组设计的方差分析将变异来源分解为组间变随机区组设计的方差分析将变异来源分解为组间变异、区组变异和误差变

11、异三局部：异、区组变异和误差变异三局部：ERBTSSSSSSSS3随机区组设计方差分析的计算公式v分解平方和分解平方和 nXXSST22nXnXSSB22区组平方和 v公式中：公式中：R表示某一区组在某种处理的分数表示某一区组在某种处理的分数v n表示区组数，表示区组数，K表示处理数表示处理数nkRkRSSR22RBTESSSSSSSS误差平方和 分解自由度分解自由度v总自由度可以分解为组间、区组和误差自总自由度可以分解为组间、区组和误差自由度：由度：ERBTdfdfdfdf1 nkdfT1 kdfB1 ndfRRBTEdfdfdfdf计算方差计算方差组间方差BBBdfSSMSRRRdfSSM

12、SEEEdfSSMS 区组方差 误差方差 计算值计算值v组间方差与误差方差的比值组间方差与误差方差的比值EBMSMSF ERMSMSF v区组方差与误差方差的比值区组方差与误差方差的比值 随机区组设计的方差分析表随机区组设计的方差分析表变异来源变异来源平方和平方和 自由度自由度方差方差F F 值值概率概率组间变异组间变异SSBdfBMSBPP区组变异区组变异SSRdfRMSR误差变异误差变异SSEdfEMSE总变异总变异SSTdfTEBMSMSF 随机区组设计方差分析表ERMSMSF v随机区组设计的方差分析，一般不对区组差异的显随机区组设计的方差分析，一般不对区组差异的显著性进行检验。因为区

13、组间差异的显著与否并不影著性进行检验。因为区组间差异的显著与否并不影响各种实验处理间平均数差异的显著性响各种实验处理间平均数差异的显著性v对区组间的差异进行检验，主要是考察区组之对区组间的差异进行检验，主要是考察区组之间在水平上是否存在显著性差异。假设区组间间在水平上是否存在显著性差异。假设区组间差异不显著，说明各区组的被试本来就是同质差异不显著，说明各区组的被试本来就是同质的，他们之间的差异对总的实验结果影响不显的，他们之间的差异对总的实验结果影响不显著著v4、原那么v 同一区组内的被试尽量同质v5、设计评价v 划分区组有一定难度，而且如果不能保证同一区组尽量同质，那么会有更大的误差v6、优

14、点v 可以把区组效应从组内别离出来，区组效应就是区组变异方差例v将ABCD四种教学方法在城市县镇农村三种环境的学校中确定一个实验班进行实验,结果如下表.问不同方法的效果是否存在显著性差异?问不同环境的学校成绩间是否存在显著性差异(5).列方差分析总表方差分析结果怎么看？F值是不是显著？值是不是显著？显著显著*：p多重事后比较：两两对象比较多重事后比较：两两对象比较1组和组和2组比组比1组和组和3组比组比2组和组和3组比组比显著显著*：p0.05显著显著*：p0.05显著显著*：p0.05阐述比较结果：例如，阐述比较结果：例如，1组比组比2组好，组好，3组比组比1组好，组好，3组比组比2组好组好

15、说明三个组说明三个组中至少两个中至少两个组有差异性组有差异性不显著：不显著：p三个组三个组没有差没有差异性。异性。整体考验与多重比较v整体考验(overall test):当变异数分析F考验值达显著水准，即推翻了平均数相等的虚无假设，亦即表示至少有两组平均数之间有显著差异存在v多个平均数整体效果达显著水准当整体考验显著后必须检验哪几个平均数之间显著有所不同，即进行多重比较multiple comparison来检验v多重比较在进行F考验之前进行，称为事前比较priori comparisonsv在获得显著的F值之后所进行的多重比较，称为事后比较posteriori comparisons二方差

16、分析的事后检验(平均数的多重比较)如果方差分析的结果是多组平均数之间差如果方差分析的结果是多组平均数之间差异显著，这时需要做进一步比较，确定在哪异显著，这时需要做进一步比较，确定在哪些实验处理组之间存在显著差异、而哪些实些实验处理组之间存在显著差异、而哪些实验处理组之间不存在显著差异，这就是事后验处理组之间不存在显著差异，这就是事后检验检验最常用的是最常用的是Newman-Keul提出的提出的 q检验检验法或称法或称NK法法N-K检验法检验法Q检验检验P286vNewman & Keul,1952v新复极差检验法新复极差检验法v是将一组是将一组k个平均数由大到小排列后，根据个平均数由大到小排列

17、后，根据所比较的两个处理平均数的差数是几个平均所比较的两个处理平均数的差数是几个平均数间的极差分别确定最小显著极差数间的极差分别确定最小显著极差Least Significant Ranges值值vQ检验因是根据极差抽样分布原理，其各个检验因是根据极差抽样分布原理，其各个比较都可保证同一个显著水平比较都可保证同一个显著水平v其最小显著极差为：其最小显著极差为：LSR=Q 例例:将将4个实验水平进行个实验水平进行5次实验次实验,以反响时间作为以反响时间作为指标指标问是否有差异问是否有差异?实验次数实验次数1 1# #2 2# #3 3# #4 4# # 10.910.910.650.650.82

18、0.820.980.98 20.960.960.490.490.820.820.980.98 10.610.820.820.890.89 41.281.280.810.810.660.660.780.78 10.310.720.720.770.77 jx.ix 2. jx变异来源变异来源 df 均方和均方和 S2 F F F组组 间间 组组 内内 总变异总变异 19 1.04 结论结论: :差异极显著差异极显著即用四个实验条件有极显著差异即用四个实验条件有极显著差异方差分析表方差分析表p=2 Q=3.00 Qp=2 Q=3.00 Qp=3 Q=3

19、.65 Qp=3 Q=3.65 Qp=4 Q=4.05 Qp=4 Q=4.05 Q查查Q值值表得表得( (df=16):):计算标准误计算标准误062.050193.0 p=2 LSR=3.00 p=2 LSR=3.00 LSR=4.13 LSR=4.13 p=3 LSR=3.65 p=3 LSR=3.65 LSR=4.79 LSR=4.79 p=4 LSR=4.05 p=4 LSR=4.05 LSR=5.19 LSR=5.19 LSR=Q 2kSkSSx内 内内 内 计算计算Q测定的测定的LSR2 2# #3 3# #4 4# #0.570.770.881 1# #1.100.53*0.33

20、*0.22*4 4# #0.880.31*0.113 3# #0.770.20*2 2# #0.57ix小小大大大大小小差异显著标差异显著标* *，极显著标，极显著标* * *4 4比较判断比较判断 梯形标记法梯形标记法 上述结果说明：上述结果说明：1#1#条件比其它条件都难；条件比其它条件都难；4#4#比比2#2#难，但与难，但与3#3#无显著差异；无显著差异；3#3#也比也比2#2#明明显难，显难， 即即2#2#比其它条件都差比其它条件都差方差分析的spss操作1、单因素完全随机设计的方差分析、单因素完全随机设计的方差分析 v检验三种方法的差异数据如何输入？vcompare meansone way anova v选择多重比较的方法，按post hoc，options描述性统计结果方差齐性分析事后检验2.两因素完全随机两因素完全随机v例例:研究者相研究成就动机和学习环境对