第6章 代数方程与差分方程模型

1、6.3 原子弹爆炸的能量估计与量纲分析原子弹爆炸的能量估计与量纲分析6.4 市场经济中的蛛网模型市场经济中的蛛网模型6.5 减肥计划减肥计划节食与运动节食与运动6.6 按年龄分组的人口模型按年龄分组的人口模型第六章第六章 代数方程与差分方程模型代数方程与差分方程模型6.3 原子弹爆炸的能量估计与量纲分析原子弹爆炸的能量估计与量纲分析1945年年7月月16日美国科学家在新墨西哥州的沙漠日美国科学家在新墨西哥州的沙漠试爆了全球第一颗原子弹试爆了全球第一颗原子弹, 震惊世界震惊世界!当时资料是保密的当时资料是保密的, 无法准确估计爆炸的威力无法准确估计爆炸的威力.英国物理学家泰勒研究了两年后美国公开

2、的录像带英国物理学家泰勒研究了两年后美国公开的录像带, 利用利用数学模型估计数学模型估计这次爆炸释放的能量为这次爆炸释放的能量为19.2103t. 后来公布爆炸实际释后来公布爆炸实际释放的能量为放的能量为21103t t(ms)r(m)t(ms)r(m)t(ms)r(m)t(ms)r(m)t(ms)r(m)0.1011.10.8034.21.5044.43.5361.115.0106.50.2419.90.9436.31.6546.03.8062.925.0130.00.3825.41.0838.91.7946.94.0764.334.0145.00.5228.81.2241.01.9348.

3、74.3465.653.0175.00.6631.91.3642.83.2659.04.6167.362.0185.0泰勒测量：泰勒测量： 时刻时刻t 所对应的所对应的“蘑菇云蘑菇云”的的半半径径r原子弹爆炸的能量估计原子弹爆炸的能量估计爆炸产生的冲击波以爆炸点为中心呈球面向四周传播爆炸产生的冲击波以爆炸点为中心呈球面向四周传播,爆炸的能量越大，在一定时刻冲击波传播得越远爆炸的能量越大，在一定时刻冲击波传播得越远. 冲击波由爆炸形成的冲击波由爆炸形成的“蘑菇云蘑菇云”反映出来反映出来. 泰勒用泰勒用量纲分析方法量纲分析方法建立数学模型建立数学模型, 辅以小型试验辅以小型试验,又利用测量数据对爆

4、炸的能量进行估计又利用测量数据对爆炸的能量进行估计.物物理理量量的的量量纲纲长度长度 l 的量纲记的量纲记 L=l质量质量 m的量纲记的量纲记 M=m时间时间 t 的量纲记的量纲记 T=t动力学中动力学中基本量纲基本量纲 L, M, T速度速度 v 的量纲的量纲 v=LT-1导出量纲导出量纲221rmmkf 加速度加速度 a 的量纲的量纲 a=LT-2力力 f 的量纲的量纲 f=LMT-2引力常数引力常数 k 的量纲的量纲 k对无量纲量对无量纲量 ， =1(=L0M0T0)量纲齐次原则量纲齐次原则=fl2m-2=L3M-1T-2在经验和实验的基础上利用物理定律的量纲齐次原则在经验和实验的基础上

5、利用物理定律的量纲齐次原则,确定各物理量之间的关系确定各物理量之间的关系. 量纲齐次原则量纲齐次原则等式两端的量纲一致等式两端的量纲一致量纲分析量纲分析利用利用量纲齐次原则量纲齐次原则寻求物理量之间的关系寻求物理量之间的关系.例：单摆运动例：单摆运动)1 (321glmt 321glmt lmgm求摆动周期求摆动周期 t 的表达式的表达式设物理量设物理量 t, m, l, g 之间有关系式之间有关系式 1, 2, 3 为待定系数，为待定系数， 为无量纲量为无量纲量 2/ 12/ 10321glt(1)的量纲表达式的量纲表达式2ltg 与与 对比对比33212TLMT12003321000201

6、0010101004321)()()()(TMLTMLTMLTMLTMLyyyy000241243TMLTMLyyyyy201001010100TMLgTMLlTMLmTMLt单摆运动中单摆运动中 t, m, l, g 的一般表达式的一般表达式0),(glmtf020041243yyyyy21t l g )/(glt3124yyyyt m l gy1y4 为待定常数为待定常数, 为无量纲量为无量纲量( )0F T(2,0, 1,1)T1234( ,)yy y y y基本解基本解设设 f(q1, q2, , qm) = 0 mjXqniaijij, 2 , 1,1ys = (ys1, ys2,

7、,ysm)T , s = 1,2, m-rF( 1, 2, m-r ) = 0 与与 f (q1, q2, , qm) =0 等价等价, F未定未定. 定理定理 (Buckingham)是与量纲单位无关的物理定律，是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2, ,Xn 是是基本量纲基本量纲, n m, q1, q2, ,qm 的量纲可表为的量纲可表为,mnijaA量纲矩阵记作量纲矩阵记作RankAr若线性齐次方程组线性齐次方程组0Ay有有 m-r 个基本解，记作个基本解，记作mjyjssjq1为为m-r 个相互独立的无量纲量个相互独立的无量纲量, 且且则则)()()()()()()(201002)(

8、100100)(121311fsvlgTMLAg = LT-2, l = L, = L-3M, v = LT-1, s = L2, f = LMT-2量纲分析示例：量纲分析示例：波浪对航船的阻力波浪对航船的阻力航船阻力航船阻力 fmjXqniaijij, 2 , 1,1航船速度航船速度v, 船体尺寸船体尺寸l, 浸没面积浸没面积 s, 海水密度海水密度 , 重力加速度重力加速度g。mnijaAm=6, n=30),(fsvlg0),(21mqqqfTTTyyy) 1, 0, 0()0, 1, 0()0, 0, 1(321flgslvl 1, 3, 1, 0, 2, 0

9、, 0 , 2/ 1, 2/ 1Ay=0 有有m-r=3个基本解个基本解rank A = 3rank A = rAy=0 有有m-r个基本解个基本解ys = (ys1, ys2, ,ysm)T s = 1,2, m-rmjyjssjq1m-r 个无量纲量个无量纲量0),(21mqqqf0),(fsvlg F( 1, 2 , 3 ) = 0与与 (g,l, ,v,s,f) = 0 等价等价flgslvl得到阻力为得到阻力 f 的显式表达式的显式表达式F=0),(213 未定未定mjyjssjq1F( 1, 2, m-r ) = 0 与与 f (q1, q2, , qm)

10、 =0 等价等价221213,),(lsglvglf记爆炸能量为记爆炸能量为E，将，将“蘑菇云蘑菇云”近似看成一个球近似看成一个球形形.时刻时刻 t 球的半径为球的半径为 rt, E空气密度空气密度, 大气压强大气压强P基本量纲：基本量纲：L, M, T 21322; ;MTLPMLMTLETtLr),(PEtr原子弹爆炸能量估计的量纲分析方法建模原子弹爆炸能量估计的量纲分析方法建模 r与哪些因素有关？与哪些因素有关？ r t E P 20210111001320153ALMT量纲矩阵量纲矩阵 0),(PEtrfy=(1,-2/5,-1/5,1/5,0) y=(0,6/5,-2/5,-3/5,

11、1)T原子弹爆炸能量估计的量纲分析方法建模原子弹爆炸能量估计的量纲分析方法建模 Rank3A 5/125/15/15/21EtrErt5/132565/35/25/62EPtPEt0),(21F5/132565/12EPtEtrT123450,( , , , , )Ayyy y y y y有有2个基本解个基本解5/132565/12EPtEtr两个无两个无量纲量量纲量原子弹爆炸能量估计的数值计算原子弹爆炸能量估计的数值计算5/ 132565/ 12EPtEtr时间时间 t 非常短非常短能量能量 E 非常大非常大 )0(5/13256EPt泰勒泰勒根据一些小型爆炸试验的数据根据一些小型爆炸试验的

12、数据建议建议1)0(5/12Etr用用r, t 的实际数据做平均的实际数据做平均空气密度空气密度 =1.25 (kg/m3) 1103t (TNT能量能量)= 4.1841012J 25trEE=19.7957 (103t)E=8.28251013(J)实际值实际值21 103t泰勒的泰勒的计算计算5/12Etrtr最小二乘法拟合最小二乘法拟合 r=atbEtr101010log51log52logE=8.02761013 (J), 即即19.2 103t取取y平均值得平均值得c=6.9038 Ectrycy101010log21,loglog25,模型检验模型检验b=0.40582/5量纲分

13、析法的评注量纲分析法的评注 物理量的选取物理量的选取 基本量纲的选取基本量纲的选取 基本解的构造基本解的构造 结果的局限性结果的局限性 () = 0中包括哪些物理量是至关重要的中包括哪些物理量是至关重要的.基本量纲个数基本量纲个数n; 选哪些基本量纲选哪些基本量纲.有目的地构造有目的地构造 Ay=0 的基本解的基本解. 方法的普适性方法的普适性函数函数F和无量纲量未定和无量纲量未定.不需要特定的专业知识不需要特定的专业知识.6.4 市场经济中的蛛网模型市场经济中的蛛网模型问问 题题供大于求供大于求现现象象 商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定? 当不

14、稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定?价格下降价格下降减少产量减少产量增加产量增加产量价格上涨价格上涨供不应求供不应求 描述商品数量与价格的变化规律描述商品数量与价格的变化规律.商品商品数量数量与与价格价格在振荡在振荡蛛蛛 网网 模模 型型gx0y0P0fxyOxk第第k时段商品数量；时段商品数量；yk第第k时段商品价格时段商品价格.消费者的需求关系消费者的需求关系)(kkxfy 生产者的供应关系生产者的供应关系减函数减函数增函数增函数需求函数需求函数f与与g的交点的交点P0(x0,y0) 平衡点平衡点一旦一旦xk=x0，则，则yk=y0, 且且 xk+

15、1=xk+2=x0 , yk+1=yk+2= =y0 )(1kkyhx)(1kkxgy供应函数供应函数xyOfgy0 x0P0设设x1偏离偏离x0 x1x2P2y1P1y2P3P4x3y332211xyxyx0321PPPP00,yyxxkkP0是稳定平衡点是稳定平衡点P1P2P3P4P0是不稳定平衡点是不稳定平衡点gfKKxyOy0 x0P0fg)(kkxfy )(1kkyhx)(1kkxgy00,yyxxkk gfKK曲线斜率曲线斜率蛛蛛 网网 模模 型型0321PPPP )(kkxfy )(1kkyhx在在P0点附近用直线近似曲线点附近用直线近似曲线)0()(00 xxyykk)0()(

16、001yyxxkk)(001xxxxkk)()(0101xxxxkk1P0稳定稳定P0不稳定不稳定0 xxkkxfKgK/1)/ 1()/ 1(1方方 程程 模模 型型gfKKgfKK方程模型与蛛网模型的一致方程模型与蛛网模型的一致)(00 xxyykk 商品数量减少商品数量减少1单位单位, 价格上涨幅度价格上涨幅度)(001yyxxkk 价格上涨价格上涨1单位单位, (下时段下时段)供应的增量供应的增量考察考察 , 的含义的含义 消费者对需求的敏感程度消费者对需求的敏感程度 生产者对价格的敏感程度生产者对价格的敏感程度 小小, 有利于经济稳定有利于经济稳定 小小, 有利于经济稳定有利于经济稳

17、定结果解释结果解释xk第第k时段商品数量；时段商品数量；yk第第k时段商品价格时段商品价格.1经济稳定经济稳定结果解释结果解释经济不稳定时政府的干预办法经济不稳定时政府的干预办法1. 使使 尽量小，如尽量小，如 =0 以行政手段控制价格不变以行政手段控制价格不变2. 使使 尽量小，如尽量小，如 =0靠经济实力控制数量不变靠经济实力控制数量不变xyOy0gfxyOx0gf结果解释结果解释需求曲线变为水平需求曲线变为水平供应曲线变为竖直供应曲线变为竖直2/ )(0101yyyxxkkk模型的推广模型的推广 生产者根据当前时段和前一时段生产者根据当前时段和前一时段 的价格决定下一时段的产量的价格决定

18、下一时段的产量.)(00 xxyykk生产者管理水平提高生产者管理水平提高设供应函数为设供应函数为需求函数不变需求函数不变, 2 , 1,)1 (22012kxxxxkkk二阶线性常系数差分方程二阶线性常系数差分方程x0为平衡点为平衡点研究平衡点稳定，即研究平衡点稳定，即k, xkx0的条件的条件)(1kkyhx211kkkyyhx48)(22, 1012)1 (22xxxxkkk方程通解方程通解kkkccx2211(c1, c2由初始条件确定由初始条件确定) 1, 2特征根，即方程特征根，即方程 的根的根 022平衡点稳定，即平衡点稳定，即k, xkx0的条件的条件:12,12平衡点稳定条件

19、平衡点稳定条件比原来的条件比原来的条件 放宽了放宽了!122, 1模型的推广模型的推广6.5 减肥计划减肥计划节食与运动节食与运动背背景景 多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持. 通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体 的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标.分分析析 体重变化由体内能量守恒破坏引起体重变化由体内能量守恒破坏引起. 饮食（吸收热量）引起体重增加饮食（吸收热量）引起体重增加. 代谢和运动（消耗热量）引起体重减少代谢和运动（消耗热量）引起体重减少. 体重指数体重指数B

20、MI=w(kg)/l2(m2). 18.5BMI25 超重超重; BMI30 肥胖肥胖.模型假设模型假设1）体重增加正比于吸收的热量体重增加正比于吸收的热量每每8000kcal 增加体重增加体重1kg；2）代谢引起的体重减少正比于体重代谢引起的体重减少正比于体重每周每千每周每千克克 体重消耗体重消耗200 320kcal (因人而异因人而异), 相当于相当于70kg 的人每天消耗的人每天消耗2000 3200kcal；3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式 有关；有关； 4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过）为了安全与健康，每周体重减少不

21、宜超过1.5kg, 每周吸收热量不要小于每周吸收热量不要小于10000kcal.某甲体重某甲体重100kg，目前每周吸收，目前每周吸收20000kcal热量，热量，体重维持不变体重维持不变. 现欲减肥至现欲减肥至75kg.第一阶段：每周减肥第一阶段：每周减肥1kg，每周吸收热量逐渐减少，每周吸收热量逐渐减少,直直至达到下限（至达到下限（10000kcal）；）；第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标. 2）若要）若要加快进程加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划，第二阶段增加运动，试安排计划.1）在不运动的情况下安排一个）在不运动的情况下安排一

22、个两阶段计划两阶段计划.减肥计划减肥计划3）给出达到目标后）给出达到目标后维持体重维持体重的方案的方案.)()1()()1(kwkckwkw 确定某甲的代谢消耗系数确定某甲的代谢消耗系数即每周每千克体重消耗即每周每千克体重消耗 20000/100=200kcal基本模型基本模型w(k) 第第k周周(末末)体重体重c(k) 第第k周吸收热量周吸收热量 代谢消耗系数代谢消耗系数(因人而异因人而异)1）不运动情况的两阶段减肥计划）不运动情况的两阶段减肥计划每周吸收每周吸收20000kcal, w=100kg不变不变wcww025. 0100800020000wc =1/8000(kg/kcal) 第

23、一阶段第一阶段: w(k)每周减每周减1kg, c(k)减至下限减至下限10000kcal1) 1()(kwkwk20012000 )() 1()() 1(kwkckwkw第一阶段第一阶段10周周, 每周减每周减1kg，第，第10周末体重周末体重90kg10kkwkw)0()()1 (1)0()1(kwkc80001025.0910200120001,)(kkkc吸收热量为吸收热量为1）不运动情况的两阶段减肥计划）不运动情况的两阶段减肥计划1)(1)1(kwkc10000mC)1 ()1 (1 )()1 ()(1nmnCkwnkw 第二阶段：每周第二阶段：每周c(k)保持保持Cm, w(k)减

24、至减至75kg代入得以10000,80001,025. 0mC5050)(975. 0)(kwnkwnmmnCCkw)()1 (1）不运动情况的两阶段减肥计划）不运动情况的两阶段减肥计划)() 1()() 1(kwkckwkw基本模型基本模型mCkwkw)()1 () 1(nnkwkw求，要求已知75)(,90)(50)5090(975.075n 第二阶段：每周第二阶段：每周c(k)保持保持Cm, w(k)减至减至75kg5050)(975.0)(kwnkwn第二阶段第二阶段19周周, 每周吸收热量保持每周吸收热量保持10000kcal, 体重按体重按 减少至减少至75kg.)19, 2 ,

25、1(50975. 040)(nnwn19975. 0lg)40/25lg(n028. 0003. 0025. 0运动运动 t=24 (每周每周跳舞跳舞8h或自行车或自行车10h), 14周即可周即可.2）第二阶段增加运动的减肥计划）第二阶段增加运动的减肥计划根据资料每小时每千克体重消耗的热量根据资料每小时每千克体重消耗的热量 (kcal): 跑步跑步 跳舞跳舞 乒乓乒乓 自行车自行车(中速中速) 游泳游泳(50m/min) 7.0 3.0 4.4 2.5 7.9t每周运动时间每周运动时间(h)6 .44)6 .4490(972. 075nmmnCCkwnkw)()1()(模型模型)() 1()

26、() 1(kwkckwkw t 取取 t=0.003, 即即 t=24 =1/8000(kg/kcal), =0.02514n增加运动相当于提高代谢消耗系数增加运动相当于提高代谢消耗系数 2）第二阶段增加运动的减肥计划）第二阶段增加运动的减肥计划)028. 0()025. 0(t提高提高12%减肥所需时间从减肥所需时间从19周降至周降至14周周减少减少25% 这个模型的结果这个模型的结果对代谢消耗系数对代谢消耗系数 很敏感很敏感. 应用该模型时要仔细确定代谢消耗系数应用该模型时要仔细确定代谢消耗系数 (对不同的人对不同的人; 对同一人在不同的环境对同一人在不同的环境).3）达到目标体重）达到目

27、标体重75kg后维持不变的方案后维持不变的方案)()() 1()() 1(kwtkckwkw每周吸收热量每周吸收热量c(k)保持某常数保持某常数C，使体重，使体重w不变不变wtCww)(wtC)()kcal(1500075025. 08000C 不运动不运动)kcal(1680075028. 08000C 运动运动(内容同前内容同前)6.6 按年龄分组的人口模型按年龄分组的人口模型 不同年龄组的繁殖率和死亡率不同不同年龄组的繁殖率和死亡率不同.建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律.假设与建模假设与建模 种群按年龄大小等分为种群按年龄大小等

28、分为n个年龄组，记个年龄组，记i=1,2,n 时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记k=1,2, 以雌性个体数量为对象以雌性个体数量为对象. 第第i 年龄组年龄组1雌性个体在雌性个体在1时段内的时段内的繁殖率繁殖率为为bi 第第i 年龄组在年龄组在1时段内的死亡率为时段内的死亡率为di, 存活率存活率为为si=1- di1, 2 , 1),() 1(1nikxskxiii假设假设与与建模建模xi(k)时段时段k第第i 年龄组的种群数量年龄组的种群数量)() 1(kLxkx)0()(xLkxkT12( )( ),( ),( )nx kx kxkxk按年龄

29、组的分布向量按年龄组的分布向量预测任意时段种群预测任意时段种群按年龄组的分布按年龄组的分布Leslie矩阵矩阵(L矩阵矩阵)() 1(11kxbkxinii(设至少设至少1个个bi0)000000000121121nnnsssbbbbL稳定状态分析的数学知识稳定状态分析的数学知识nkk, 3 , 2,1 L矩阵存在矩阵存在正单特征根正单特征根 1， 若若L矩阵存在矩阵存在bi, bi+10, 则则 nkk, 3 ,2,1)0()(xLkxk11),(diagPPLnP的第的第1列是列是x*)0()0 , 0 , 1 (diag)(lim11xPPkxkkT*1 2111 2211111,nns ssss sx特征向量特征向量*1)(limcxkxkk, c是由是由bi, si, x(0)决定的常数决定的常数 且且解解释释L对角化对角化11),(diagPPLknkk*cx*)