四年级奥数-教师版-第六讲幻方与数阵图

1、第六讲 幻方与数阵图学问导航三阶幻方的性质： 1. 中心位置上的数等于幻和除以3；2. 角上得数等于和它不相邻的两条边上的数的平均数；3. 中心数两头的数等于中心数的2 倍；例 1： 我们先来一起解决三道难度相差很大的题目，目的在于总结出三阶幻方的如干重要性质；如下图，将 1 9 填入 33 的方格表中，使得每行每列以及两条对角线上的三个数字之和都相等，你一共可以得到多少种填法？第 1 题解析： 第一，我们摸索要填出一个三阶幻方，什么量的求出是最重要的？马上我们就知道，那个所谓的“幻和”，即每行、每列、每条对角线三个数的和是最重要的量；它是多少呢？哦，假如我们依据行（依据列也一样）把幻方中的九

2、个数加起来，那么它们的总和不就是3 倍的“幻和”吗？而另一方面，我们也知道，由于1到 9这 九 个 数 字 都 只 各 用 了 一 次 ， 所 以 3倍 的 的 “ 幻 和 ” 就 等 于1+2+3+4+5+6+7+8+9=45（请复习学过的等差数列学问）；于是最终，我们最终得到这个至关重要的“幻和”就是45 3=15；接下来其次步，我们来关怀一下中间一格应当填哪个数字；同学们可能会说，中间肯定填5，由于 1 到 9 的中间数字就是 5，而幻方又是上下左右对称的；没错，同学们有这样的数学直观很好，但是为了确定我们的判定，仍是需要严格地说明一下；abcdefghi看上面的表格，由于我们仍没有填入

3、任何一个数字，所以就用了九个大写字母来表示；下面就需要技巧了，我们现在只考虑包含e 的四条直线：由于a+e+i =15,b+e+h=15, c+e+g=15, d +e+f=15, 所以假如我们把这四个式子的左右两边分别相加，就可以得到（ a+b+c+d+e+f+g+h+i） +3e=60,而 a+b+c+d+e+f+g+h+i不就是所填数的总和吗？不论填法如何，这个数是- 46 - / 12不变的，它就是 45，于是那么我们就得到e=5 了；解： 依据上面的分析，我们知道“幻和”=15，而 e=5 ；从而我们知道a+i=b+h=c+g=d+f=10，也意味着在全部经过中心的直线上， 两端的数

4、字奇偶性相同；然后我们可以通过枚举的方法确定每个位置上数字的奇偶性：（大家自己完成）偶奇偶奇5奇偶奇偶我们可以看到，假如4 个角上的偶数被确定下来，那么其余4 个奇数也就被确定了，所以我们可以只考虑这4 个偶数的填法；利用一点简洁的乘法原理，大家就可以知道此题共有8 种填法；详细填法如下：294276834816753951159357618438672492492438672618357951159753816276834294总结： 这里要强调一点：奇偶性分析并不是解决幻方题的典型方法，只在某些特别的题目中会被用到；在上面这个解题过程中，我们用到了一点技巧，期望同学们加以领悟；此题中，我们

5、看到全部经过中心的直线上，两端数字的平均数就等于中间这个e；那么我们来问一个深化一点的问题：你认为这是在这道题中才产生的特别性质， 仍是全部的三阶幻方都应当具有类似的性质？仍有，就是上面我们曾经得出的那个“幻和”的 3 倍就等于这九个数之和的这条性质，它能不能推广到全部的三阶幻方？【巩固】 . 请你将 311 这 9 个数字填入下面的方格中，使横、竖、斜行三个数的和相等；解析： 第一将这列数中的中间数放在中间的格子里可知幻和是7 3=21；其次；将最小的数和最大的数分别放在这个数的横向或竖向的两边；第三，中间数前面的第2 和第 4 个数分别填在最大数的两侧，这时就可以轻松的确定剩下的几个空了；

6、89437114371161056例 2： 下图是一个三阶幻方，请说明幻和等于3 倍的 e 且 d+f=2 e；def第 2 题解析： 有了第 1 题的基础，大家应当对此题感到不是那么生疏了，只要把第1 题的一部分解题过程搬过来就行；这道题也是让大家看一看如何把一个特别的解题过程变成一条普遍的规律或性质；解： 第一把题目中的空白格子标上不同的字母，以便表述；abcdefghi第一，只考虑包含e 的四条直线，得到a+e+i= “幻和”， b+e+h= “幻和”，c+e+g= “幻和”， d+e+f= “幻和”；然后，把这四个式子的左右两边分别相加，得到（a+b+c+d+e+f+g+h+i）+3e

7、=4倍 的 “ 幻 和 ” , 而 另 一 方 面 ， 如 果 我 们 只 考 虑 幻 方 的 三 行 ， 就 有a+b+c=d+e+f=g+h+i=“幻和”，因此 a+b+c+d+e+f+g+h+i=3倍的“幻和”；所以， 3e=“幻和”，而“幻和” =d+e+f ，于是 d+f=2 e；总结： 同样的分析方法，仍可以得到a+i=b+h=c+g=d+f=2e请大家自己说明 ；此题回答了例1 评议中提出的两个问题，从而我们得到三阶幻方的两条重要性质；性质 1：“幻和”的 3 倍等于这九个数之和；性质 2：全部经过中心的直线上，两端数字的平均数就等于正中间的数字；bac第 3 题例 3：上 图是

8、一个三阶幻方，请说明a+b=2 c；解析： 这是一道难题，它之所以难，就在于条件太少，只有三阶幻方的概念可以用；于是我们就想到利用性质1 和 2，看看能不能解决问题；当然，只利用题目中的a、b、 c 三个位置上的数字是不行能做出来的，至少仍要利用一个其它位置上的数字作为过渡，比如我们可以挑选左上角的数字，并用x来表示它：xba*c下面我们要用到比较法，其实也就是性质1；解： 现在考虑* 处的数字；假如我们只看上面第一行和右边第一列，可以知道*+c=b+x，也就是 *=b+x-c ；而假如我们只看中间其次行和左上到右下的对角线，可以知道 x+c=a+*，也就是 *=x+c-a ；所以 b+x-c

9、=x+c-a，两边可以都去掉x，就得到 a+b=2 c；总结： 这就是幻方的性质3，也被形象的称为“ t”字型性质；当然，类似此题中这样 a+b=2 c 的性质仍有另外3 种不同方向的表达形式，大家应当自己可以总结出来；“ t”字型性质是特别重要，而且奇妙的性质，它奇妙就奇妙在三阶幻方有无穷多个，看起来似乎数字怎么填都可以；但是这条性质却告知我们在离得这么远的三个位置上的数字之间却有着这样简洁的关系，三阶幻方中的数字不是任凭怎么填都可以的，中间仍潜藏着一些更深层次的特别性质；这正是数学的魅力所在；例 4： 那么到底我们总结出来的3 条性质有什么用呢， 请完成下面的三阶幻方：1710019299

10、519第 4 题（ 1）第 4 题（ 2）解析： 此题需要综合利用上面的3 条性质以及比较法来解决，目的主要是求出“幻和”，一旦“幻和”求出来了，一切就都没问题了；但是不同人的解题次序和利用性质的方式可能很不一样，所以下面我只是供应一种可行的解题次序和方法，大家应当有自己的解题次序和方法；这类题是简洁的；解：（ 1）b a100 1995依据性质 2， a=100 2- 19=181 ， b=1002- 95=105 ；“幻和” =1003=300 ；下面就只要依据幻方的概念填就可以了；答案如下：24171105181100199529176（ 2）17a29c19b了；答案如下：271731

11、292521193323依据比较法， a=19+29 - 17=31；依据性质 3， b=17+29 2=23；依据性质 2， c=19+31 2=25，“幻和” =25 3=75；下面也就只要依据幻方的概念填就可以总结：最终重申几点留意事项：i. 这些性质只适用于三阶幻方，对于四阶和四阶以上的幻方，有些性质可能就不成立了，而有些需要修改，请同学们谨慎，详细问题详细处理；ii. 这几条性质适合于全部的三阶幻方，并没有局限性；2、四阶幻方4 阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按次序填写：这个方阵的对角线，已经用颜色标出；将对角线上的数字，换成与它互补（同色）的数字；这里， nn+1 = 4

12、4+1 = 17 ；把 1 换成 17-1 = 16 ；把 6 换成 17-6 = 11 ；把 11 换成 17- 11 = 6 换完后就是一个四阶幻方；（见右上图）学问导航数阵图数阵图问题千变万化，这一类问题要求数阵中填入了一些数以后，能保证数阵中特定关系线（或关系区域）上的数的和相等，解决这类问题可以按以下步骤解决问题：第一步： 从整体考虑，将要求满意相等的几个数字和全部相加，一般为n s 的形式；其次步： 从个体考虑，分别运算每一个位置数字相加的次数，将比较特别的（多加或少加几次）位置数字用未知数表示，全部相加，一般为题目所给全部数字和一般位置数字相加次数特别位置数字和多加或少加次数的形

13、式；第三步： 格局整体与个体的关系，列出等式即n s=题目所给全部数字和一般位置数字相加次数特别位置数字和多加或少加次数；第四步： 依据数论植树即整除性确定特别位置数的取值即相对应的s 值；第四步： 依据确定的特别位置数字及s 值进行数字分组及尝试；类型一：封闭类型的数阵图例 1：将 16 六个自然数分别填入下图的内，使三角形每边上的三数之和都等于11.解析： 此图是封闭 3 3 图，由于每条边上的和都为11，那么三条边上的数字之和 为 11333 ，而 1+2+ +5+6=21. 所以三角形的三个数之和等于33-21=12，在 16 中 选 3 个 和 为 12 的 数， 且 其 中 任 意

14、 两 个 的 和 不等 于 11 ， 这 样 的 组合 有 ：12=2+4+6=3+4+5, 经试验，填法如图；例 2：将 16 填入左下图的六个中，是三角形每条边上的三个数之和都等于k ，请指出 k 的取值范畴；241153326564243325416516解析： 设三角形三个顶点的数字之和为s ，由于每个顶点属于两条边公有，所以把三条边的数字和加起来，等于将1 至 6 加一遍，同时将三个顶点数字多加一遍，于是有（ 1+2+3+4+5+6 ） + s = 3k ，化简后为 s213k ；由于 s是三个数之和，故最小为 1+2+3=6 ，最大为 4+5+6=15 ，由此求出 9k12 ； s

15、和 k 有四组取值：k9k10ks6s9s11k1212s15通过试验，每组取值都相应一种填数方法（见右上图）；像例题中的数阵图，它的各边相互连接，形成封闭图形，我们称它们为“封闭型数阵图”天这样的图形，主要是顶点数字，抓住条件供应的关系方式，进行分 析，用试验的方法确定顶点数以及各边上的数字之和，最终填出数阵图；一般地，有m 条边，每条有 n 个数的图形称为封闭型（或辐射型或复合型）mn 图，封闭型 mn 图有 m个重叠数，重叠次数都是1 次；对于封闭型数阵图， 由于重叠一次，所以：已知各数之和+重叠之和 =每边各数之和边数类型二：辐射类型的数阵图例 1： 将 17 这七个数字，分别填入图中

16、各个内，使每条线段上的三个内数的和相等；解析： 设中心内填a ，由于三条线上的数字和相加应是3 的倍数，其中a 一共加了 3 次，所以 1+2+3+4+5+6+7+2 a =28+2 a 肯定是 3 的倍数；而 28391 ，那么 2 a3 的余数应当是 2，因此， a1, ， 4 或 7.iii.当 a1, 28+2=30 ， 30310 ， 10-1=9 ，除中心外，其它两数的和应是9，只要把 2， 3， 4， 5， 6， 7，六个数按“和”是9 分成三组填入相应的，内就可以了；填法如图（1）iv.当 a4 时， 28+8=36 ， 36312 ；填法如图（ 2）当 a7 时， 28+14

17、=42 ， 42314 ；填法如图（ 3）课后练习1. 在九宫图中，第一行第三列的位置上填5，其次行第一列位置上填6，如下图 .请你在其他方格中填上适当的数，使方阵横、纵、斜三个方向的三个数之和均为 27.56解析： 已知幻和是 27，可知中间数是：27 3=9,依据：和 - 差=减数，分别将其他数求出；8145答案如下：6912134102、在下图的九个方格中, 每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，就n=.解析： 已知幻和， 8+6+16=30，可求中间数是：303=10；设一个角上的数是，依据幻和的特点，可将其他的空格一次算出；答案如下右图：8/p>

18、23、请你将 513 这 9 个数字填入下面的方格中，使横、竖、斜行三个数的和相等；解析 ：中间数是： 9，幻和： 27；可据此分别填出其他的空格，不做过多的说明了；4、编制一个三阶幻方，使其幻和等于24.解析： 依据幻和是 24，可以求出中间数是：24 3=8，1011659131278再依据例题中的方法填其他的空格；9105481211675、用 1 至 16 这十六个数编制一个四阶幻方；解析： 可用“错位移动法”来填；解：112345678910111213141516115144126798101151332162 正确结果【巩固】用 3 至 18 这 16 个数排出一个4 阶幻方；解：1234567891011121314151631716614891110121371552186、在下图中填入不大于15 且互不相等的 8 个数，使每行每斜行的三个数的和都等于 30.解析 ：利用幻和，可以求出中间数，再利用“斜线填法”编制三阶幻方；详细步骤是：第一 ,把最大的数填在除中间位置外任意行或列的格子中，其次，把其次大数填入任意一个角上的格子中，其余就依据幻和来填；解：中间数： 30 3=10，要填入的九个数： 6,7,8,9,10， 11,12,13,14.111276101413897、把 20 以内的质数分别填入下图的一个中，使得图中用箭