初中数学动点问题专题讲解

1、中考动点专题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动 的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过 对称、动点 的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观 念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自 主探究能力，促进培养学生解决问题的能力.图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，

2、需要理解图形在不同位置的情况， 才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解 决数学 动点”探究题的基本思路，这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验 探究等方向发展.这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题 的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等.从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等.研究历年 来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向.只

3、的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教 育的背景下更明确地体现课程标准的导向. 本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存 在性和区分度小题处理手法提出自己的观点.专题一：建立动点问题的函数解析式函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律 函数思想，由于某一个点或某图形的有条件地运动变化，是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种，引起未知量与已知量间的一种变化关系，这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么，我们怎样建立这种函数解析式呢？下面结合中考试题举例分析.一、应用勾股定理建立函数解析式例1(2000年上海)如图1,在半彳仝为6,圆心角为90的扇形oab的弧ab上，有一个动点p

4、,phoa, 垂足为h,4oph勺重心为g.(1)当点p在弧ab上运动时，线段go gp gh中，有无长度保持不变的线段 被口果有，请指出这样的线42段，并求出相应的长度.(2)设ph x ,gp y,求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域(3)如果pgh等腰三角形，试求出线段ph的长.解：(1)当点p在弧ab上运动时，op保持不变，于是线段 go gr(22 1中，有长度保持不变的线段，这条线段是gh=2 nh=2op=2.(即自变量x的取值范围).gh(2)在 rt poh 中， oh *；op2ph 23611mhoh，,36x2在 rtamph#3 ,mp ph 2 mh 2, x

5、2 91 2x41 .36 3x22x 6).y =gp=2 mp=1 736 3x2 (033(3) pgk等腰三角形有三种可能情况gp=pht 1/363x23gp=ght 1 . 36 3x2 3ph=ght x 2.x ,解得x2 ,解得x品.经检验,0.经检验,xj6是原方程的根，且符合题意.x0是原方程的根，但不符合题意.“6 或 2.满足怎样的关系式时,(1)中y与x之间的函图2综上所述，如果 pgh等腰三角形，那么线段ph的长为、应用比例式建立函数解析式例2 (2006年山东)如图 2,在 abc中,ab=ac=1,点d,e在直线 bc上运动.设bd=x,ce=y .(1) 如

6、果/ bac=30，/dae=105 ,试确定y与x之间的函数解析式；(2) 如果/ bac的度数为，/dae的度数为，当数解析式还成立？试说明理由.解:(1)在 4abc 中，ab=ac,/ bac=30 , /abc4 acb=75 ,. . / abdh ace=105 . / bac=30 , / dae=105 , / dab吆 cae=75又 / dab吆 adb=z abc=75 , ./ cae=/ adb, ade eac,ab bd,ce ac(2)由于/ dab吆 cae=，又/dab吆 adb=/ abc=90 且2，函数关系式成立， 902,整理得90时，函数解析式y

7、290 .2-成立.x例 3(2005 年上海)如图 3(1),在4abc中，/abc=90 ,ab=4,bc=3.点。是边ac上的一个动点，以点o为圆心作半圆，与边ab相切于点 交线段oc于点e.作ep ed,交射线ab于点p,交射线cb于点f.(1)求证：aade aep.d,(2)设 义域.(3)当解:(1)oa=x ,ap= y ,求y关于x的函数解析式，并写出它的定bf=1时，求线段ap的长. 连结od.根据题意，得 odl ab, -. / oda=90 , / odaw dep.bde o又由 od=oe得/ ode之 oed./.z aep.(2) / abc=90 ,ab=4

8、,bc=3,ade=z aep,adesaac=5./ abc=z3(2)ado=90 ,od/ bc,od3八 34.od-x,ad= x.ae=xad x4 58-x=-x._ . _ af. ad匕 aep, aeapadae58x -5-y4x58x5y 16 x ( 0525羡.(3)当 bf=1 时,若ep交线段cb的延长线于点f,如图 3(1),贝u cf=4. z ade=/ aep, ./ f=z pde, -5- 8x=4，得 x5/ pde=z pec. / fbp=z dep=90 , / fpb=z dpe, ./ f=z fec,cf=ce.5 一r一.可求得y 2

9、,即ap=2.8若ep交线段cb于点f,如图3(2), 类似，可得cf=ce.贝u cf=2. -5- 8x=2,得 x5158可求得y6 ,即 ap=6.综上所述,当bf=1时,线段ap的长为2或6.三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4 (2004年上海)如图,在 abc中,/ bac=90 ,ab=ac=2，2 ,。a的半径为1.若点o在bc边上图8运动(与点b c不重合)，设bo=x , 4人0c勺面积为y .(1)求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域.(2)以点。为圆心，bo长为半彳5作圆 o,求当。与。a相切时， aoc勺面积.解：(1)过点a作ahu bc,垂足为h.

10、/ bac=90 ,ab=ac=2v2 ,. bc=4,ah=1 bc=2. oc=4-x .2c1 .八 s a0c -oc ah , y x 4 (0x4).aoc2(2)当。o与。a外切时，在 rtaaoh ,oa=x 1 ,oh=2 x,2_ 2_27 (x 1)2(2 x).解得 x -.6,_717此时， aoc勺面积y = 4 - 17.66当。o与。a内切时，在 rtaaoh ,oa=x 1 ,oh=x 2,2_ 2_ 27 (x 1)2 (x 2).解得 x -.2,_71此时，aaoc勺面积y = 4 7 1.22 17 , 1综上所述，当。o与。a相切时， aoc勺面积为

11、 或1 .专题二：动态几何型压轴题动态几何特点-问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系;分析过程中，特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。)动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。一、以动态几何为主线的压轴题(一)点动问题.1. (09年徐汇区)如图， abc中，ab ac 10, bc 12,点d在边bc上，且bd 4, 以点d为顶点作 edf b,分别交边 ab于点e,交射

12、线ca于点f .(1)当ae 6时，求af的长；(2)当以点c为圆心cf长为半彳5的。c和以点a为圆心ae长为半彳5的。a相切时，求be的长；（3）当以边ac为直径的。o与线段de相切时，求be的长. 题型背景和区分度测量点本题改编自新教材九上 相似形24.5（4）例六，典型的一 线三角（三等角）问题，试题在原题的基础上改编出第一小题 当e点在ab边上运动时，渗透入圆与圆的位置关系（相切问题）的存在性的研究形成了第二小题，加入直线与圆的位置 关系（相切问题）的存在性的研究形成了第三小题.区分度测 量点在直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系 方程思想来求解.区分度性小题处理手法1 .直线与圆的相

13、切的存在性的处理方法：禾1j用，从而利用d=r建立方程.3.解题的关键是用含略解x的代数式表示出相关的线段解：（1） 证明 cdf scfebd , ,bdcd 广，代入数据得becf8 , af=2(2)设 be=x,则 dac 10, ae10 x,利用(1)的方法cf 32,x相切时分外切和内切两种情况考虑:外切，10 10 x32x4y12 ；内切，10 c 3210 x x当。c和。a相切时,x 10be的长为（3）当以边ac为直径的。类题一个动点：09杨浦两个动点：09闸北2山7 .0x104j2 或 10 2/7 .o与线段de相切时,25题（四月、五月）、25题、09松江25题

14、、309静安25题、09卢湾25题、09青浦25题.2 .圆与圆的位置关系的存在性 （相切问题）的处理方法：利用 d=r r（ r r ）建立方程.（二）线动问题在矩形abcd中，ab=3,点o在对角线ac上，直线l过点o,且与ac垂直交ad于点e.（1）若直线l过点b ,把 abe沿直线l翻折，点a与矩形 （2）若直线l与ab相交于点f,且ao = 1ac,设4形bcdef的面积为s.求s关于x的函数关系式, 围；abcd的对称中心a7ad的长为x ,五边并指出x的取值范重合，求bc的长;探索：是否存在这样的 x ,以a为圆心，以x3 ,-长为半径的圆与4直线l相切，若存在，请求出 x的值；

15、若不存在，请说明理由.题型背景和区分度测量点本题以矩形为背景，结合轴对称、相似、三角等相关知识编制得到.第 一小题考核了学生轴对称、矩形、勾股定理三小块知识内容；当直线 ab边向上平移时，探求面积函数解析式为区分测量点一、加入直线与圆 的位置关系（相切问题）的存在性的研究形成了区分度测量点二.区分度性小题处理手法1 .找面积关系的函数解析式，规则图形套用公式或用割补法，不规则图形用割补法.2 .直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用 d=r建立方程.3 .解题的关键是用含 x的代数式表示出相关的线段.略解14 1) .8是矩形abcd勺对称中心ab= aa= 1ac2,. ab= ab, ab

16、= 3； ao 6 bc 33(2) ac jx2 9 , ao121i(x9),ae4x一 1 s aef ae af2-22-2s 3x96x96x4_2 一x 270x8196x(.3x 3.3)若圆a与直线l相切，则x 3 lx2 9, x1 44不存在这样的x,使圆a与直线l相切.类题09虹口 25题.(三)面动问题0(舍去),x2如图，在 abc 中，ab ac 5, bc6, d、e分别是边ab、ac上的两个动点(d不与a、b重合)，且保持 de / bc ,以de为边，在点 a的 异侧作正方形defg .(1)试求 abc的面积；(2)当边fg与bc重合时，求正方形 defg的

17、边长；(3)设ad x , abc与正方形defg重叠部分的面积为 y ,试求y关于x的函数关系式，并写出定义域；(4)当 bdg是等腰三角形时，请直接写出 ad的长. 题型背景和区分度测量点本题改编自新教材九上相似形24.5(4)例七,典型的共角相似三角形问题 ，试题为了形成坡度，在原题的基础上改编出求等腰三角形面积的第一小题，当d点在ab边上运动时，正方形 defg整体动起来，gf边落在bc边上时，恰好和教材中的例题对应， 可以说是相似三角形对应的小高比大高=对应的小边比大边，探寻正方形和三角形的重叠部分的面积与线段ad的关系的函数解析式形成了第三小题，仍然属于面积类习题来设置区分测量点一

18、，用等腰三角形的存在性来设置区分测量点二. 区分度性小题处理手法图3-4图3-51 .找到三角形与正方形的重叠部分是解决本题的关键，如上图 3-1、3-2重叠部分分别为正方形和 矩形包括两种情况.2 .正确的抓住等腰三角形的腰与底的分类，如上图 3-3、3-4、3-5用方程思想解决.3 .解题的关键是用含x的代数式表示出相关的线段.略解解：(1) s abc 12.(2)令此时正方形的边长为a 4 a 一口 12a ,贝u -,解得a .645(3)当 0 x 2 时，y36 2 x25,一 64当 2 x 5时，y -x - 5552424 2x x .525(4) ad125 25 207

19、3 , 11 , 7类题改编自09奉贤3月考25题，将条件(2)当点m、n分别在边ba、ca上时”，去掉，同时加到第(3)题中.已知：在 4abc 中，ab=ac, / b=30o, bc=6,点 d 在边 bc上，点e在线段dc上，de=3, adef是等边三角形，边df、ef与边ba、ca分别相交于点 m、n.(1)求证：bdmscen；(2)设bd=x, abc与adef重叠部分的面积为 y,求y关于x的函数解析式，并写出定义域.(3)当点m、n分别在边ba、ca上时，是否存在点d,使以m为圆心，bm为半径的圆与直线 ef相切, 如果存在，请求出x的值；如不存在，请说明理由.例1:已知。

20、的弦ab的长等于。o的半径，点c在。上变化(不与 a、b)重合，求/ acb的 大小.分析：点c的变化是否影响/ acb的大小的变化呢？我们不妨将点c改变一下，如何变化呢？可能在 优弧ab上，也可能在劣弧 ab上变化，显然这两者的结果不一样。那么，当点 c在优弧ab上变化时， / acb所对的弧是劣弧 ab ,它的大小为劣弧 ab的一半，因此很自然地想到它的圆心角，连结ao、bo ,则由于ab=oa=ob ,即三角形 abc为等边三角形，则/ aob=600 ,则由同弧所对的圆心角与圆周角的1关系得出：/ acb= 2 / aob=300 ,当点c在劣弧ab上变化时，/ acb所对的弧是优弧

21、ab，它的大小为优弧 ab的一半，由/ aob=600得，优弧ab的度数为3600-600=3000,则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：/ acb=1500 ,因此，本题的答案有两个，分别为 300或1500.反思：本题通过点c在圆上运动的不确定性而引起结果的不唯一性。从而需要分类讨论。这样由点c的运动变化性而引起的分类讨论在解题中经常出现。变式1 :已知 abc是半彳全为2的圆内接三角形，若 ab 2再，求/ c的大小.本题与例1的区别只是ab与圆的半径的关系发生了一些变化，其解题方法与上aaabsin1 aob 2 aob 600面一致，在三角形aob中，2ob2 ,则2，即从而当点

22、c在优弧ab上变化时，/c所对的弧是劣弧 ab,它的大小为劣弧ab的一半，即c 600当点c在劣弧ab上变化时，/ c所对的弧是优弧 ab ,它的大小为优 弧ab的一半，由/ aob=1200得，优弧 ab的度数为 3600-1200=2400,则 由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：/c=1200,0因此 c 60 或/ c=1200.变式2：如图,半经为1的半圆o上有两个动点 a、b,若ab=1 , 判断/ aob的大小是否会随点 a、b的变化而变化，若变化，求出变化范 围，若不变化，求出它的值。四边形abcd的面积的最大值。解：(1)由于 ab=oa=ob ,所以三角形 aob为等边三

23、角形，则/ aob=600 ,即/ aob的大小不会随点 a、b的变化而变化。(2)四边形abcd的面积由三个三角形组成，其中三角形3aob的面积为 4 ,而三角11 - 八od af oc bg形aod与三角形boc的面积之和为221 (af2bg),又由梯形的中位线定理得三角形 aod与三角形boc1 一(af 的面积之和2bg) eh,要四边形aob 1200,3abcd的面积最大，只需 eh最大，显然ehwoe= 2，当ab/cd时，eh=oe,因此四边形abcd的面积最大值为、.33 3.34 + 2=4o 01的半径为3, o 02的对于本题同学们还可以继续思考：四边形abcd的周

24、长的变化范围.变式3：如图,有一块半圆形的木板，现要把它截成三角形板块.三角形的 两个顶点分别为a、b,另一个顶点 c在半圆上，问怎样截取才能使截出的三角形 的面积最大？要求说明理由（广州市2000年考题）分析：要使三角形 abc的面积最大，而三角形 abc的底边ab为 圆的直径为常量，只需ab边上的高最大即可。 过点c作cdxab于点 d,连结co,由于cdwco,当。与d重合，cd=co ,因此，当 co与ab垂直时， 即c为半圆弧 的中点时，其三角形 abc的面积最大。本题也可以先猜想，点 c为半圆弧的中点时，三角形 abc的面积最大， 故只需另选一个位置 c1 （不与c重合），证明三角

25、形 abc的面积大于 三角形abc1的面积即可。如图1显然三角形 abc1的面积=2 ab x c1d,而c1d c1o=co,则三角形 abc1的面积=2 ab x c1d 2 abxc1o二三角形abc的面积，因此，对于除点c外的任意点c1,都有三角形 abc1的面积小于三角形三角形abc的面积，故点c为半圆中点时，三角形abc面积最大.本题还可研究三角形 abc的周长何时最大的问题。提示：利用周长与面积之间的关系。要三角形 abc的周长最大，ab为常 数,只需 ac+bc 最大，而（ac+bc ） 2=ac2+cb2+2ac x bc=ab2+4 xa abc的面积，因此a abc的面积

26、最大时，ac+bc最大，从而a abc的周 长最大。从以上一道题及其三个变式的研究我们不难发现，解决动态几何问题的常见方法有：一、特殊探路，一般推证例2: （2004年广州市中考题第 11题）如图，o 01和。02内切于a,半径为2,点p为。01上的任一点（与点a不重合）,直线pa交。02于点c, pb切。02于点b ,bp则pc的值为(a).23(c) 2分析：本题是一道选择题，给出四个答案有且只有一个是正确的，因此可以取一个特殊位置进行研究，当点p满足pb ab时，可以通过计算得出32 1222cpb=bc x ap=bp x ab ,因此ab bpbcab2 bp28、216 8 2、6

27、4. 26在三角形bpc中, bp2pc=bc22,63bp所以，pc = 3选（b）当然，本题还可以根据三角形相似得bp appc bp ,即可计算出结论。作为一道选择题，到此已经完成，但如果是一道解答题，我们得出的结论只是一个特殊情况，还要进 步证明对一般情况也成立。例3:如图，在等腰直角三角形 abc中，斜边bc=4, oabc于。，点e和点f分别在边 ab、ac上滑动并保持ae=cf,但点f不与a、c重合，点e不与b、a重合。判断 oef的形状，并加以证明。判断四边形aeof的面积是否随点 e、f的变化而变化，若变化，求其 变化范围，若不变化，求它的值 .aef的面积是否随着点 e、f

28、的变化而变化，若变化，求其变化范围,若不变化，求它的值。分析：本题结论很难发现，先从特殊情况入手。最特殊情况为e、f分别为 ab、ac中点，显然有a eof为等腰直角三角形。还可发现当点e与a无限接近时，点 f与点c无限接近，此时a eof无限接近a aoc ,而a aoc为等腰直角三角形，几种特殊 情况都可以得出a eof为等腰直角三角形。一般情况下成立吗？oe与of相等吗？ / eof为直角吗？能否证明。如果它们成立，便可以推出三角形 ofc与三角形oea全等，一般情况下这两个三角形全等吗？ 不难从题目的条件可得：oa=oc , / ocf= z oae ,而ae=cf ,则a oea9

29、o ofc,则 oe=of,且/ foc=/eoa,所以/ eof=/eoa+/ aof= / foc+/ foa=900 ,则/ eof为直角，故a eof为等腰直角三角形。二、 动手实践，操作确认例4 （2003年广州市中考试题）在。 o中，c为弧ab的中点，d为弧ac上任一点（与 a、c不重 合），则（a） ac+cb=ad+db（b） ac+cbad+db （d） ac+cb 与ad+db 的大小关系不确定 分析：本题可以通过动手操作一下，度量ac、cb、ad、db的长度，可以尝试换几个位置量一量,得出结论（ c）例5:如图，过两同心圆的小圆上任一点 c分别作小圆的直径 ca 和非直径

30、的弦 cd,延长ca和cd与大圆分别交于点 b、巳则下列结 论中正确的是（* ）（a） de ab （b） de ab（c）de ab （d） de1ab的大小不确定分析：本题可以通过度量的方法进行，选（b）本题也可以可以证明得出结论，连结do、eo,则在三角形 oed中，由于两边之差小于第三边,oeodde,即 ob oabm,只有在b、n、m三点共线时，bn+nm=bm ,因此dn+mn的最/、值为bm= bc2 cm2本题通过建立平面上三个点中构成的三角形中的两边之和大于第三边及共线时的两边之和等于第三边的特殊情况求最小值，最后通过勾股定理计算得出结论。例7:如图，在等腰直角三角形 ab

31、c中，斜边bc=4, oa bc于o,点e和点f分别在边ab、ac上滑动并保持 ae=cf,但点f不与a、c重合，点e不与b、a重合。判断四边形aeof的面积是否随点 e、f的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它 的值.aef的面积是否随着点 e、f的变化而变化, （即例3的第2、第3问）分析：（2）本题的方法很多，其一，可以建立四边形ae长的函数关系式，如设 ae=x ,则af= 232若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值。aeof 与而三角形aob的面积与三角形 aoe的面积之比二x ，而1 八 八-ob oa 2三角形aob的面积=2,则三角形aoe的面积x (2.2 x

32、)aoe,因此四边形 aeof的面积=是一个定值，且为2.=& ,同理三角形 aof的面积=j2aeof的面积不会随点 e、f的变化而变化，当然，本题也可以这样思考，由于三角形 三角形aoc的面积相等，而 aoc的面积为2,因此 一个定值，且为2.本题通过建立函数关系或有关图形之间的关系广泛.与三角形cof全等，则四边形 aeof的面积与aeof的面积不会随点 e、f的变化而变化，是然后通过简单的计算得出结论的方法应用比较*2)2 12，又1一x(2.2 x)第（3）问，也可以通过建立函数关系求得aef的面积=2x的变化范围为0 x 2十2 ,由二次函数知识得aef的面积的范围为：0 aef的

33、面积1 .本题也可以根据三角形 aef与三角形oef的面积关系确定aef的面积范围：不难证明aef的面积woef的面积，它们公用边 ef,取ef的中点h,显然由于 oef为等腰直角三角形，则ohxef, #agef,显然ag 3).动点m, n同时从b点 出发，分别沿b-a , b-c运动，速度是1厘米/秒.过m作直线垂直于 ab,分别交an, cd于p , q. 当点n到达终点c时，点m也随之停止运动.设运动时间为t秒.(1)若a=4厘米，t=1秒，则pm二厘米；(2)若a=5厘米，求时间t,使 pnbapad ,并求出它们的相似比；(3)若在运动过程中，存在某时刻使梯形pmbn与梯形pqd

34、a的面积相等，求a的取值范围；(4)是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形pmbn ,梯形pqda ,梯形pqcn的面积都相等？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由.评析本题是以双动点为载体，矩形为背景创设的存在性问题.试题由浅入深、层层递进，将几何与代 数知识完美的综合为一题，侧重对相似和梯形面积等知识点的考查，本题的难点主要是题(3),解决此题的关键是运用相似三角形的性质用t的代数式表示 pm ,进而利用梯形面积相等列等式求出t与a的函数关系式，再利用t的范围确定的a取值范围.第(4)小题是题(3)结论的拓展应用，在解决此问题的过程中， 要有全局观念以及对问题的整体把握4以双

35、动点为载体，探求函数最值问题例4 (2007年吉林省)如图9,在边长为82cm的正方形abcd中，e、f是对角线ac上的两个动点， 它们分别从点 a、c同时出发，沿对角线以 1cm/s的相同速度运动，过 e作eh垂直ac交rtaacd的 直角边于 h;过f作fg垂直ac交rtaacd的直角边于 g,连结hg、eb.设he、ef、fg、gh围成 的图形面积为s 1, ae、eb、ba围成的图形面积为 s 2(这里规定：线段的面积为 0).e到达c , f到 达a停止.若e的运动时间为x(s),解答下列问题：(1)当 0x(2)若y是s 1与s 2的和，求y与x之间的函数关系式；(图10为备用图)

36、求y的最大值.解(1)以e、f、g、h为顶点的四边形是矩形，因为正方形 abcd的边长为82,所以ac=16 ,过b 作 box ac 于。，则 ob=89，因为 ae=x，所以 s 2=4x，因为 he=ae=x ,ef=16-2x，所以 s 1=x(16-2x), 当 s 1=s 2 时，4x=x(16-2x),解得 xi=0(舍去)，x2=6,所以当 x=6 时，s 1=s 2.(2)当 0wx8时，y=x(16-2x)+4x=-2x2+20x,当 8wxw16寸,ae=x , ce=he=16-x , ef=16-2(16-x)=2x-16 ,所以 s 1=(16-x)(2x-16),

37、 所以 y=(16-x)(2x-16)+4x=-2x2+52x-256.当 0wx8时，y=-2x2+20x=-2(x-5)2+50,所以当 x=5 时，y 的最大值为 50.当 8wxw16寸,y=-2x2+52x-256=-2(x-13)2+82,所以当x=13时，y的最大值为82.综上可得，y的最大值为82.评析本题是以双动点为载体，正方形为背景创设的函数最值问题.要求学生认真读题、领会题意、画 出不同情况下的图形，根据图形建立时间变量与其它相关变量的关系式，进而构建面积的函数表达式.本题在知识点上侧重对二次函数最值问题的考查，要求学生有扎实的基础知识、灵活的解题方法、良好的 思维品质；

38、在解题思想上着重对数形结合思想、分类讨论思想、数学建模等思想的灵活运用专题四：函数中因动点产生的相似三角形问题o,与x轴的另一个交点为bo例题如图1 ,已知抛物线的顶点为a (2, 1),且经过原点12y x x求抛物线的解析式；(用顶点式求得抛物线的解析式为4)若点c在抛物线的对称轴上，点 d在抛物线上，且以 o、c、d、b四点为顶点的四边形为平行四 边形，求d点的坐标；连接oa、ab,如图2,在x轴下方的抛物线上是否存在点p,使得obf与4oab相似？若存在，求出p点的坐标；若不存在，说明理由。分析：1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线为四边形的边和对角线来考虑问题以 o、c、d

39、、b四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论：按ob为边和对角线两种情况2.函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形 是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度, 之后利用相似来列方程求解。练习1、已知抛物线y ax2 bx c经过p(j3.3) e 手,0及原点o(0,0).(1)求抛物线的解析式.

40、(由一般式得抛物线的解析式为 y -x2 53x) ,33(2)过p点作平行于x轴的直线pc交y轴于c点，在抛物线对称轴右侧且位于直线pc下方的抛物线上，任取一点 q,过点q作直线qa平行于y轴交x轴于a点，交直线pc于b点，直线qa与直线pc及两坐标轴围成矩形 oabc .是否存在点 q ,使得 aopc与 pqb相似？若存在，求出 q点的坐标；若不存在，说明理由.(3)如果符合(2)中的q点在x轴的上方，连结oq ,矩形oabc内的四个三角形练习3、在平面直角坐标系xoy中，已知 opc,a pqb,aoqp,aoqa之间存在怎样的关系？为什么?练习2、如图，四边形 oabc是一张放在平面

41、直角坐标系中的矩形纸片，点a在x轴上，点c在y3轴上，将边bc折叠，使点b落在边oa的点d处。已知折叠ce 575 ,且tan eda 。4(1)判断zxocd与4ade是否相似？请说明理由；(2)求直线ce与x轴交点p的坐标；(3)是否存在过点 d的直线1,使直线1、直线ce与x轴所围成的三角形和直线 1、直线ce与y轴 所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由。2ax bx c(a 0)的图象与x轴交于 a b两点(点左边)，与y轴交于点c,其顶点的横坐标为 1,且过点(2,3)和(3, 12).(1)求此二次函数的表达式；(由一般式.得抛物

42、线的解析式为 yx2 2x 3)(2)若直线l : y kx(k 0)与线段bc交于点d (不与点b, c重合)，则是否存在这样的直线使得以b, o, d为顶点的三角形与 abac相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点d的坐标；若不存在，请说明理由；a( 1,0), b(3q),c(0,3)(3)若点p是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角pco与aco的大小(不必证明)，并写出此时点p的横坐标xp的取值范围.练习4图练习4 (2008广东湛江市)如图所示，已知抛物线2y x 1与x轴交于a、b两点，与y轴交于点c.(1)求a、b、c三点的坐标.(2)过点a作ap/cb交抛物线于点 p,求四边形 acbp的面积.(3)在x轴上方的抛物线上是否存在一点m,过m作mg x轴于点g,使以a、m、g三点为顶点的三角形与 pca相似.若存在，请求出 m点的坐标；否则，请说明理由.练习5、已知：如图，在平面直角坐标系中, abc是直角三角形,acb 90,点a, c的坐标分 一3别为 a( 3,0), c(1,0), tan bac -.4(1)求过点 a, b的直线的函数表达式；点 a( 3,0) , c(1,0),_39b (1,3), y -x -44(2)在x轴上找一点d ,连接d