不等式基本性质求代数式的取值范围

1、不等式性质求代数式的取值范围一.知识要点：1.不等式概念用不等号表示不等关系的式子称为不等式。其中用:连接的不等式，如f(x) g(x)称为严格不等式；而用连 接的不等式如f(X)冬g(X)称为非严格不等式。2比较两个实数大小的依据主要根据实数的运算性质与大小顺序之间的关系，来比较两个实数a, b的大小，即判断它们的差的符号。概括为，a -b a b。 a-b=O：= a = b。 a-b ： a ： b.其中 二 表示“等 价于”意味着两边可以相互推出。3.不等式的基本性质性质1(对称性)若a b,则b a。若b ： a,则a b.即a b= b ： a .性质2(传递性)若a b, b c

2、,则a c.即a b = a cbc性质3(同加或减性)若a b,则a c b c或a-c b-c.进一步可得(移项):a b c= a b (-b) c (-b)= a c - b或a -b c二 a -b b c b= a c b.性质 4 若 a b,c O贝卩 ac bc.若 a b,c ： 0 则 ac ： bc.性质5若a b, c d则a c b d .性质6若a b 0, c d则ac bd .性质 7 若 a b 0,则 an bn(n U ,n 2).性质 8 若 a b 0,则 n a n b (n U , n 2).特别强调：a b= 1 ：不一定成立.因为当ab ：

3、0时，有丄.丄。当a ba bab =0时，-：；：1无意义。 当ab 0时，有-.-.a ba b二.解题思路：利用几个变量的范围来确定某个代数式的范围是一类常见的综合问题，解此类问题时，常利用不等式性质3的推论，即“同向不等式的 两边可对应相加。 异向不等式的两边可相减”.但请注意，此种转化并不是等价变形，在一个解题过程中多次利用这种转化时，就有可能扩大真实的取值范围，从而求出错误答案.正确的解法是：先建立待求范围的整体与已知范围的等量关系，再 通过“一次性不等关系的运算”，求出待求的范围.三.求解步骤 把将要计算的代数式c用已知的两个代数式a与b表达出来，即令 c=k-a k2b （其中

4、匕匕为常数）,并求出匕出的值此方法可以推广到 多个代数式的情况. 分别求出k-a与k2b的取值范围. 一次性利用不等式的性质，求出k-a k2b的取值范围，即得代数式C 的取值范围.四.高考题演练 1.(辽宁咼考)已知-1 ： x y ： 4且2 .x - y .3,则z = 2x - 3y的取值范围是.提示12.39则笃的最大值y2(江苏咼考)设实数x, y满足3 - xy2 _ 8, 4_y是.提示23.若；满足;；2；：3,则的最大值是提示34.已知 1 lg x 2,lgyx3x2严则临的取值范围是提示45 / 55.已知f(x)=ax2-c且-仁f(1) 1,-仁f(2)空5 ,则f

5、(3)的取 值范围是.提示56. 已知：仁a-b辽2且2乞a 4,求4a-2b的取值范围提示67. 已知二次函数y二f(x)的图像过原点，且仁f (-1)乞2, 3乞f(1)乞4 ,求f(-2)的取值范围提示7m n=2,因为 m-n-3,参考答案: 提示 1:设 z = x -3 肯x (y+ n)y( -m)n( +m ny+ )-，所以 -2 一2(X G5 冷gy)诗1 5则 3 (x y) (x-y)：8,即 3 ： 2x3y ： 8 .2 232提示2:显然与=(xy2)( J2,为转化为上面用到的基本解法，因此可两yy32边同时取对数，化为lg务一lg xy2 2lg冬的形式.易

6、得yy2xI g 8 2 l g 4 xyf g2-gy32辽务乞27,最大值是27.y3x+ I g 3 即 Igg29lgr 兰Ig27 ,贝yy提示 3：设口 +30=m(a+0)+ n(ot+20)=(m+ n)a +(m+2n)B ,因为!m_Hn 1 ,m + 2n= 3得m 一 一1,所以易求1 _3 _ 7 .n 二21 兰 IgxIgy 兰 2提示4:已知条件可化为12 兰 3Ig xIgyE33、x11116 曰设 Ig = - 3Ig x Ig y 二 m(Ig x - Ig y) n(3Ig x Ig y),易求 m 二-，n 二一 最Vy32515终叮；的取值范围是16,31提示5:已知条件可知；：爲a f(2)- f(1) 则 341c f(1) ;f(2),L 33则 f (3) =9a -c = -5 f (1) 8 f(2).易求 f(3)的取值范围是T,20.3 3提示6：类似以上解法可求5乞4a-2b汨0.提示7:法1（待定系数法）：可求 兰 f（_1）= a _b 兰2,设 f（_2）=4a _2b = m（a_b） + n（a + b）, 3 f （1） = a+b 乞