正项级数敛散性地判别方法

1、正项级数敛散性的判别方法摘要 :正项级数是级数容中的一种重要级数，它的敛散性是其基本性质。正项级数敛散性的判别方法虽然较多， 但是用起来仍有一定的技巧， 归纳总结正项级数敛散性判别的一些典型 方法，比较这些方法的不同特点， 总结出一些典型判别法的特点及其适用的正项级数的特征。 根据不同级数的特点分析、判断选择适宜的方法进行判别，才能事半功倍。关键词 :正项级数；收敛；方法；比较；应用1 引言数项级数是伴随着无穷级数的和而产生的一个问题，最初的问题可以追溯到公元前五世纪， 而到了公元前五世纪，而到了公元 17、 18 世纪才有了真正的无穷级数的理论。英国教学家 Gregory J（1638167

2、5）给出了级数收敛和发散两个术语从而引发了数项级数敛散性广泛而 深入的研究， 得到了一系列数项级数的判别法。 因而， 判断级数的敛散性问题常常被看作级 数的首要问题。 我们在书上已经学了很多种正项级数敛散性的判定定理， 但书上没有做过多 的分析。我们在实际做题目时， 常会有这些感觉： 有时不知该选用哪种方法比较好；有时用 这种或那种方法时，根本做不出来，也就是说，定理它本身存在着一些局限性。因此，我们 便会去想，我们常用的这些定理到底有哪些局限呢？定理与定理之间会有些什么联系和区别 呢？做题目时如何才能更好得去运用这些定理呢？这就是本文所要讨论的。2 正项级数敛散性判别法2.1 判别敛散性的简

3、单方法由 级 数 收 敛 的 基 本 判 别 定 理 柯 西 收 敛 准 则 : 级 数un 收 敛n10, N N , n N, p N, 有 un 1 un 2un p 。取特殊的 p 1，可得推论：若级数un 收敛，则 lim un 0 。n 1 n2.2 比较判别法 定理一（比较判别法的极限形式） ：设 un 和 vn 为两个正项级数，且有 lim un l ，于是1）若 0 ln 1 n 1 n vn，则 un 与 vn 同时收敛或同时发散。n1 n 12）若 l 0，则当vn收敛时，可得un 收敛。n 1 n 1（ 3）若 l，则当 vn 发散时，可得un 发散。n 1 n 1 正

4、项级数敛散性的判别法在高等数学课本中所涉及的主要有： 比较判别法、 比值判别法 和根植判别法。 由于比值法与根值法的固定模式， 其使用较为方便。 但比较判别法在应用时， 由于需要对原有级数进行适当的放缩， 选择与之比较的对象级数， 学生学习时都感到难度较 人。当所求级数的通项中出现关于 n的有理式时，将借助无穷小量 （无穷大量 ）阶的概念来分 析比较判别法的使用，进而给出如何选择比较对象的快捷方法。由于 lim un 0时，级数un 必发散。 从而，只需考虑 lim un 0时，正项级数un的敛nn1nnn1散性判别。（2）、（3）1）当0，即 un与 vn是同阶无穷小量（ n ）时，u n

5、与 vn 同敛散。 n12）当l0 且 vn 收敛，即 un 是较 vn 的高阶无穷小量（ n1时，必有un 收敛。n13）若l且 vn 发散，即 un 是较 vn 的低阶无穷小量 n1）时，可得un 发n1散。这表明正项级数收敛与否最终取决于其通项趋于零的速度，即无穷小量阶的大小。 因此可以通过无穷小量 （或者无穷大量 ）阶的比较， 简化un1的通项un 或对 un 进行适当放缩， 进而利用已知级数的敛散性来判别un 的敛散。n1例 1、判别级数n1ln n n 和 2n n n 12 n的敛散性。分析：在实际题目中，常见的无穷大量有ln n ，, an a 1 等。其发散的速度：在n时，

6、ln nann a 0 a1。从而，（ 1） ln nan22nn21a, a 0,nnnanna 1, n结合比较判别法的使用。故（1）中的比较对象a 的 a 的取值应保证 2 a1，即 0 a 1 。借助“无穷小量阶的比较” ，即无穷小量趋丁零速度的比较这一概念， 上述的（ 1）、 可以等价理解为2）中的比较对象 a 1 的 a 的取值应保证a1na 1 1 ，即 a 2。1解：（ 1）可取 a，有 lim2nlnn2n13n20。113 收敛，则由比较判别法可知n2ln2n 也收1 n2敛。2）可取 a 3 ，有 limnn2n n12n0。又112 收敛，则由比较判别法可知 n 1 n

7、212nnn也收敛。使用正项级数比较判别法时需要熟记1P-级数p 以及等比级数pn 1 nnn1 aq a 10,q 0 的便能较快捷地选定常1 同样，1P-级数1p 的敛散性。 2n 1 n p敛散性， 再结合本文给出的利用阶的概念对级数通项进行放缩的方法 用作比较对象的 P-级数或等比级数的具体形式，准确判别出正项级数的敛散性。我们可以利用等价无穷小来判断正项级数的敛散性，仍需熟记2.2.2 当所求级数通项中出现正弦函数或对数函数时，利用不等式选取适当的比较对象例 2：判别级数2n sin n 的敛散性。 n 13n分析：考虑当 x0时，sinx x，则sin3n 3n ,2n sin 3

8、n 2n 3n，而n12n3是公比 q1的收敛级数，故原级数收敛。2.3 根值判别法以及两个推广 定理一（根值判别法的极限形式）有正项级数un ，若n1lim n un l ，则 n1）当 l1时，级数un 收敛。12）当 l1时，级数un 发散。12.3.1 一般的情况例 1：判别级数nn 的敛散性。2n 1解：由于 lim n unlnim nn2n 1n1lim 1 ，根据柯西判别法的推论， 可得级 n 2n 1 2数n12.3.2 根值判别法推广，若将判别极限lim n un 更改为 lim n umn 或 lim n umn i ，则相应结果nn 收敛。2n 1引理二： 设 un 与

9、n 1 nvn 为两个正项级数，且存在正整数1N ，当 n N 时，不等式umn ivmn i0,1,2,n,mn1 成立，则若级数vn 收敛必有级数1un 收敛；n1在一定条件下将比原判别方法更为精细，且应用围也有所推广。引理一 ：如果 un un 1 0 n 1,2, ，则级数un 收敛当且仅当级数mnumn 收敛。n 1 n 13若级数un 发散必有级数vn 发散。n 1 n 1定 理二 ：设un 为 正项 级数 ，n1m 为大 于 1 的 自然 数。 若级 数通 项 满 足un 1 vn n 1,2,3, ,lnim n umn，则当1当 时，级数的敛散性不能判定。 4m1时级数收敛；

10、当 m1级数发散；而 m定理三：设 un 为正项级数，n1m 为大于 1 的自然数。如果 lim numn i其中i 0,1,2, ,mn 1 mn 1，则当级数的敛散性不能判定。 41 时级数收敛； 当 1 级数发散； 而当 1 时，mmm定理二、三给出的判别法较根值判别法更为精细。定理的应用不再详细举例，比如对级数e3n及n1 n 1n32nn，值或根值判别法不能判别其敛散性，但用本文的定理二或定理三其敛散性即可判别。2.4 达朗贝尔判别法 （比值判别法 ）及其推广定理三（比值判别法的极限形式） ：有正项级数un（un 0），且 lim un 1 ln 1 n un1）当 l 1时，级数u

11、n 收敛。n12）当 l 1时，级数 un 发散。 n12.4.1 一般的情况例 1：判别级数的敛散性。解：由于 lnim uunn1 lnimlimnn! nnn 1 ! n 1 nn1limn11 1 ，所以根据达朗贝尔判别法的推论知，级数n! n n1n收敛。a ，则正项级数f n 收敛；n0b ，则正项级数f n 发散；n03）如果不存在满足以上条件的实数，则正项级数f n 可能收敛，也可能发散。 5 n0定理一的应用不再详细举例，比如对级数n 1 2n3n 和1 lnnnn1 lnn的敛散性则可用上2.4.2 比值判别法的推广，在借鉴比值判别法的基础上，通过对构成正项级数的解析式进行

12、 分析给出了判断正项级数敛散性的一种方法。定理一： 设 y f（x） 是取值为正且可导的函数。fx1）如果存在负数 a ，使得当 x 足够大时有 fxfx2）如果存在正数 b ，使得当 x 足够大时有 fx述的定理。 52.5 比式与根式审敛法的推广 正项级数的审敛法有很多种， 其中以达朗贝尔比值审敛法与柯西根值审敛法是最基础也是使 用频率最高的两种方法。 一般情况下， 这两种审敛法都是分开来使用， 事实上将这两种方法 结合在一起也可以得到一种新的审敛法。定理一：设 wnunvn,un0,vn0 n 1,2,。若 lnim nunu,lnimvnv 。则n n vn 11）当uv 1 时，级数

13、wn 收敛；n12）当uv 1 时，级数wn 发散； 6例 1：判定级数nn1tan2nnn 的敛散性。2n 1解：设 unn2n,vntan2n 1 。则 lnim nunlim n n 2n 1lim vn n vn 1n lim ntan2n1limnn 1 2n 1ntan n2nn 2n由于 121，所以原级数1 tan2n 1n2n 1n收敛。 6上述判别法的出现，极拓宽了级数敛散性的判别围，简化了级数的问题。2.6 积分判别法定理 一 （积分判别法）：设 f 为 1,上非负减函数，那么正项级数n 与反常积分同时收敛或同时发散。例 1：证明调和级数11 发散。n1n解：将原级数11

14、 换成积分形式 n1n1 1xdx，由于1dx ln x|11x，即11dx 发散，根据积分判别法可知，1x调和级数11 发散。 n1n2.7 拉贝判别法以及其推广定理一（拉贝判别法的极限形式）：设 un 为正项级数，且极限 lim nn 1 nun 1r 存在，un1）当 r 1时，级数un 收敛；12）当 r 1 时，级数un 发散。1活用拉贝判别法例 1、判断级数n1132n2 4 2n的敛散性。解：由于 n 1 un 1 n 1 2n 12n 2unn 4n 31n2n 2，所以原级数是发散的。拉贝判别法在判别的围上比比式判别法更广泛，是根据un 1 及其极限与un1 的大小关系来鉴别

15、敛散性。但是对有些级数仍无法判别其敛散性，如22n 1 ! ，2n ! ，所以许多作者对这些已知判别法作了研究与推广。定理 2：设un1为正项级数，满足un 1unn1，且nln n 1lim nlnnn1r ，则有1）若 r1,g n0，un 收敛；n12）若 r1,g n0，un 发散。 7n1文献 4 中判别正项级数un 敛散性的一个主要定理如下：n1定理 3：设 un 为正项级数且满足 n1un 1 1un则有1）当1时，则级数un 收敛；n12）当1时，则级数un 发散。n18显然，定理 2 是上述的定理的改进。事实上，由定理2知fr 1 ，则nln n 1un 1un1 1 rn

16、1 nln n 1gnnln n 1nln n 1r nln nn1nln n 11g1nln n 1这里令 w nn ln n 1n1r n ln n 1 g n 。故1）若 r 1,g n0 ，则必有 w n1；2）若 r 1,g n 0，则只要再假设 g n 满足 g n1n1r1n ln n 1，就有 w n1。例 1：判定级数2n 1 ! 1 的敛散性。n 2 2n ! 2n 1解：un 1 2 n 1 1 ! 2n 1 2n ! un2 n 1 ! 2n 3 2n 1 !2n由214n24n12n 22n 32n 22n36n 52n 2 2n 32n 2 2n 3 6n 51li

17、m n 6n 5 3 ，故此级数收敛。 n 2n 2 2n 3 22n 2 2n 3由定理 2 的变形形式可知， lim nf n n易见此方法较 4 中例 1 的方法简便。2.8 对数判别法2.8.1 简单的对数判别法 对数判别法和非正常积分与正项级数的对数判别法分别给出了两种不同形式对数判别法的， 根据级数的形式选择合适的判别法， 与非正常积分与正项级数的对数判别法比较对数判别法 主要适用于判别幂指形级数的敛散性。文献 9给出了判别正项级数敛散性的一种对数判别法的极限形式，就是比较ln 1unlim n ln n与1的大小来鉴别级数un 的敛散性。n12.8.2 非正常积分与正项级数的对数

18、判别法由于级数与反常积分在本质上是相同的， 都是 “求和”运算， 只不过是对两种不同的变量求和，因此，文献 9 将反常积分的对数审敛法推广到级数中去，从而得到正项级数敛散性的对数审敛法。第一对数审敛法是计算 lim n11lnim lnln 与 0 的大小来鉴别敛散性。nun 1unln un 与n0 的大小，第二对数审敛法是计算2.8.3 正项级数比值对数判别法而文献 11 则是巧用麦克劳林级数展开式 ln 1nnn1 n 给出了一种比值对数判别法。2.9 其他判别法2.9.1 阿贝尔判别法设级数 anbn ，若 an 为单调有界数列，且级数bn 收敛，则级数anbn收敛。2.9.2 狄利克

19、雷判别法设级数 anbn ，若 an 为单调递减，且 lim an 0又级数 bn 的部分和数列有界，则级数nanbn收敛。3 正项级数敛散性判别方法比较3.1 当级数可化为含参数的一般式、通项为等差或等比值或通项为含二项以上根式的四则运 算且通项极限无法求出时，可以选用正项级数的充要条件即判别敛散性的简单方法进行判 断。13.2当级数表达式型如,un 为任意函数、 级数一般项如含有 sin ,cos 等三角函数的因子un可以进行适当的放缩， 并与几何级数、 P级数、调和级数进行比较 lim un 1,lim nun 不易 nun n n算出或 lim un 1 1,lim n un 1，等此

20、类无法判断级数收敛性或进行有关级数的证明问题nunn n时，应选用比较判别法。 比较判别法使用的围比较广泛， 适用于大部分无法通过其他途径判 别其敛散性的正项级数。且具体的当所求级数的通项中出现关于 n 的有理式时，将借助无穷小量 （无穷大量 ）阶的 概念来分析比较判别法的使用，如2.2 中的例 1；当所求级数通项中出现正弦函数或对数函数时，利用不等式选取适当的比较对象如2.2 中的例 2。n13.3 当级数含有 n次幂，形如 an或通项 un p 即分母含有含 ln x的函数，分子为 1， pnln n 或级数含有多个聚点时，可选用根值判别法。且 2.3 中给出的定理二、三给出的判别法较根

21、值判别法更为精细，且应用围也有所推广。3.4当级数含有阶 n次幂，型如 a!或an或分子、分母含多个因子连乘除时， 选用比值判别法。3.5 凡能由比式判别法鉴别收敛性的级数，它也能由根式判别法来判断，而且可以说，根式 判别法较之比式判别法更有效， 但是他们有一定的局限性。 一般情况下， 这两种判别法都是 分开来使用， 事实上将这两种方法结合在一起也可以得到一种新的判别法： 比式与根式审敛 法的推广。极拓宽了级数敛散性的判别围，简化了级数的问题。如 2.5 中的例 1，用比式与 根式审敛法的推广比较简单的判断出它的敛散性。3.6 当级数表达式型如11 ,u n 为含有 ln n 的表达式或 un

22、1 可以找到原函数，或级数 unun 为1, 上非负单调递减函数， un含有 sin x,cos x等三角函数的因子可以找到原函数，可以 选用积分判别法。3.7当级数同时含有阶层与 n次幂，形如 an与 a!时，或使用比值、根式判别法时极限等于1或无穷无法判断其敛散性的时候，选用拉贝判别法。 虽然拉贝判别法在判别的围上比比式判别法更广泛， 但是对有些级数仍无法判别其敛散 性，如 2.7 中例 1。因此，给出了拉贝判别法的推广，它比拉贝判别法的判别围广泛，对于 2.7 中例 1 它可以很容易的就判别出其收敛性。3.8对于通项中含有 n!en因子及讨通项中含有n 1 !n p的正项级数敛散性时，

23、拉贝判别法 不易施行。就这类情况，我们应用 2.8 给出的比值对数判别法，该方法避开了求极限等繁琐 过程，应用更为方便。3.9当通项是由两个部分乘积而成，其中一部分为单调递减且极限趋于0 的数列，另一部分为部分和有界的数列，如含有 sin x,cos x 等三角函数等，或形如 sin un ,un 任意函数，1 bn 1 1n3n 1n1bnln3n2n1等都则可以选用阿贝尔判别法和狄利克雷判别法。 阿贝尔判别法也可以看成狄利克雷判别法的特殊形式。例：设bn 收敛，则级数bn , bn nn 1 n1 n n1 n 1收敛。4 正项级数敛散性判别方法的总结0，若不为0 则发散，若为 0 则判判断正项级数的一般顺序是先检验通项的极限是否为断级数的部分和是否有界， 有界则收敛， 否则发散。 若级数的一般项可以进行适当的放缩则 使用比较判别法， 或可以找到其等价式用等价判别法。 当通项具有一定的特点时， 则根据其特点选择适用的方法， 如比值判别法、 根式判别法、 比式与根式审敛法的推广或拉贝判别法。 当上述方法都无法使用时，根据条件选择积分判别法、柯西判别法、对数判别法。 当无法使 用根式判别法时， 通常可以选用比值判别法， 当比值判别法也无法使用时， 使用比较判别法， 若比较判别法还是无法判别时再使用充要条件进行断。由此， 我们可以得到正项级数的判别法是