概率论与数理统计213随机变量函数的分布

1、1.5 1.5 随机变量函数的分布随机变量函数的分布 一、离散型随机变量函数的分布一、离散型随机变量函数的分布 二、二、连续型随机变量函数的分布连续型随机变量函数的分布 例例1 设随机变量设随机变量X的概率分布为的概率分布为 X -2 -1 0 1 2 3 P 0.05 0.15 0.20 0.25 0.2 0.15 求求 Y=2X+1和和Z=X2 X -2 -1 0 1 2 3 P 0.05 0.15 0.20 0.25 0.2 0.15Y3 1 3571 若若X是离散型的，则是离散型的，则Y=g(X)也是离散型随机变量，且它的取也是离散型随机变量，且它的取值为值为yk=g(xk)，其分布可

2、以直接由，其分布可以直接由X的分布求得的分布求得.一一 、离散型随机变量函数的分布、离散型随机变量函数的分布 解解 将将X所有可能的取值一一代入函数所有可能的取值一一代入函数Z的概率分布为的概率分布为 Z=X2 0 1 4 9 P 0.20 0.40 0.25 0.15 例例1 设随机变量设随机变量X的概率分布为的概率分布为 X -2 -1 0 1 2 3 P 0.05 0.15 0.20 0.25 0.2 0.15 求求 Y=2X+1和和Z=X2 X -2 -1 0 1 2 3 P 0.05 0.15 0.20 0.25 0.2 0.15Z411490首先将首先将xi的取值代入函数关系，求出

3、随机变量的取值代入函数关系，求出随机变量Y相应的取值相应的取值 ).21()(，ixgyii如果如果yi(i=1,2,)的值各不相等，则的值各不相等，则Y的概率分布为的概率分布为 Y y1 y2 yi P p1 p2 pi 如果如果 yi=g(xi)(i=1,2,)中出现中出现m(2)个相同的函数值，即存在个相同的函数值，即存在 121mkkk12()()()mkkkg xg xg xy 则在则在Y的分布列中，取的概率为的分布列中，取的概率为使使121mikkmkkiP YyP XxP XxP Xxp计算离散型随机变量函数的分布的方法：计算离散型随机变量函数的分布的方法： 其其他他,0,)(

4、yyhfyhyfY 定理定理 设设X是一连续型随机变量，其密度函数是一连续型随机变量，其密度函数f(x) ，（x + ）,又函数又函数y = g(x)处处可导，且严格单处处可导，且严格单调，其反函数为调，其反函数为x = h(y )，则，则Y = g(X)也是一连续型随也是一连续型随机变量，且密度函数为机变量，且密度函数为1. 公式法公式法二二 、连续型随机变量函数的分布、连续型随机变量函数的分布)(),(max),(),(min gggg 其中，其中， 例例2 设设X具有密度函数具有密度函数f(x)，求线性函数，求线性函数Yk1Xk2的密度函数（的密度函数（k1，k2是常数且是常数且k10）

5、. 其其他他,0,)( yyhfyhyfY)(),(max),(),(min gggg 其中，其中，y = g(x)处处可处处可导，严格单调，导，严格单调，其反函数其反函数x = h(y )分析分析y = g(x)k1xk2处处可导，严格单调处处可导，严格单调其反函数其反函数 x = h(y )12kky )(yh11k , 例例2 设设X具有密度函数具有密度函数f(x)，求线性函数，求线性函数Yk1Xk2的密度函数（的密度函数（k1，k2是常数且是常数且k10）. 其其他他,0,)( yyhfyhyfY)(),(max),(),(min gggg 其中，其中，其反函数其反函数 x = h(y

6、 )12kky )(yh11k|1)()(112kkkyfyfY y = g(x)处处可处处可导，严格单调，导，严格单调，其反函数其反函数x = h(y ) 例例3 设设XN(,2 2)，求，求Yk1Xk2的密度函数的密度函数（k1，k2是常数且是常数且k10）. 例例2 设设X具有密度函数具有密度函数f(x)，线性函数，线性函数Yk1Xk2的密度函数（的密度函数（k10）为）为解解 X的密度函数为的密度函数为 xexfx,21)(222)( 由例由例2知知 )(xfY22122)(1|21 kkyek2212122)(1|21 kkkyek y|)()(1121kkkyfyfY 例例3 设设

7、XN(,2 2)，求，求Yk1Xk2的密度函数的密度函数（k1，k2是常数且是常数且k10）.解解 X的密度函数为的密度函数为 xexfx,21)(222)( 由例由例2知知 )(xfY22122)(1|21 kkyek2212122)(1|21 kkkyek yY),(22112 kkkN 时时特特别别的的，当当 21,1kk XY)1 , 0( NY 其其他他,0,)( yyhfyhyfY)(),(max),(),(min gggg 其其中中，注意注意 若若f(x)在有限区间在有限区间a,b外等于外等于0,则只需设在则只需设在a,b上有上有.)()(00 xgxg或或)(),(max),(

8、),(minbgagbgag 其其中中， 定理定理 设设X是一连续型随机变量，其密度函数是一连续型随机变量，其密度函数f(x) ，（x + ）,又函数又函数y = g(x)处处可导，且严格单处处可导，且严格单调，其反函数为调，其反函数为x = h(y )，则，则Y = g(X)也是一连续型随也是一连续型随机变量，且密度函数为机变量，且密度函数为 例例4 设设XN(0,1)，求，求YX2密度函数密度函数. 其其他他,0,)( yyhfyhyfY)(),(max),(),(min gggg 其中，其中，y = g(x)严格单严格单调，其反函数调，其反函数x = h(y )有连有连续导数，续导数，解

9、解1 X的密度函数为的密度函数为 xexfx,21)(22 上上，其其反反函函数数在在)0 ,( Xyx 密度函数为密度函数为2)(221)(yYeyf |)( | y22221yey y0 , 0 例例4 设设XN(0,1)，求，求YX2密度函数密度函数. 其其他他,0,)( yyhfyhyfY)(),(max),(),(min gggg 其中，其中，y = g(x)严格单严格单调，其反函数调，其反函数x = h(y )有连有连续导数，续导数，解解1 X的密度函数为的密度函数为 xexfx,21)(22 密度函数为密度函数为2221)(yYeyf |)( | y22221yey y0 上上，

10、其其反反函函数数在在), 0( Xyx , 0 例例4 设设XN(0,1)，求，求YX2密度函数密度函数. 其其他他,0,)( yyhfyhyfY)(),(max),(),(min gggg 其中，其中，y = g(x)严格单严格单调，其反函数调，其反函数x = h(y )有连有连续导数，续导数，解解1 X的密度函数为的密度函数为 xexfx,21)(22 Y密度函数为密度函数为 0, 00,221)(22yyeyyfyY 例例4 设设XN(0,1)，求，求YX2密度函数密度函数.解解2 对于任意实数对于任意实数y有有 )(yFY )(0)1(yFyY时时，当当)(,yf0)()(0)2(2y

11、XPyFyY 时时，当当)(yXyP X的密度函数为的密度函数为 xexfx,21)(22 yyxdxe2221 yxdxe02222 )()(yFyfYY yey 22 )(yYP)(yXP 20 00022 yyyexfy,)( 例例4 设设XN(0,1)，求，求YX2密度函数密度函数.解解2 对于任意实数对于任意实数y有有)()()(2yXPyYPyFY )(0)1(yFyY时时，当当0)(, 0 yf)()(0)2(2yXPyFyY 时时，当当)(yXyP yyxdxe2221 yxdxe02222 )()(yFyfYY yey 22 Y密度函数为密度函数为 000212yyeyyfyY,)( 一般地，若已知一般地，若已知X的概