2021-2021版高中数学第二章函数3函数的单调性(一)学案北师大版必修1

1、3函数的单调性(一)【学习目标1.理解函数单调区间、单调性等概念 2会划分函数的单调区间， 判断单调性3 会用定义证明函数的单调性.H问题导学T知识点一函数的单调性思考 画出函数f(x) = x、f(x) = x2的图像，并指出f(x) = x、f(x) = x2的图像的升降情况 如何？梳理 单调性是相对于区间来说的，函数图像在某区间上上升，那么函数在该区间上为增函数反之那么为减函数.很多时候我们不知道函数图像是什么样的，而且用上升下降来刻画单调性很粗糙.所以有以下定义：一般地，在函数y = f (x)的定义域内的一个区间 A上，如果对于任意两数 Xi, X2 A当xiX2 时，都有f(xi)

2、f(X2)，那么，就称函数 y = f (x)在区间A上是，有时也称函数 y=f (x)在区间A上是在函数y= f (x)的定义域内的一个区间 A上，如果对于任意两数 xi, X2代当xif(X2)，那么，就称函数 y= f (x)在区间A上是，有时也称函数 y= f (x)在区间A上是如果函数y = f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，就称函数y= f(x)在该子集上具有单调性；如果函数 y = f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函 数是增函数或减函数，统称为单调函数.知识点二 函数的单调区间2i思考 我们已经知道f (X) = X在(一8, 0上是减少的，

3、f (X)=-在区间(一8, 0)上是减少X的，这两个区间能不能交换?梳理 一般地，有以下常识：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点假设属于定义域，那么该点处区间可开可闭，假设区间端点不属于定义域那么只能开.单调区间D?定义域I .(3)遵循最简原那么，单调区间应尽可能大.题型探究类型一 求单调区间并判断单调性以及在例1如图是定义在区间5,5上的函数y= f(x),根据图像说出函数的单调区间, 每一单调区间上，它是增加的还是减少的？反思与感悟 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集; 当函数出现两个以上单调区间时，单

4、调区间之间可用“，分开，不能用“U，可以用和来表示；在单调区间 D上函数要么是增加的，要么是减少的，不能二者兼有.跟踪训练1写出函数y=|x2 2x 3|的单调区间，并指出单调性.类型二证明单调性命题角度1证明具体函数的单调性 例2证明f(x)= x在其定义域上是增函数.反思与感悟 运用定义判断或证明函数的单调性时， 应在函数的定义域内给定的区间上任意 取xi, X2且Xi0时，f(x)1.求证：函数f (x)在R上是增函数.反思与感悟 因为抽象函数不知道解析式，所以不能代入求f(Xi) f(X2)，但可以借助题目提供的函数性质来确定 f( xi) f(X2)的大小，这时就需要根据解题需要对抽

5、象函数进行赋 值.跟踪训练3函数f (x)的定义域是R,对于任意实数 m n,恒有f(m+ n) = f ( n) f(n),且当x0时，0f(x)1.求证：f(x)在R上是减函数.类型三单调性的应用命题角度1利用单调性求参数范围3a 1 x + 4a, x1是定义在R上的减函数，那么 a的取值范围A.1 18, 3)1B (0 , 3) c.【8，+呵+ 8)反思与感悟分段函数在定义域上单调，除了要保证各段上单调外，还要接口处不能反超.另外，函数在单调区间上的图像不一定是连续不断的.跟踪训练4函数f(x) = x22ax 3在区间1,2上具有单调性，那么实数a的取值范围为.命题角度2用单调性

6、解不等式 例5y = f (x)在定义域(一1,1)上是减函数，且f(1 a)f (2 a 1)，求a的取值范围.反思与感悟 假设函数f(x)的单调性，那么由X1, X2的大小，可得 f(Xi) , f(X2)的大小，可得X1 , X2的大小.f (Xi) , f(X2)的大小；由 f(1 a) f (2 a- 1)，贝y a跟踪训练5在例5中假设函数y= f(X)的定义域为R,且为增函数， 的取值范围又是什么？当堂训练)B. ( , 0D. ( , 0) U (0 ,+3)1函数y=f(x)在区间2,2上的图像如下图，那么此函数的增区间是A. 2,0C. 2,12函数y= 6的减区间是(xA

7、. 0 ,+s )C. ( 3 0) , (0 ,+)3. 在以下函数f (x)中，满足对任意 Xi，X2 (0,+)，当Xif(X2)的是1B f(X) = X( )2A. f (X) = XC. f (x) = |x|D. f (x) = 2x + 14. 函数y= f(x)满足：f( 2)f ( 1) , f ( 1) f(1)，贝U x的取值范围是()A. x 1C. 1x1D. x1规律与方法1 .假设f (X)的定义域为D,A?D,B?D f(x)在A和B上都递减，未必有f (x)在AU B上递减.2. 对增函数的判断，对任意X1X2,都有f(x0 或0.对减函数的判断，对任意X1

8、 f(X2),相应地也可用一个不等式来替代：(X1X2)f(X1) f(X2)0或fX1 fX20.X1 X23. 熟悉常见的一些单调性结论，包括一次函数，二次函数，反比例函数等.4. 假设f(x), g(x)都是增函数，h(x)是减函数，贝V：在定义域的交集(非空)上，f(x) + g(x)1递增，f (x) h(x)递增，f (x)递减，f递减(f (x)丰0).f Xi5. 对于函数值恒正(或恒负)的函数f (x)，证明单调性时，也可以作商一与1比拟.T X2合案精析问题导学知识点一思考两函数的图像如下:函数f(x) = x的图像由左到右是上升的；函数 轴右侧是上升的.梳理 增加的 递增

9、的 减少的 递减的知识点二f (x) = x2的图像在y轴左侧是下降的，在y思考 f(x) = x所以y=|x 2x 3|的单调区间有(一8 , 1 , 1,1 , 1,3 , 3 , +8),其中递减区 间是(一8 , 1 , 1,3;递增区间是1,1 , 3, +8).例2证明f (x) =的定义域为0 , +8).设X1 , X2是定义域0 , +8 )上的任意两个实数，且X1% ,的减区间可以写成(一8, 0)，而f(x)=-的减区间(一8, 0)不能写成(一x18, 0，因为0不属于f(x)=-的定义域.x题型探究例 1 解 y= f(x)的单调区间有5, - 2 , 2,1 , 1

10、,3 , 3,5，其中 y = f (x)在区 间5, 2 , 1,3上是减少的，在区间2,1 , 3,5上是增加的.x2 2x 3, x3 ,跟踪训练1解先画出f (x) =2的图像，如图.x 2x 3 , K XW3那么 f (Xi) - f (X2)= X1 - X2.Z X2Xl + p：;X2Xi - X2Xi+ ；X2/ 0 XiX2,二 Xi- X20,/.f(Xi) -f(X2)0,即卩 f(Xi)f(X2), f (x) = x在定义域0 ,+s)上是增函数.跟踪训练2 证明 设Xi, X2是实数集R上的任意实数，且K XiX2，贝U f(Xi) - f(X2)= Xi=(X

11、i X2)(ii航)=(Xi -iii iX2 Xi+ Xi-(X2 + X2) =(Xi-X2)+ (Xi- X2) = (Xi -X2)+uX2)( 9).XiX2/ K XiX2,. Xi X20,i0,故(Xi-X2)(XiX2XiX2 iXiX2)0,即 f(Xi) -f(X2)0,即卩 f(Xi)X2.令 x+ y = xi, y = X2,贝U x= xi- X20.f(xi) -f(X2)= f (x + y) -f (y) = f (x) + f(y) - i -f (y) = f (x) - i. x0,. f(x)i , f(x) - i0, f(Xi) -f(X2)0,

12、即卩 f(Xi)f(X2).函数f (x)在R上是增函数.方法二 设 xiX2，贝U xi-X20,从而 f (Xi-X2)i，即 f (Xi-X2) - i0.f (Xi) = f X2+ ( Xi X2) = f (X2) + f (Xi - X2) if ( X2),故f (x)在R上是增函数.跟踪训练3 证明对于任意实数 m n,恒有f(m n) = f (n) f(n),令m= i, n=0,可 得 f(i) = f(i) f(0),当 x 0 时，0v f(x) v i, f (i)工0,a f(0) = i.令 m= xv 0, n=-x0,那么 f(m n) = f(0) =

13、f ( - x) f(x) = 1f(x)f( - x) = 1,又t x0 时，Ovf ( x) v 1,1 f (x) = 1.f x对任意实数x, f(x)恒大于0.设任意 X10, 0f(X2 xj1 , f (X2) f (X1) = f ( X2 X1) + X1 f (X1) = f (X2 X1)f (X1) f (X1) = f ( X1) f (X2 X1) 10 , f (x)在R上是减少的.3a 10,例4 A 要使f (x)在R上是减函数，需满足：a a 1.1 1解得 w av 3.跟踪训练4 awl或a2解析由于二次函数开口向上，故其增区间为a,+R )，减区间为(一a