椭圆知识点总结及经典习题

1、圆锥曲线与方程-椭圆知识点椭圆及其标准方程F1F2的点的轨迹叫做椭1 椭圆的定义：平面内与两定点 F1, F2距离的和等于常数2a圆，即点集 M=P| |PF i|+|PF 2|=2a , 2a|FiF2|=2c;这里两个定点Fi, F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距(2aF1F2 时为线段 F1F2, 2aF1F2无轨迹)。2 标准方程:c2a2b2焦点在x轴上:焦点在y轴上:2X2a2y2a2y 1.21 (a b 0);F ( c，0)b2x21 (ab0);F (0, c)b注意：在两种标准方程中，总有 a b 0,并且椭圆的焦点总在长轴上;两种标准方程可用一般形式表示:21

2、 或者 mx2+ny2=1n椭圆的简单几何性质:1.范围(1)椭圆2X2a21 (a b 0)横坐标-a x a ,纵坐标-b xb0) 横坐标-b x b,纵坐标-a x a b22.对称性椭圆关于x轴y轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心3.顶点(1) 椭圆的顶点：A (-a，0)，A (a，0)，B (0, -b )，B2 (0，b)(2) 线段AA, BB2分别叫做椭圆的长轴长等于2a,短轴长等于2b, a和b分别叫做椭 圆的长半轴长和短半轴长。4 .离心率(1)我们把椭圆的焦距与长轴长的比2c，即称为椭圆的离心率,2a a, 2

3、记作 e( 0 e 1)， e越接近于0(e越小)，椭圆就越接近于圆e越接近于1( e越大)，椭圆越扁;注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关 小结一：根本元素(1) 根本量：a、b、c、e、(共四个量)， 特征三角形(2) 根本点：顶点、焦点、中心(共七个点)(3) 根本线：对称轴(共两条线)5. 椭圆的的内外部(1)点P(x), yo)在椭圆2x_a2y_b21(a b0)的内部(2)点P(xo,y。)在椭圆2x_a2y_b21(a b0)的外部2a2a心1了 12io- 1 b26. 几何性质(1)点P在椭圆上,最大角F1PF2maxF1B2F2 ,(2)最大距离，

4、最小距离7. 直线与椭圆的位置关系(1) 位置关系的判定：联立方程组求根的判别式;(2) 弦长公式：(3) 中点弦问题：韦达定理法、点差法例题讲解: 一.椭圆定义：1 方程x 2 2 y2x 2 2 y2 10化简的结果是2假设 ABC的两个顶点A 4,0 ,B 4,0 , ABC的周长为18，那么顶点C的轨迹方程是2 23. 椭圆+仝=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,那么P到另一焦点距离为169二利用标准方程确定参数2 21. 假设方程 厶 +丄 =1 (1)表示圆，那么实数k的取值是5 k k 3(2) 表示焦点在x轴上的椭圆，那么实数 k的取值范围是.(3) 表示焦点在y型上的椭圆

5、，那么实数k的取值范围是.(4) 表示椭圆，那么实数k的取值范围是.2. 椭圆4x2 25y2100的长轴长等于，短轴长等于,顶点坐标是, 焦点的坐标是, 焦距是离心率等于,2 23椭圆J 1的焦距为2，那么m=。4 m4. 椭圆5x2 ky25的一个焦点是(0,2)，那么k 。三待定系数法求椭圆标准方程1 假设椭圆经过点(4,0)，(0, 3)，那么该椭圆的标准方程为o2焦点在坐标轴上，且a2 13，c2 12的椭圆的标准方程为 3. 焦点在x轴上，a: b 2:1， c .6椭圆的标准方程为 4. 三点P (5, 2)、F1 (- 6，0)、F2 (6, 0)，求以F1、F2为焦点且过点P

6、的椭圆的标准方程；变式：求与椭圆4x2 9y236共焦点，且过点(3, 2)的椭圆方程。四焦点三角形2 21椭圆 丫 1的焦点为F,、F2 , AB是椭圆过焦点F,的弦，那么 ABF2的周长是。9252设Fi , F2为椭圆16x2 25y2 400的焦点，P为椭圆上的任一点，贝UPF1F2的周长是多少PF1F2的面积的最大值是多少2 23设点P是椭圆 乞1上的一点，Fi,F2是焦点，假设 F1PF2是直角，贝U F1PF2的面积2516为。变式：椭圆9x2 16y2 144，焦点为F1、F2，P是椭圆上一点.假设F1PF2 60，求PF1F2的面积.五. 离心率的有关冋题2 21. 椭圆工1

7、的离心率为丄，那么m 4 m22. 从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为 1200，贝吐匕椭圆的离心率e为3. 椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，贝U椭圆的离心率为4. 设椭圆的两个焦点分别为 R、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 卩，假设厶FPF为等腰 直角三角形，求椭圆的离心率。5. 在厶ABC中，A 300,|AB| 2,S ABC 3 .假设以A B为焦点的椭圆经过点C ,贝U该椭圆的离心率e .六、最值问题:1、 椭圆 y2 1 , A(1 , 0) , P为椭圆上任意一点，求|PA|的最大值最小4值。22. 椭圆 寸i两焦点为Fi、F2,点P在椭圆上，那么|PF

8、i|PF2|的最大值为,4七、弦长、中点弦问题1、椭圆4x2 y21及直y x m线.(1) 当m为何值时，直线与椭圆有公共点(2) 假设直线被椭圆截得的弦长为 2卫，求直线的方程.522椭圆y2 1，2(1)求过点(1,0 )且被椭圆截得的弦长为2、2的弦所在直线的方程求过点町，2且被p平分的弦所在直线的方程;同步测试1 F1(-8，0)，F2(8，0)，动点 P满足 |PF1|+|PF2|=16，那么点 P 的轨迹为()A圆 B 椭圆 C 线段 D 直线2 21692、椭圆丘1左右焦点为F1、F2, CD为过F1的弦，那么 CDF的周长为2 23方程- J 1表示椭圆，那么k的取值范围是(

9、)1 k 1 kA -1k0 C k 0 D k1 或 k-14、求满足以下条件的椭圆的标准方程(1)长轴长为10，短轴长为6(2) 长轴是短轴的2倍，且过点(2，1)(3) 经过点(5，1)，(3，2)2 25. 椭圆X2爲1(a b 0)的左右焦点分别是F1、F2,过点R作x轴的垂线交椭圆于P点a b假设/F1PE=60。，那么椭圆的离心率为 2 26椭圆的方程为X4 T ，此时点P的坐标为，P点是椭圆上的点且F1PF2 60，求和2的面积一7.假设椭圆的短轴为AB,它的一个焦点为R，那么满足 ABF为等边三角形的椭圆的离心率为28.椭圆1002y361上的点P到它的左焦点的距离是12,那

10、么点P到它的右焦点的距离是9椭圆2J 1(a255)的两个焦点为F1、F2，且F1F28，弦AB过点F1，那么 ABF2的周长2 210、椭圆-+ Z=1与椭圆乞+32-2 22 T=(0)有(A)相等的焦距2 211、椭圆I259(A)相等的焦距(B)21与49(C)相同的准线(B)相同的离心率2y25相同的的焦点(C)相同的准线1 (0kb0)的左、右焦点Fi、F2作两条互相垂直的直线li、丨2,它们 的交点在椭圆的内部，那么椭圆的离心率的取值范围是()A. (0,1)2 2x y2椭圆100+ 64二1的焦点为Fi、F2,椭圆上的点P满足/ FiP260,那么厶FiPE的面积 是()3椭

11、圆E的短轴长为6,焦点F到长轴的一个端点的距离等于 9,那么椭圆E的离心 率等于()2 24点F, A分别是椭圆移+占=1(ab0)的左焦点、右顶点，B(0 , b)满足F- AB= 0,那么椭圆的离心率等于()2 25. 椭圆4 + 2二1的左右焦点分别为 只、F2,过F2且倾角为45的直线l交椭圆于A、B两点，以下结论中： ABF1的周长为8;原点到I的距离为1|AB二3；正确结论的 个数为()A. 3B. 2C . 1D. 06圆(x+ 2) 2x y10.椭圆c：孑+ 看1( ab0)的长轴长为4.(1)假设以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线 y=x+ 2相切，求椭圆C的焦点坐标;111.椭圆E经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e=(1)求椭圆E的方程;+ y2 = 36的圆心为M设A为圆上任一点，N(2,0)，线段AN的垂直平 分线交MA于点P,那么动点P的轨迹是()A.圆B.椭圆 C .双曲线D.抛物线2 2 X y2227.过椭圆C：孑+合=1(ab0