刚体运动学和定轴转动PPT学习教案

1、会计学1刚体运动学和定轴转动刚体运动学和定轴转动一一、刚体的平动和转动刚体的平动和转动平动平动：用质心运动讨论：用质心运动讨论刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持平行。刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持平行。AA A BB B 刚体刚体:在外力作用下形状和大小保持不变的物体在外力作用下形状和大小保持不变的物体.各质点间的各质点间的相对位置永不发生变化相对位置永不发生变化的的质点系质点系。第1页/共41页转动转动：对：对点点、对、对轴轴定轴转动定轴转动：各质元均作圆周运动，其圆心都在一条固定不动的直线（转轴）上。：各质元均作圆周运动，其圆心都在一条固定不动的直线（转轴）上。O转轴转轴O

2、t 时刻时刻t+ t 时刻时刻对定点O第2页/共41页刚体的一般运刚体的一般运动动既平动又转动：质心的平动加绕质心的转动既平动又转动：质心的平动加绕质心的转动ocv.第3页/共41页转动平面转动平面转轴转轴参考方向参考方向PX各质元的线速度、加速度一般不同，各质元的线速度、加速度一般不同，但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同描述刚体整体的运动用角量最方便。描述刚体整体的运动用角量最方便。二、定轴转动的角量描述二、定轴转动的角量描述QP XX第4页/共41页角速度方向规定为沿轴方向，指向用右手螺旋法则确定。角速度方向规定为沿轴方向，指向用右手螺旋法则确

3、定。rv vr加速转动加速转动 方向一致方向一致减速转动减速转动 方向相反方向相反dtd 22dtddtd dtd 第5页/共41页比较比较：221 mvEk 一一 、刚体的转动动能、刚体的转动动能222ki2121E iiiirmvm 221 JEk 刚体绕定轴转动时转动动能等于刚体的转动惯量与角速度平方乘积的一半。刚体绕定轴转动时转动动能等于刚体的转动惯量与角速度平方乘积的一半。2222221)(21)21( JrmrmEiiiiik 刚体对给定轴的转动惯量刚体对给定轴的转动惯量(moment of inertia) iiirmJ)(2 第6页/共41页对于质量元连续分布的刚体，其转动惯量

4、可写成对于质量元连续分布的刚体，其转动惯量可写成其中其中r是质量元到转轴的距离。是质量元到转轴的距离。二、转动惯量二、转动惯量刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质量刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质量与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。*刚体的质量刚体的质量*质量的分布质量的分布*转轴的位置转轴的位置与转动惯量有关的因素：与转动惯量有关的因素：对于离散型分布的刚体，其转动惯量为对于离散型分布的刚体，其转动惯量为 iiirmJ)(2 dmrrmJVniiin212limMimr第7页/共41页dldmdsdmdVdm质量为线分布质量为线分布质

5、量为面分布质量为面分布质量为体分布质量为体分布其中其中 、 、 分别为质量的线密度、面密度和体密度。分别为质量的线密度、面密度和体密度。注意注意只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量 dmrJ2第8页/共41页1、求质量为、求质量为m、半径为半径为R的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。解：细圆环解：细圆环dldmRdlLCdlRdmRJ222222mRRRdlRL又解又解:222mRdmRdmRJ J J是可加的，

6、所以若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。是可加的，所以若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。第9页/共41页例例2 求质量为求质量为m、半径为半径为R、厚为厚为l 的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。解：取半径为解：取半径为r宽为宽为dr的薄圆环的薄圆环,dVdm drlrdmrdJ322 lRdrlrdJJR403212 可见，转动惯量与可见，转动惯量与l无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量也是无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量也是mR2/2。2221mRJlRm lrdr 2ZOrdr第10页/共41页3. 求一质量为求一质量为m的均匀实

7、心球对其一条直径的均匀实心球对其一条直径 为轴的为轴的 转动惯量。转动惯量。解：解： 一球绕一球绕Z轴旋转，离轴旋转，离 球心球心Z高处切一厚为高处切一厚为dz的薄圆盘。其半径为的薄圆盘。其半径为22ZRrdZZRdZrdV)(222dZZRdVdm)(22dZZRdmrdJ2222)(2121其体积：其体积：其质量：其质量：其转动惯量：其转动惯量：YXZORrdZZ第11页/共41页dmrdJ2212552158mRR 334RmdJJRRdZZR222)(21dZZR222)(21YXZORrdZZ第12页/共41页4、求长为、求长为L、质量为质量为m的均匀细棒对图中不的均匀细棒对图中不同

8、轴的转动惯量。同轴的转动惯量。ABLXABL/2L/2CX解：取如图坐标解：取如图坐标122222/mLdxxJLLC 3202/mLdxxJLA xdxdm= dx dmrJ2第13页/共41页平行轴定理平行轴定理前例中前例中JC表示相对通过质心的轴的转动惯量，表示相对通过质心的轴的转动惯量， JA表示相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴平行，相距表示相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴平行，相距L/2。可见：可见：222231411212mLmLmLLmJJCA 推广上述结论，若有任一轴与过质心的轴平行，相距为推广上述结论，若有任一轴与过质心的轴平行，相距为d，刚体对其转动惯量为刚体对其转动惯量为

9、J，则有：则有： JJCmd2。这个结论称为这个结论称为平行轴定理平行轴定理。MCAd第14页/共41页 右图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？右图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？(棒长为棒长为L、球半径为球半径为R）2131LmJLL 252RmJoo 2002002)(RLmJdmJJL 2225231)(RLmRmLmJooL LmOm第15页/共41页FrMz Z2frPO转动平面转动平面1fF sinrFMz 作用在刚体上的轴的力矩作用在刚体上的轴的力矩三、转动定律三、转动定律第16页/共41页iiiiamfF iiiiiiamfF sinsin

10、 2sinsiniiiiiiiirmrfrF iiiiiiiiiiirmrfrF)(sinsin2M合合外外力力矩矩0 i ifiFi im Zir 将切向分量式两边同乘以将切向分量式两边同乘以 ,变换得变换得irJ JM iiirmJ)(2 JM 转动定律转动定律第17页/共41页刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律 刚体绕定轴转动时，作用于刚体上的合外力矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积。刚体绕定轴转动时，作用于刚体上的合外力矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积。m反映质点的反映质点的平动惯性平动惯性, J反映刚体的反映刚体的转动惯性转动惯性. JM 与与地位相当地位

11、相当amF JM JM 第18页/共41页是把质点力学的规律应用到组成刚体是把质点力学的规律应用到组成刚体的的 质点系。质点系。质点质点质点系质点系刚体刚体研究对象：刚体研究对象：刚体理想模型理想模型运动模式：刚体绕定轴的转动运动模式：刚体绕定轴的转动研究方法：研究方法：JMmaFz小结小结：平动、转动的类比：平动、转动的类比：;JJMmmvvF转动惯量mrJd2重点提示重点提示：要注意：要注意 M,I , 是对于同一根轴的力矩、转动惯量和角速度。是对于同一根轴的力矩、转动惯量和角速度。第19页/共41页转动定律应用举例转动定律应用举例 解题步骤解题步骤: 1. 认刚体认刚体; 2. 定转轴定

12、转轴,找运动找运动; 3. 分析力和力矩分析力和力矩; 4. 定转向定转向,列方程。列方程。 特别注意特别注意: : 1. 明确转动轴位置。明确转动轴位置。2. 选定转动的正方向选定转动的正方向, 注意力矩、角速度、角加速注意力矩、角速度、角加速 度的正负。度的正负。 3. 同一方程式中所有量都必须相对同一转轴。同一方程式中所有量都必须相对同一转轴。二类问题二类问题:第一类第一类: 由角量运动由角量运动,求力矩。求力矩。(微分法微分法)第二类第二类: 由力矩及初始条件由力矩及初始条件,求刚体运动。求刚体运动。(积分法积分法)第20页/共41页例例1 一个质量为一个质量为M、半径为、半径为R的定

13、滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为m的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体m由静止下落高度由静止下落高度h时的速度和此时滑轮的角速度。时的速度和此时滑轮的角速度。mg：对有质点和刚体参加的系统，应用隔离体方法。对质点：受力分析，应用牛顿第二定律；对刚体：进行受力矩分析，应用转动定律：对有质点和刚体参加的系统，应用隔离体方法。对质点：受力分析，应用牛顿第二定律；对刚体：进行受力矩分析，应用转动定律,并由角量与线量关系并由角量与线量关系,列出几何补充方

14、程列出几何补充方程.第21页/共41页MmmghRRv 241 242Mmmghahv gMmma2 解方程得：解方程得：mg解：解： RamaTmgm :对对221 MRJJTRMM：对对 第22页/共41页例例2、一个飞轮的质量为、一个飞轮的质量为69kg，半径为半径为0.25m,正在以每分正在以每分1000转的转速转动。现在要制动飞轮，要求在转的转速转动。现在要制动飞轮，要求在5.0秒内使它均匀减速而最后停下来。摩擦系数为秒内使它均匀减速而最后停下来。摩擦系数为0.2。求闸瓦对轮子的压力。求闸瓦对轮子的压力N为多大？为多大？F0解：解：飞轮制动时有角加速度飞轮制动时有角加速度t0 20r

15、ad/s920s5 0 rad/s7104r1000.min/ t第23页/共41页外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。 2mRJNRRfMr 2mRNR mRN 0Nfr 第24页/共41页已知：已知：M0M1= a J |t=0=0求：求： （t）=？解：解：1）以刚体为研究对象；）以刚体为研究对象；2）分析受力矩）分析受力矩3）建立轴的正方向；）建立轴的正方向；4）列方程：）列方程：JMM10M+M0M1J例例3 3 一静止刚体受到一等于一静止刚体受到一等于 （N.m)N.m)的不变力矩的作用的不变力矩的作用, ,同时又引起一阻力矩同时又引起一阻力矩

16、， 的大小与刚体转动的角速度成正比的大小与刚体转动的角速度成正比, ,即即 (Nm),(Nm),( 为常数为常数) )。又已知刚体对转轴的转动惯量为。又已知刚体对转轴的转动惯量为J,J,试求刚体角速度变化的规律。试求刚体角速度变化的规律。aM 11M1M0Ma第25页/共41页M+M0M1=a 解：解：4）列方程：）列方程：JMM10JMM10JaM0JaMdtd0JdtaMd0tJdtaMd000JtMaMa)(ln100JateMaM00)1 (10JateMa分离变量：分离变量：第26页/共41页例例4、一根长为、一根长为l、质量为质量为m的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可

17、以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆 角时的角加速度和角速度。角时的角加速度和角速度。解：棒下摆为加速过程，外力矩为重力对解：棒下摆为加速过程，外力矩为重力对O的力矩。的力矩。 棒上取质元棒上取质元dm,当棒处在下摆当棒处在下摆 角时角时，该质量元的重力对轴的元力矩为该质量元的重力对轴的元力矩为 Ogdmdmldl dlglgdmldM coscos 第27页/共41页重力对整个棒的合力矩为重力对整个棒的合力矩为 coscosmgLgL2122 LgmLmgLJM233121

18、2 coscos LdlgldMM0 cos Ogdmdmldl dlglgdmldM coscos 代入转动定律，可得代入转动定律，可得第28页/共41页 ddJdtdddJdtdJJM 21 cosmglM代入 dJdmgL cos21 0021dJdmgLcos22121 JmgL sinLgJmgL sinsin3 dJMd 231mLJ 第29页/共41页四、四、 力矩的功力矩的功 MdrdFdsFrdFdW 式中式中 cosFF rFM 21 MdW力矩做功是力做功的角量表达式力矩做功是力做功的角量表达式.FrPOdrd Z力矩的瞬时功率力矩的瞬时功率 MdtdWp 第30页/共4

19、1页五、刚体定轴转动的动能定理五、刚体定轴转动的动能定理 ddJdtdddJJdtdJM 2121 dJdM21222121 JJ 合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理21222121 JJW 第31页/共41页六六 、包括刚体的系统的场中机械能守恒定律、包括刚体的系统的场中机械能守恒定律 iiiiphmgghmE刚体的重力势能等于其重力与质心高度之积刚体的重力势能等于其重力与质心高度之积. 刚体的重力势能刚体的重力势能是组成它的各个质元的重力势能之和是组成它的各个质元的重力势能

20、之和.mhmmgEiip CpmghE mymhiic CChim POihh第32页/共41页若在刚体转动过程中若在刚体转动过程中,只有重力做功只有重力做功,其他其他非保守内力不做功非保守内力不做功,则刚体在重力场中机械能守恒则刚体在重力场中机械能守恒.常量常量 CmghJE221 机械能守恒定律机械能守恒定律第33页/共41页例例5 设一细杆的质量为设一细杆的质量为m，长为，长为L，一端支以枢轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放。求：，一端支以枢轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放。求：当杆过铅直位置当杆过铅直位置时的角速度。时的角速度。已知已知：m，L求求： ，1）以杆为研究对象）以杆为研究对象 受力：受力：mg，N（不产生（不产生对轴的力矩）对轴的力矩）建立建立OXYZ坐标系坐标系 ZNmgYXOL解