51总体平均数与方差的估计

1、用样本推断总体用样本推断总体本章内容第第5章章总体平均数与总体平均数与方差的估计方差的估计本课内容本节内容5.1阅读下面的报道，回答问题阅读下面的报道，回答问题. 议一议议一议议一议议一议议一议议一议从上述报道可见，北京市统计局进行从上述报道可见，北京市统计局进行2012年度年度人口调查采用的是什么调查方式人口调查采用的是什么调查方式？议一议议一议议一议议一议议一议议一议我们在研究某个总体时，一般用数据表示总体中我们在研究某个总体时，一般用数据表示总体中每个个体的某种数量特性，所有这些数据组成一个总每个个体的某种数量特性，所有这些数据组成一个总体，而样本则是从总体中抽取的部分数据，因此，样体，

2、而样本则是从总体中抽取的部分数据，因此，样本蕴含着总体的许多信息，这使得我们有可能通过样本蕴含着总体的许多信息，这使得我们有可能通过样本的某些特性去推断总体的相应特性本的某些特性去推断总体的相应特性.从总体中抽取样本，然后通过对样本的分析，从总体中抽取样本，然后通过对样本的分析，去推断总体的情况，这是统计的基本思想去推断总体的情况，这是统计的基本思想.用样本用样本平均数、样本方差分别去估计总体平均数、总体平均数、样本方差分别去估计总体平均数、总体方差就是这一思想的一个体现方差就是这一思想的一个体现.实践和理论都表明：实践和理论都表明：对于简单随机样本，在大多数情况下，当样本容对于简单随机样本，

3、在大多数情况下，当样本容量足够大时，这种估计是合理的量足够大时，这种估计是合理的.说一说说一说（1）如何估计某城市所有家庭一年内平均丢弃的塑料）如何估计某城市所有家庭一年内平均丢弃的塑料 袋个数袋个数？ （2）在检查甲、乙两种棉花的纤维长度时，如何估计）在检查甲、乙两种棉花的纤维长度时，如何估计 哪种棉花的纤维长度比较整齐哪种棉花的纤维长度比较整齐？ 可以进行简单随机抽样，可以进行简单随机抽样，然后用样本去推断总体然后用样本去推断总体.由于简单随机样本客观地反映了实际情况，由于简单随机样本客观地反映了实际情况，能够代表总体，因此我们可用简单随机样本的能够代表总体，因此我们可用简单随机样本的平均

4、数与方差分别去估计总体的平均数与方差平均数与方差分别去估计总体的平均数与方差. .例如，我们可以从某城市所有家庭中随机抽取例如，我们可以从某城市所有家庭中随机抽取一部分家庭，统计他们在一年内丢弃的塑料袋一部分家庭，统计他们在一年内丢弃的塑料袋个数，然后求出它们的平均值，再用这个平均个数，然后求出它们的平均值，再用这个平均值去估计该城市所有家庭一年内平均丢弃的塑值去估计该城市所有家庭一年内平均丢弃的塑料袋个数料袋个数. 同样，我们可以从甲、乙两种棉花中各抽同样，我们可以从甲、乙两种棉花中各抽取一定量的棉花，分别统计它们的纤维长度的取一定量的棉花，分别统计它们的纤维长度的方差，再用这两个方差分别去

5、估计这两种棉花方差，再用这两个方差分别去估计这两种棉花纤维长度的整齐性，方差小的棉花品种整齐性纤维长度的整齐性，方差小的棉花品种整齐性较好较好.动脑筋动脑筋某农科院在某地区选择了自然条件相同的某农科院在某地区选择了自然条件相同的两个试验区，用相同的管理技术试种甲、乙两两个试验区，用相同的管理技术试种甲、乙两个品种的水稻各个品种的水稻各100亩亩. .如何确定哪个品种的水如何确定哪个品种的水稻在该地区更有推广价值呢稻在该地区更有推广价值呢？为了选择合适的稻种，我们需要关心这两种水稻为了选择合适的稻种，我们需要关心这两种水稻的平均产量及产量的稳定性（即方差）的平均产量及产量的稳定性（即方差）. .

6、于是，待水稻于是，待水稻成熟后，各自从这成熟后，各自从这100亩水稻随机抽取亩水稻随机抽取10亩水稻，记录亩水稻，记录它们的亩产量（样本），数据如下表所示：它们的亩产量（样本），数据如下表所示：种 类每亩水稻的产量（kg）甲865885886876893885870905890895乙870875884885886888882890895896可以求出，这可以求出，这10亩甲、乙品种的水稻的平均产量分亩甲、乙品种的水稻的平均产量分别为：别为：1870875884885886888882890895896 =8851(kg)10（）.x.乙乙186588588687689388587090589

7、0895 =885(kg);10（）x甲甲由于这由于这10亩水稻是简单随机抽取的，因此亩水稻是简单随机抽取的，因此可以分别用这可以分别用这10亩水稻的平均产量去估计这两亩水稻的平均产量去估计这两种水稻大面积种植后的平均产量种水稻大面积种植后的平均产量. . 由于在试验区这两种水稻的平均产量相差很小，由于在试验区这两种水稻的平均产量相差很小，从而我们可以估计出大面积种植这两种水稻后的平从而我们可以估计出大面积种植这两种水稻后的平均产量也应相差很小，所以，单从平均产量这一角均产量也应相差很小，所以，单从平均产量这一角度来考虑，我们还不能确定哪种水稻更有推广价值度来考虑，我们还不能确定哪种水稻更有推

8、广价值. .因此，我们还需考虑这两种水稻产量的稳定性因此，我们还需考虑这两种水稻产量的稳定性. .利用计算器，我们可计算出这利用计算器，我们可计算出这10亩甲、乙品种亩甲、乙品种水稻产量的方差分别为水稻产量的方差分别为129.6，59.09. .由于由于59.09129.6，即即 ，因此我们可以估计种植乙种水稻的产，因此我们可以估计种植乙种水稻的产量要比种植甲种水稻的产量稳定量要比种植甲种水稻的产量稳定.从而我们可以得出：从而我们可以得出：在该地区，种植乙种水稻更有推广价值在该地区，种植乙种水稻更有推广价值.22ss乙乙甲甲例例 一台机床生产一种直径为一台机床生产一种直径为40mm的圆柱形零的

9、圆柱形零件，在正常生产时，生产的零件的直径的方差应件，在正常生产时，生产的零件的直径的方差应不超过不超过0.01. .如果超过如果超过0.01，则机床应检修调整，则机床应检修调整. .举举例例 下表是某日下表是某日8:309:30及及10:0011:00两个时段两个时段中各随机抽取中各随机抽取10个零件量出的直径的数值个零件量出的直径的数值（单位：单位：mm）：8:309:304039.840.140.239.840.140.240.239.839.810:0011:00404039.94039.940.24040.14039.9试判断在这两个时段内机床生产是否正常试判断在这两个时段内机床生产

10、是否正常. .在在8:309:30这段时间内生产的零件中，这段时间内生产的零件中， 随机抽取的随机抽取的10个零件的直径的平均数个零件的直径的平均数 、 方差方差 分别为：分别为：解解 14039 8 440 1 240 2 31040（）x.22222140 40 + 39.8 404 + 40.1 402 + 40.2 403= 0.03.10（）（）（）（）s-1x8:309:304039.840.140.239.840.140.240.239.839.810:0011:00404039.94039.940.24040.14039.921s22222240 40 + 39.9 404 +

11、 40.2 402 + 40.1 403= 0.008.10（）（）（）（）s-在在10:0011:00这段时间内生产的零件中，这段时间内生产的零件中， 随机抽取的随机抽取的10个零件的直径的平均数个零件的直径的平均数 、 方差方差 分别为：分别为：2x25 4039 9 340 240 11040（）x.8:309:304039.840.140.239.840.140.240.239.839.810:0011:00404039.94039.940.24040.14039.922s由于随机抽取的由于随机抽取的8:309:30这段时间内生产的这段时间内生产的10个零件的直径的方差为个零件的直径的

12、方差为0.03，远远超过，远远超过0.01的界的界限，因此我们可以推断在这段时间内该机床生产限，因此我们可以推断在这段时间内该机床生产不正常不正常. . 类似地，我们可以推断在类似地，我们可以推断在10:0011:00这这段时间内该机床生产正常段时间内该机床生产正常. .练习练习小明为了估计自己从起床至到达教室所需的平均时间，小明为了估计自己从起床至到达教室所需的平均时间，他随机记录了自己他随机记录了自己20天每天从起床至到达教室所需的天每天从起床至到达教室所需的时间，得到下表：时间，得到下表：1.454647484950515253天数（天）天数（天）211245311时间（时间（min）试

13、据此估计小明从起床至到达教室所需的平均时间试据此估计小明从起床至到达教室所需的平均时间. .答：小明从起床至到达教室所需的平均时间答：小明从起床至到达教室所需的平均时间 为为49.15 分钟分钟t解解=（452+461+471+482+494+505+513 +521+531） 20= 49.15 （min）454647484950515253天数（天）天数（天）211245311时间（时间（min）甲、甲、 乙两台包装机同时包装质量为乙两台包装机同时包装质量为200g的糖果，的糖果， 从中随机抽取从中随机抽取10袋，测得其实际质量（单位袋，测得其实际质量（单位:g）分别如下：分别如下：2.甲

14、甲202203202196199201200197201199乙乙201199200204200202196195202201试根据以上数据判断哪台包装机包装糖果的试根据以上数据判断哪台包装机包装糖果的质量比较稳定质量比较稳定. .1=202203202196199201200197201199 =20010（）x甲甲解解22222222(203 200)(202 200)2 (201 200)2 (199 200)2 (200 200) +(197 200) +(196 200)4.6.10s 甲甲甲202203202196199201200197201199乙乙20119920020420

15、02021961952022011201 199200204200202196195202201 =20010（）x乙乙 22222222(202 200)2 (199 200)(204 200)(196 201)(200 200)2 (195 201)(201 201)26.8.10s 乙所以可以估计出甲包装机包装糖果的质量比较稳定所以可以估计出甲包装机包装糖果的质量比较稳定. .22甲乙s sx乙乙= = 200,所以所以,x甲甲甲甲202203202196199201200197201199乙乙201199200204200202196195202201中考中考 试题试题例例 某校为了了解九年级学生的体能情况，随机抽查了其中的某校为了了解九年级学生的体能情况，随机抽查了其中的30名学名学生，测试了生，测试了1分钟仰卧起坐