华南农业大学现代控制理论 能控性和能观测性讲PPT学习教案

1、会计学1华南农业大学现代控制理论华南农业大学现代控制理论 能控性和能能控性和能观测性讲观测性讲2第1页/共48页3第2页/共48页4输入、输出输入、输出外部变量外部变量状态状态内部变量内部变量v研究系统的最终目的：更好地研究系统的最终目的：更好地了解了解系统和系统和控制控制系统。系统。思考？思考？1、当系统运动状况不佳时，能否通过系统的输入来改变系统的动态变化行为？、当系统运动状况不佳时，能否通过系统的输入来改变系统的动态变化行为？2、系统内部所有动态信息由状态反映，那么能否通过系统的输出来反映系统所有的状态信息？、系统内部所有动态信息由状态反映，那么能否通过系统的输出来反映系统所有的状态信息

2、？第3页/共48页5第4页/共48页6指控制作用对状态变量的影响或控制能力，称指控制作用对状态变量的影响或控制能力，称之为之为状态的能控性问题状态的能控性问题。即，如果系统的每一个状态变量的运动都可由即，如果系统的每一个状态变量的运动都可由输入来影响和控制，而由输入来影响和控制，而由任意的始点任意的始点达到终达到终点，则点，则系统能控系统能控( (状态能控状态能控) )。第5页/共48页7在有限时间内，能否通过对系统输出的测在有限时间内，能否通过对系统输出的测定来估计系统的各个状态？定来估计系统的各个状态？指系统的输出量（或观测量）对系统状态的识别能指系统的输出量（或观测量）对系统状态的识别能

3、力，称之为力，称之为状态的能观性问题状态的能观性问题。能控性、能观性能控性、能观性-刻画系统内部结构的刻画系统内部结构的两个两个基础性概念，基础性概念，由由卡尔曼卡尔曼(Kalman) 于于1960年提出的，在现代控制理论中起年提出的，在现代控制理论中起 重要作用重要作用。即，如果系统的所有状态变量的即，如果系统的所有状态变量的任意形式任意形式的运动均的运动均 可由输出完全反映，则称系统是可由输出完全反映，则称系统是状态能观状态能观测的测的。状态能控否，决定能否实现最优控制；状态能控否，决定能否实现最优控制；能观否，决定能否实现状态反馈控制。能观否，决定能否实现状态反馈控制。第6页/共48页8

4、xyuxxxx60215004212.1.22211625 4xyuxxuxx1x2x2x1x表明：状态变量表明：状态变量 、 都可通过选择输入都可通过选择输入u而由而由始点始点 终点，状态都能控。终点，状态都能控。 输出输出y只能反映状态变量只能反映状态变量 ，所以，所以 不能观测。不能观测。 解：展开得解：展开得第7页/共48页9例例4.2 RLC网络网络 选择电感中的电流以及电容上的电压作为状态变量选择电感中的电流以及电容上的电压作为状态变量，电容上的电压为输出变量，电容上的电压为输出变量, ,即即ccLuyuxix ,21取取 当当R1R4R1R4R2R3R2R3，即电桥不平衡时，输入

5、，即电桥不平衡时，输入u u能控制能控制x1x1和和x2x2所有状态变量，称系统是能控的。所有状态变量，称系统是能控的。第8页/共48页10例例4.3 RLC网络网络 同样同样ccLuyuxix ,21取取 当当R1R4=R2R3R1R4=R2R3，即电桥平衡时，电感中的电流，即电桥平衡时，电感中的电流作为电路的一个状态是不能由输出变量来确作为电路的一个状态是不能由输出变量来确定的，称该系统是不能观测的。定的，称该系统是不能观测的。第9页/共48页11第10页/共48页12含义：含义：能控性：能控性：u(t) x(t) 状态方程状态方程一、能控性定义（可控性）能控性定义（可控性）1、状态能控性

6、、状态能控性对于线性定常系统，如果存在一个分段连续的输入能在有限时间间隔内，使得系统从任意一个初始状态转移到任意的终止状态，则称此系统是状态完全能控的，简称系统是能控的。4.1 4.1 线性定常连续系统的能控性线性定常连续系统的能控性BuAxx.一致可控一致可控第11页/共48页13eg：假如相平面中的假如相平面中的P点能在输入的作用下转移点能在输入的作用下转移到任一指定状态到任一指定状态 ，那么相平面上的那么相平面上的P点是能控状态。点是能控状态。 12,nP PPPP3P1P2PnP40 x1x24.1 4.1 线性定常连续系统的能控性线性定常连续系统的能控性第12页/共48页14说明：说

7、明：这种定义方式不便于写成解析形式。为了便于数学处这种定义方式不便于写成解析形式。为了便于数学处 理，而又不失一般性，可以把上面的能控性定义分两理，而又不失一般性，可以把上面的能控性定义分两 种情况叙述：种情况叙述：状态状态能控能控性性：对于给定的线性定常系统，如果存在一个分段连续的输入，能在有限时间间隔内，将系统由任意非零初始状态非零初始状态转移到零状零状态态，则称此系统是状态完全能控的，简称系统是能控的。第13页/共48页15第14页/共48页16)(fty)(0ty)(tu,0fttt 在有限时间区间 ，存在一个无约束的分段连续的控制输入 ，能使任意初始输出 转移到状态空间原点 =0，则

8、称系统是输出完全能控的，简称输出能控。DuCxyBuAxx对于系统输入有唯一解的问题第15页/共48页171、定理、定理1 对于n 阶线性定常系统 ，其系统状态完全能控的充分必要条件是：由A、B 构成的能控性判别矩阵满秩，即：BuAxx12BABAABBSQncc或nrankQcn为该系统的维数为该系统的维数 能控性能控性矩阵矩阵第16页/共48页18（1） uxx011012BABAABBQnc12nrankQc1 系统状态不完全能控。系统状态不完全能控。解：（1）2n0021ABB第17页/共48页19（2） （3） （4） u111001xx u100110 xx u1001101100

9、10011xx 第18页/共48页20 解：解：（2） ， 系统不能控。系统不能控。（3） ， 系统能控。系统能控。（4） 系统不能控。系统不能控。1111ABBQcnrank 1cQ0110ABBQcnrank 2cQ121110010101121110BAABBQ2cnrank 2cQ注意：注意：对于行数列数的情况求对于行数列数的情况求秩时：秩时： rank =rankcQnnTccQQ第19页/共48页212、定理、定理2： 设线性定常系统 ， 具有互不相同的实特征值，则其 状态完全能控的充分必要条件是： 系统经非奇异变换后的对角标准 型： 中， 阵不存在全零行。 BuAxxuBxxn0

10、01B第20页/共48页22BuAxx. 1BAABBSnCxPx uBxAx.BPBAPPA11, 1BABABSnC其中：其中：第21页/共48页23CnnnncSrankBAABBrankBAABBPrankBAPABPBPrankBPAPPBPAPPBPrankSrank )()( 1111111111111非奇异线性变换后，系统非奇异线性变换后，系统的的能控性不变。能控性不变。1P满秩矩阵第22页/共48页24ubbbbbbbbbxxnrnnrrnnn21222211121121.00rrubububxx1212111111rrubububxx2222121222因为线性变换后的状态

11、变量间无耦合，由能控的定义，因为线性变换后的状态变量间无耦合，由能控的定义，显然能控性的充要条件为显然能控性的充要条件为变换后的变换后的b b阵中无全为零的行阵中无全为零的行。（2 2）第23页/共48页25（2） uxx570010100050007uxx752100050007（1）例例4.5 判别下列系统的状态能控性判别下列系统的状态能控性状态变量状态变量 x x2 2 不受控制不受控制 此方法的优点在于很容易判断出能控性，并且能将不能控的部分确定下来，但它的缺点是要进行线性变换。此方法的优点在于很容易判断出能控性，并且能将不能控的部分确定下来，但它的缺点是要进行线性变换。 第24页/共

12、48页26例例4.6 判别下列系统的状态能控性。判别下列系统的状态能控性。uxx111200020002解：解：状态方程为对角型，状态方程为对角型，B阵中不含有元素全为零的行，阵中不含有元素全为零的行， 故系统是能控的。故系统是能控的。 正解： 定理2要求：互不相同的实特征值 只能用定理1的代数判据判断4214214212BAABBQc31crankQ 系统是不能控的系统是不能控的第25页/共48页273、定理、定理3： 若线性定常系统 ，具有重实特征值，且每一个重特征值只对应一个独立特征向量，则系统状态完全能控的充分必要条件是：系统经非奇异变换后的约当标准型 中，每个约当块 （ ）最后一行所

13、对应的 阵中的各行元素不全为零。 BuAxxuBxJJxk001iJki, 2 , 1B第26页/共48页28BuAxx.001010001100010001000B该系统该系统能控能控第27页/共48页29解：解：(1) 系统是系统是能能控的。控的。 02 (2) 系统不系统不能能控的。控的。 uxx204014（1）uxx010300020012(2)uxx100200103013004014（3） (3) 系统不系统不能能控的。控的。 第28页/共48页30DBCABCACABCBQ1n2ycmrankQyc 系统输出能控的充分必要条件是 的秩为输出变量的数目 。即：m4、输出能控性判据

14、、输出能控性判据注意：注意： 一般而言，系统输出能控性和状态能控性之间没有什么必然的联系，即一般而言，系统输出能控性和状态能控性之间没有什么必然的联系，即 输出输出能能控不一定状态控不一定状态能能控，状态控，状态能能控不一定输出控不一定输出能能控。控。输出能控输出能控性矩阵性矩阵或者说：该矩阵的秩等于该或者说：该矩阵的秩等于该矩阵的行数，即行满秩矩阵的行数，即行满秩DuCxyBuAxx第29页/共48页31例例4.8 判断下列系统的状态及输出能控性判断下列系统的状态及输出能控性。解：解：（1）状态能控性判别矩阵）状态能控性判别矩阵 ，故，故状态不能控状态不能控。（2）输出）输出能能控性判别矩阵

15、控性判别矩阵 ，所以，所以系统输出能控系统输出能控。uxx112110 xy011111AbbQc21crankQ 011dcAbcbQycmrankQyc1结论：结论：系统输出能控，但不是状态能控的。系统输出能控，但不是状态能控的。 即使系统状态能控，也可能输出不能控。即使系统状态能控，也可能输出不能控。第30页/共48页32本节的小结本节的小结1、能控、能观问题的含义、能控、能观问题的含义2、状态能控性、状态能达性及输出能控性的定义、状态能控性、状态能达性及输出能控性的定义3、各种能控性判据（注意条件限制，灵活应用）、各种能控性判据（注意条件限制，灵活应用） 能控性判别准则有两类能控性判别

16、准则有两类: (1) 先将系统进行状态变换，把状态方程化先将系统进行状态变换，把状态方程化 为对角或约当标准型为对角或约当标准型 ，再根据，再根据 阵确定系统的能控性；阵确定系统的能控性； (2) 直接根据状态方程的直接根据状态方程的A阵和阵和B阵确定其能控性。阵确定其能控性。4、输出能控的定义及判据、输出能控的定义及判据BA，B第31页/共48页33 在实际工程实践中，往往需要知道状态变量，在实际工程实践中，往往需要知道状态变量， 但状态变量未必都可以从外部观测到！但状态变量未必都可以从外部观测到！ 1、检测手段的限制；、检测手段的限制； 2、一些状态变量不是物理量。、一些状态变量不是物理量

17、。 但输出变量总是可以获取和测量的。但输出变量总是可以获取和测量的。 问题：问题：能否通过输入输出信息来了解系统内部的能否通过输入输出信息来了解系统内部的状态？状态？ 能观性问题能观性问题第32页/共48页34表示的是输出反映状态矢量的能力，与控制输入没有直接的关系表示的是输出反映状态矢量的能力，与控制输入没有直接的关系)(0tx,0ftt0ttf)(tuBuAxxcxy 设线性定常连续系统的状态方程和输出方程为： 如果对于任一给定的输入 ，存在一有限观测时间 ，使得在 期间的输出 能唯一地确定系统初始状态 ，则称此系统状态完全能观测的，简称系统是能观的。能观性：能观性：y(t) x(t) 输

18、出方程输出方程)(ty第33页/共48页35ft即，对任意给定即，对任意给定u(t)，在内输，在内输出出y(t)可唯一确定系统的初态可唯一确定系统的初态 x() ，则系统是则系统是完全能观测完全能观测的。的。y x( )另：另： y x( )0t,0ftt确定确定确定确定0t能观能观能检能检不能观状态的物理意义！不能观状态的物理意义！在输出中反映不出初始状态。在输出中反映不出初始状态。换言之，换言之，不能观不能观：非零初始状态：非零初始状态x0产生的输出响应恒为零。产生的输出响应恒为零。 能观能观：系统初始状态信息可以在输出中反映。：系统初始状态信息可以在输出中反映。对任意给定对任意给定u(t

19、)，如果根据，如果根据 内的输出内的输出y(t)可唯一确可唯一确定任意指定的系统状态定任意指定的系统状态 x() ，则称系统是，则称系统是完全能检测完全能检测的。的。,0fttft两者等价两者等价第34页/共48页36Axx cxy 00)(xtx0u)(ty)(tx1）、能观性表示的是输出）、能观性表示的是输出 反映状态矢量反映状态矢量 的能力，的能力， 由于控制作用所引起的输出是可以算出的，所以在由于控制作用所引起的输出是可以算出的，所以在 分析能观测问题时，可令分析能观测问题时，可令 。换言之，换言之，系统的输入不改变系统的能观测性。系统的输入不改变系统的能观测性。说明：说明： dBut

20、txtttxtt0002)、将、将能观性规定为对初始状态的确定能观性规定为对初始状态的确定，是因为一旦确定，是因为一旦确定 了初始状态，便可以根据给定的控制量（输入），利了初始状态，便可以根据给定的控制量（输入），利 用状态转移方程（第三章）：用状态转移方程（第三章）： 求出各个瞬时的状态求出各个瞬时的状态。第35页/共48页37二、能观性判据1、定理、定理1 线性定常连续系统:其状态完全能观的充分必要条件是：由A、C构成的能观性判别矩阵:满秩，即: 。BuAxxyCxnrankQo能观性能观性矩阵矩阵oQ1nCCACA第36页/共48页3800)()0( )( )( )tA t tA ttx

21、 tex teBud（dBueCtxCetytttAttA)()()(00)(0)(0)(tu00t)0()()()()0()()0()()0()()0()()0()(1110111010 xCACACItaItaItaxCAtaCAxtaCxtaxAtaCxCetynmnmmnnknkkAt第37页/共48页39确定为单位矩阵mmmRI)0()()()()(1110 xCACACItaItaItatynmnmmnCACACrankn1第38页/共48页40（1）（2）uxx110154xy11uxx113112xy010121orankQ解：解：（1） 故系统是不能观的。故系统是不能观的。

22、（2） 故系统是能观的。故系统是能观的。1155oCQCA10102121oCQCA22 orankQ第39页/共48页41 设线性定常连续系统：A阵具有互不相同的特征值，则其状态完全可观测的充分必要条件是系统经非奇异变换后的对角标准型:中的矩阵中 不含元素全为零的列。BuAxxyCxuBxxn001yCxC第40页/共48页42解：（解：（1）系统能观测。）系统能观测。 （2）系统不能观测。）系统不能观测。uxx100300020001xy235uxx100300020001xy035（1）（2）注意：注意：当为对角阵但含有当为对角阵但含有相同元素相同元素时，上述判据不适用，时，上述判据不适用， 应根据可观性的代数判据来判别应根据可观性的代数判据来判别 第41页/共48页43 设线性定常连续系统A阵具有重特征值，