EMF分离变量法PPT学习教案

1、会计学1EMF分离变量法分离变量法012212drdrdrdr1)()0(ar0drdrdrdr122222)()(ra边界条件积分之，得通解43221021CrC)r(Cr1C6r)r( 例16.2 设有电荷均匀分布在半径为a的介质球型区域中，电荷体密度为 ，试用解微分方程的方法求球体内、外的电位及电场。解: 采用球坐标系,分区域建立方程ar2ar1ar20ar10rr有限值0r1参考点电位0r2图1.4.5 体电荷分布的球形域电场 第1页/共16页解得 032023413aC2aC0C0C,电场强度（球坐标梯度公式）：ar03rrr0r111eerE)(rar3arr202r22eerE)

2、(2 对于一维场（场量仅仅是一个坐标变量的函数），只要对二阶常系数微分方程积分两次，得到通解；然后利用边界条件求得积分常数，得到电位的解；再由 得到电场强度E的分布。E电位：rar3arar0ra36r0322201)()()(第2页/共16页16.1 分离变量法 分离变量法是一种最经典的微分方程法，它适用于求解一类具有理想边界条件的典型边值问题 。一般情况下,采用正交坐标系可用分离变量法得出拉普拉斯方程或波动方程的通解，而只有当场域边界与正交坐标面重合或平行时，才可确定积分常数，得到边值问题的解。16.1.1 解题的一般步骤： 根据边界的几何形状和场的分布特征选定坐标系，写出对应的边值 问题

3、（微分方程和边界条件）； 分离变量，将一个偏微分方程，分离成几个常微分方程； 解常微分方程，并叠加各特解得到通解； 利用给定的边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。16.1.2 应用实例1. 直角坐标系中的分离变量法（二维场）第3页/共16页 例16.3 图示一无限长金属槽，其三壁接地，另一壁与三壁绝缘且保持电位为 ，金属槽截面为正方形（边长为a），试求金属槽内电位的分布。 xasin100解：选定直角坐标系0 xa100000yxay0axax0ayax00yay00 x22222),(),(),(),(sin（D域内）（1）（2）（3）（4）(5）边值问题图11.5.1 接地金属槽的

4、截面第4页/共16页2) 分离变量)()(),(yxyx21)6(00dyd10dxd122222121 22222121dyd1dxd1代入式（1）有根据 可能的取值，可有6个常微分方程：2222dyd1，2121dxd1设)7(0KKdyd1Kdxd12n2n22222n2122 )8(0KKdyd1Kdxd12n2n22222n2121 称为分离常数,可以取值000和,第5页/共16页3）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。)()()(yDCxBAyx000021)(sincos()sincos)(yshKDychKCxKBxKAyKDyKCxshKBxchKAnnnnnnn1nnnn

5、nnnnn1nn4）利用给定边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。 0B0Bn00aKFaKDBnnnnnsinsin),( 321nanKn0A0A0A0ay00 xy)ann0轴0C0C0C0ax00yx)bnn0轴0ay0ax)c 图1.5.2 双曲函数yanshxanFyx1nn)sin(),(第6页/共16页yanshxanFyx1nn)sin(),(d） ay ax100ax0sin xanaanshFax1001nnsin)(sinxanF1nnsin 比较系数法：当 时，1n 0F0Fnn yaxsh)asin(sh100)y,x(（D域内）当 时，1n 100shFF1

6、1 sh100F1 满足拉普拉斯方程的通解有无数个，但满足给定边界条件的解是唯一的。第7页/共16页 若 ， V1001nnaxnF100sin shnFFnn 0n400),( 531nyanxshannshn1400yx1nsin),(),( 642n),( 531n 利用 sin 函数的正交性来确定 。等式两端同乘 ，然后从 0到 a对 x积分 nFxamsinxdxamxanFxdxam1001na0na0sinsin sin图1.5.3 接地金属槽内的等位线分布第8页/共16页Procedure of Separation of VariablesChoose an appropri

7、ate coordinate system for the given geometryFind the solution of ODE , Bessels or Legendres equation, according to the specified boundary conditionsEvaluate the coefficients using orthogonal of Fourier-seriesThe boundary-value problem can be specified 20 gi ven boundary probl emVunder= PDEODEthe pro

8、duct form of VPoissons Equation?第9页/共16页1）选定圆柱坐标,列出边值问题01101122222222122112)()(（1）（2）（3）（4）(5）（6）aa0 例16.4 在均匀电场 中，放置一根半径为a，介电常数为 的无限长均匀介质圆柱棒，它的轴线与 垂直。柱外是自由空间 。试求圆柱内外电位函数 和电场强度 的分布。 0EEEa2a10a2a1102EEx0cos根据场分布的对称性02),(),(),(及01),(P122图1.5.4 均匀电场中的介质圆柱棒2 2、圆柱坐标系中的分离变量法（二维场）圆柱坐标系中的分离变量法（二维场）第10页/共16页

9、0ndd0RnddRdRd22222223）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。当 时，0n 000000DCBAR)(ln)(当 时，0n nDnCBARnnnnnnnnsincos)()()(ln(),(0000DCBA)sincos( )(nDnCBAnn1nnnnn2）分离变量, 设 代入式（1）得)()(),(R222222ndd1ddRRdRdR或第11页/共16页nBABA1nnnnn00cos)() ln(),(根据根据 ， 比较系数得cos01E当 时，1n ，EA0B0A100，nBE1nnn1coscos),(0B0B0A0n0002，1nnn2nAcos),(4）利用

10、给定边界条件确定积分常数。根据场分布对称性02 )/,(),(),(及当 时，1n ，0ABAno0通解中不含 的奇函数项，通解为所以,0D0Cn0第12页/共16页EaBE1A2001001)(，解之，得比较系数法：)(121011AaBEaAaBEa当 时，得1n 当 时， ， 则最终解1n 0BAnncoscos)(),(cos)()(cos),(E2E1EaE000020201aa01n1nn1n1nn01nnn1nnnnanAnaBEnaAnaBEacos)coscos(coscoscosc）由分界面 的衔接条件，得a第13页/共16页 介质柱内的电场是均匀的，且与外加电场E0平行。 因 ， ，所以 。0121002EE 介质柱