D94对面积曲面积分PPT学习教案

1、会计学1D94对面积曲面积分对面积曲面积分设 为光滑曲面,“乘积和式极限” kkkkSf),(nk 10lim都存在,的的曲面积分曲面积分Szyxfd),(其中 f (x, y, z) 叫做被积曲面面积为SSdf (x, y, z) 是定义在 上的一 个有界函数,记作记作或或第一类曲面积分第一类曲面积分.若对若对 做做任意分割任意分割和局部区域和局部区域任意取点任意取点, 则称此极限为函数则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面在曲面 上上对面积对面积函数, 叫做积分曲面.机动 目录 上页 下页 返回 结束 如果是闭闭曲面,那么该曲面积分就记为 Szyxfd),(第1页/共20页则对面

2、积的曲面积分存在. 对积分域的可加性对积分域的可加性.,21则有Szyxfd),(1d),(Szyxf2d),(SzyxfSzyxgkzyxfkd),(),(21 线性性质线性性质.则为常数设,21kkSzyxgkSzyxfkd),(d),(21),(zyxf若在光滑曲面 上连续, 对面积对面积的曲面积分与的曲面积分与对弧长对弧长的曲线积分性质类似的曲线积分性质类似. 积分的存在性积分的存在性. 若 是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共20页定理定理 1 设设是光滑曲面是光滑曲面,其方程为其方程为 ( , )zz x y,( , )xyx yD, 其

3、中其中xyD为为在在xOy面上的投影区域，面上的投影区域， 函数函数( , )z x y在在xyD 上具有连续的偏导数上具有连续的偏导数. 又设被积函数又设被积函数( , , )f x y z为定义在为定义在上上 的连续函数的连续函数, 则则曲面积分曲面积分( , , )df x y zS存在存在,并且并且 二、对面积的曲面积分的计算二、对面积的曲面积分的计算 机动 目录 上页 下页 返回 结束 yxDyxf),(Szyxfd),(),(yxzyxyxzyxzyxdd),(),(122第3页/共20页22( ,1d d ,;), xzDxzyy xfyxxzzz( , , )df xzyS则则

4、22, ,( 1).dd,yzDyzxx y zxyfy zz()d, ,fy zxS( , )xx y z：若曲面则则():,yy x z若曲面机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意：注意：一投、二代、三换一投、二代、三换第4页/共20页.),(),(),( .;),(, 一个坐标面投影向任何则可将曲面成可以同时表示若曲面其他类同的形式写成的方程应面时投影到一般地yxzzzxyyzyxxyxfzxoy说明：说明：., ) 1 (的表达式来确定要根据积分曲面方程标面积分曲面投影到哪个坐机动 目录 上页 下页 返回 结束 ., (2)于母线的坐标面投影向垂直不能将柱面时是母线平行于坐标轴的当.

5、, (3)然后再相加行计算函数表示的曲面分别进要将曲面分成两个单值的方程不是单值函数时当第5页/共20页yxD,dzS其中是球面222zyx被平面) 10(hhz截出的顶部.解解: :yxDyxyxz),( ,1:222221:hyxDyx221yxzz 2211yx zSd 20d0)1ln(212212h hln2 yxDyxyx221dd21021dh 1oxzyh1机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共20页其中其中 是由平面是由平面坐标面所围成的四面体的表面. ozyx111解解: 设设上的部分, 则4321,4d)(Szyxzyx1zyx与, 0, 0, 0zyx1zyx4

6、321Szyxzyxd)( 原式 = 分别表示分别表示 在平面在平面 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,d)(Szyxxyz因为在4上,1zxy , 221( , )( , )xyzx yzx y221( 1)( 1) 3, 第7页/共20页1010:),(xxyDyxyxxyyxyxyxy10d)1( )1 (120310d3xx 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyyxy10d)1 (10d3xx第8页/共20页 计算 dszyx)(, 其中 为平面5 zy被柱面2522 yx所截得的部分. 例例3. .积分曲面积分曲面 ：yz5 , 解解: :投影区域投影区域 ： 25|

7、),(22yxyxDxy dxdyzzdSyx221dxdy2) 1(01,2dxdy机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共20页dszyx)( 故xyDdxdyyyx)5(2xyDdxdyx)5(2rdrrd5020)cos5(2.2125机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共20页 计算计算 xdS, , 其中其中 是圆柱面是圆柱面 122 yx, , 平面平面2 xz及及0 z所围成的空间立体的表面所围成的空间立体的表面. . 例例4.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共20页 0cos20102dd 解：解： 321 其中其中1 ：0 z, 2 ：2 xz

8、,3 ：122 yx.投影域投影域1D，2D：122 yx 则有则有 11DxdxdyxdS 2211DdxdyxxdS机动 目录 上页 下页 返回 结束 0第12页/共20页讨论讨论3 时时, , 将投影域选在将投影域选在xoz上上. . （注意：注意：21xy 分为左、右两片分为左、右两片, ,且投影且投影域域相同相同） 3xdS 31xdS 32xdS xzDzxdxdzyyx2212xoz机动 目录 上页 下页 返回 结束 xzDdxdzxxx22112, xdS 00. 1120212xdzdxxx第13页/共20页1. 定义:Szyxfd),(iiiiSf),(ni 10lim如，

9、如， 设设,),( , ),(:yxDyxyxzz则Szyxfd),(yxDyxf,(),(yxz)221yxzz yxdd(曲面的其他两种情况类似)机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意：注意：一投、二代、三换一投、二代、三换2对面积的曲面积分的计算是将其化为投影域上的二重积分计算. 第14页/共20页1. P361 题1； 4 解答提示解答提示:P361 题题1. ,),( ,0:yxDyxzyxDyxyxfSzyxfdd),(d),(设则0机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共20页如图所示, 有yxyxyxSzyxDdd1)(21d2222rrrd1d21202320) 136(152 tttd) 1(3122 21rt令o21yxDzyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共20页),0(:2222zazyx在第为1一卦限中的部分, 则有( ).;d4d)(1SxSxA;d4d)(1SxSyB;d4d)(1SxSzC.d4d)(1SzyxSzyxDC( 2000 考研考研 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共20页)(322yxz,22zyx求此曲面壳在平面 z1以的面密度上部分 的质量 M . 解解: 在在