导数复习导数大题练习含详解答案

1、2-x1、已知函数 f(x)=(2x kx + k) e(i)当k为何值时，f (x)无极值；(n)试确定实数k的值，使f(x)的极小值为02、已知函数 f(x) ax ln x (a R).(i) 若a 2，求曲线y f(x)在x 1处切线的斜率；(n)求f(x)的单调区间；(川)设g(x) x2 2x 2 ,若对任意为(0,),均存在X20,1 ,使得f(xj g(X2),求a的取值范围x 13、设函数f x x ae 。(I)求函数f X单调区间；(ii)若 fX0对xR恒成立，求a的取值范围；(III)对任意n的个正整数a1,a2, an记 A0102nOnqOl 1 eA i1,2,

2、 n(1)求证：A(2)求证：An a2an4、已知函数f(x)a 3 X3a 1 2XX2b,其中a,bR.(I)若曲线yf (x)在点P(2, f(2)处的切线方程为y5x 4，求函数f (x)的解析式;(n)当 a0时,讨论函数f (X)的单调性5、已知函数f(x)1 (ax22x 1) e x(aR,e为自然对数的底数).(I)当时，求函数f (x)的极值；(n)若函数f (x)在-1, 1上单调递减，求a的取值范围.6、已知函数 f(X) (x2 3x 3) ex，设 t 2, f ( 2) m, f (t) n.(I)试确定t的取值范围，使得函数f(x)在 2,t上为单调函数；(n

3、)试判断m,n的大小并说明理由；f(x0)22(川)求证：对于任意的t2,总存在X。( 2,t)，满足 一U3(t 1),并确定这样的X。的e 3个数27、已知函数 f (x) ln x ax (a 2)x.(I)若f (x)在X 1处取得极值，求a的值；(n)求函数y f (x)在a2,a上的最大值.2 1 28 已知函数 f(x) (ax x)ln x ax x. (a R).2(I )当a 0时，求曲线y f(x)在(e, f (e)处的切线方程(e 2.718.);(Il )求函数f(x)的单调区间.a x9、已知函数f (x)(1 )e (x 0)，其中e为自然对数的底数x(i)当a

4、 2时，求曲线y f(x)在(1,f (1)处的切线与坐标轴围成的面积；(n)若函数f (x)存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为e5，求a的值.10、已知函数 f (x) ax3- (a 2)x2 6x 3.2(1 )当a 1时，求函数f (x)的极小值；(2) 试讨论曲线y f (x)与x轴的公共点的个数。11、 已知函数f xex, g x ax 1 ( a是不为零的常数且 a R )。(1) 讨论函数F x f x g x的单调性；(2) 当a1时，方程f x g x t在区间(3 ) 是否存在正整数 N ,使f 1 f1 f1L f -n23n1,1上有两个解，求实

5、数t的取值范围；得当nN 且nN 时，不等式2011恒成立，若存在，找出一个满足条件的N ,并证明；若不存在，说明理由。12、设函数 f(x) ax (a 1)ln( x 1)(a1).(1) 求f (x)的单调区间；(2) 当a 0时，设f(x)的最小值为g(a),若g(a) t恒成立，求实数t的取值范围。13、设函数 f(x)=ax3-(a+b)x2+bx+c,其中 a0, b, c R.1(1)若f (?=0,求函数f(x)的单调增区间；(2)求证：当 0w x 1 时，| f (x) max f (0), f (1).(注：max a, b表示 a, b 中的最大值)214、已知函数

6、f(x) p ln x p 1 x 1(i)讨论函数f (x)的单调性；(n)当p 1时，f (x) kx恒成立，求实数k的取值范围；1 11*(川)证明：ln(n 1)1(nN).2 3n15、已知f(x)是二次函数，f (x)是它的导函数，且对任意的x R , f (x) f(x 1) x2恒成立.(I )求f(x)的解析表达式；(n )设t 0，曲线C : y f (x)在点P(t , f (t)处的切线为| , |与坐标轴围成的三角形面积为S(t) 求S(t)的最小值.16、设函数f(x) x2 alnx与g(x) ax 1八(n) f (x) a(x 0). 5分x x当a 0时，由

7、于x 0，故ax 10 , f (x)0所以，f(x)的单调递增区间为(0,).6分 x x的图象分别交直线 x 1于点A, B,且曲线y f (x)在 a点A处的切线与曲线y g(x)在点B处的切线平行。(1) 求函数f(x),g(x)的表达式；(2) 当a 1时，求函数h(x) f (x) g(x)的最小值；1 1 1(3) 当a 时，不等式f (x) m g(x)在x ,上恒成立，求实数 m的取值范围。2 4 2函数与导数解答题x2x1、解： f (x)(4x k)e (2x kx k)( 1)e=2x2(4 k)x 2ke x 2(x k)(x 2)e x 3分2k 4时，f (x)

8、(x 2)2e x 0, f(x)在 R上单调递减，所以，f(x)无极值6分(II)当 k 4时，-令 f(x)2(x-)(x2)e x 0，得捲,x2222k(1)k4 时，一2，有2令f (2)0,得k=8所以，由(1)(2)知,k=0或8时，f (x)有极小值02、解：(I )由已知f (x) 2丄(x0)，92 分f (1) 2 13.x故曲线y f (x)在x 1处切线的斜率为3.4分当a 0时，由f (x)0 ,得x 1a在区间(0, 1) 上,af (x)0,在区间1(1,)上 f (x)0 ,a所以，函数f (x)的单调递增区间为(0,11-)，单调递减区间为(一，).aa(川

9、)由已知，转化为f(X)maxg( X)max .g(X ) max 2由(n)知，当a 0时，f (x)在(0,)上单调递增，值域为 R，故不符合题意(或者举出反例：存在f(e3) ae3 3 2，故不符合题意 .)当a 0时，f (x)在(0,-)上单调递增, a1(-,)上单调递减,a故f (x)的极大值即为最大值,f(1ln( )1 ln( a),a所以21 ln( a),解得a13 e3、解：(1)f (x)1 aex 1当a0 时，f (x)0当a0时，令f (x)若x1 In a则 f (x)若x1 In a 则 f (x)，f (x)在R上是增函数0 得 x 1 Ina0，从而

10、f (x)在区间(,1 In a)上是增函数0,从而f (x)在区间(1 Ina,)上是减函数综上可知：当a 0时,f (x)在区间()上是增函数。当a 0时，在区间(,1 In a)上是增函数，f (x)在区间(1 In a,)上是减函数 4分(II)由(I)可知：当a 0时，f (x) 0不恒成立5分又当a 0时，f (x)在点x 1 In a处取最大值，且 f (1 In a) 1 In a ae lna In a 6分令In a 0得a 1故若f (x)0对x R恒成立，则a的取值范围是1,7分(Ill)证明:(1 )由(II)知：当a 1时恒有f (x) xex 10成立即 x ex

11、1(2)由(1)ai知：Aa2A竺1c Ae ；OnA把以上n个式子相乘得anAn -a1 a2 L ane La1a2 L an故 A n a1a2L a.1224、解：(I) f (x) ax (a1)x 1 ,由导数的几何意义得f (2)由切点P(2, f (2)在直线y5x4上可知2 b 6，解得所以函数f (x)的解析式为f(x) x3 2x2 x 4 . 6分2 1(n) f (x) ax (a 1)x 1 a(x )(x 1), 7 分a11当0 a 1时，一1，函数f(x)在区间(，1)及(一，)上为增函数；aa1在区间(1, 一)上为减函数； 9 分a1当a 1时，一1，函数

12、f (x)在区间(，)上为增函数； 10分a 1 1当a 1时， 1，函数f (x)在区间(，)及(1,)上为增函数；aa1在区间(_, 1)上为减函数. 12 分a命题意图：本题考查了导数的几何意义、利用导数求函数的单调区间的方法以及分类讨论的数学思想。5、解： 当 a 1 时，f (x) (x2 2x 1) e x,x2xxf (x)(2x 2) e (x 2x 1) e (x 1)(x 3) e 2分当x变化时，f (x) , f (x)的变化情况如下表：e x ax2 2ax 2x 3所以，当a 1时，函数f (x)的极小值为f(1) 0，极大值为f(3) 4e 3. 5分 f (x)

13、 (2ax 2) e x (ax2 2x 1) e令 g(x) ax 2 2 2令g(x) x x (t 1),从而问题转化为证明方程g(x) x讨论解的个数9分- g( 2) 6 |(t 1)2|(t 2)(t 4), 321g(t) t(t 1) -(t 1)2-(t 2)(t 1),10 分3 3当 t 4或 2 t 1 时,g( 2) g(t) 0,所以g(x) 0在(2,t)上有解，且只有一解 2(a 1)x 3若a 0 ,则g(x)2x 3，在(1,1)内，g(x) 0,即 f (x)0,函数 f (x)在区间1,1上单调递减7分2a 1若a 0，则g(x) ax2 2(a 1)x

14、 3，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为x1 ,a当且仅当 g(1)0,即 0 a 1 时，在(1,1)内 g(x) 0，f (x)0,函数f (x)在区间1,1上单调递减 9分若 a 0，则 g(x) ax22(a1)x3，其图象是开口向下的抛物线,当且仅当g( 1)g(1)0，即05-a 0 时，在(1,1)内 g(x) 0 , f (x)0 ,3函数f (x)在区间1,1上单调递减 11分5综上所述，函数f(x)在区间1,1上单调递减时，a的取值范围是a 112分36、解：(I)因为 f (x) (x2 3x 3) ex (2x 3) ex x(x 1) ex1 分由 f (x) 0x

15、1 或x 0 ；由 f (x) 00 x 1,所以f (x)在(,0),(1,)上递增，在(0,1)上递减3分要使f (x)在 2,t上为单调函数，则2 t 04分(n)因为f (x)在(,0),(1,)上递增，在(0,1)上递减，二f (x)在x 1处有极小值 e5分又 f( 2)132x 3(t21) =0在(2,t)上有解拼11分e， e从而当t2 时,f ( 2)f (t)，即 mn8分(川)证：f(X)2又f (沧)2 “/、2X。X。,xq(t1),ee3. 2x 2(t1)2,3f(x)在 2,上的最小值为f( 2)7分 当 1 t 4 时,g( 2)0且 g(t) 0,但由于

16、g(0)2(t 1)2 0,3所以g(x) 0在(2,t)上有解，且有两解12分2 当t1时,g(x)xx0x0或x 1,故g(x)0在(2,t)上有且只有一解;当 t4时,g(x)xx60x 2或x 3,所以g(x) 0在(2,4)上也有且只有一解 13分I综上所述，对于任意的t2,总存在X。 ( 2,t),满足f啤 -(t 1)2,e 3且当t 4或2 t 1时，有唯一的X。适合题意；当1 t 4时，有两个x0适合题意.14分2(说明：第(3)题也可以令(x) x2 x,x ( 2,t),然后分情况证明一(t 1)2在其值域内)327、解：(I)： f (x) ln x ax (a 2)x

17、，二函数的定义域为(0,). 1 分f (x)1 2ax (a 2)x21 2ax (a 2)xx(2x 1)(ax 1)xf (x)在x 1处取得极值,即 f (1)(2 1)(a 1)0 ,A a 1 . 5 分1当 a 1 时，在(丄,1)内 f (x)0,在(1,)内 f (x)0,2 x 1是函数y f (x)的极小值点. a 1. 6分2(n)T a a, 0 a 1. 7分11 x (0,) , ax 1 0 , f(x)在(0,)上单调递增；在(一，)上单调递减,22当0 a 1时，f (x)在a2,a单调递增，232- fmax(x) f (a) Ina a a 2a ； 1

18、0 分1a当 2 ,即丄2 1 2a2a2f (x)在(a2,1)单调递增，在2(-,a)单调递减,21fmax(x) f(2)a a 2 aln 21 ln 2 ； 11 分424当2，即连a 1时,2f (x)在a ,a单调递减,fmax(x)a 2时，函数28解：(I )当辽时，函数y2f (x)在a2, a上的最大值是 2Ina a5 a322a . 13分a 0时,f (x) x xln x , f (x)In x ,1 232综上所述，当0 a 时，函数y f (x)在a ,a上的最大值是In a a a 2a ;2yf (x)在a2, a上的最大值是a 1 In 2412分当所以

19、1110 a 时，在(0,1)和(一，)上 f(x)0,在(1,)上 f (x)022a2a11f (x)在(0,1)和(一，)上单调递增，在(1-)上递减；2a2a2a10分所以 f (e) 0 , f (e)所以曲线y f (x)在(e, f (e)处的切线方程为(II )函数f(x)的定义域为(0,)2 1f (x) (ax x) (2ax 1)ln x ax 1(2 ax 1)ln x, x当a 0 时，2ax 10,在(0,1)上 f(x)0,在(1,)上 f (x)0所以f (x)在(0,1)上单调递增，在(1,)上递减;当所以f (x)在(0,)上单调递增;12分当所以a 1 时

20、，在(0,丄)和(1,)上 f(x) 0,在(丄,1)上 f(x)022a2a1 1f (x)在(0,)和(1,)上单调递增，在(,1)上递减2a2a2x ax a x 八2 e , 3 分xx2 2x 2 xe , f (1)9、解：(I) f (x)当a 2时,f (x)14分e, f (1) e,所以曲线yf (x)在(1,f(1)处的切线方程为ex2e,y轴的交点坐标分别为(2,0),1所以，所求面积为一22切线与x轴、(0,2e), 6 分2e 2e.7 分(n)因为函数f (x)存在一个极大值点和一个极小值点,所以，方程x2 ax a 0在(0,)内存在两个不等实根，8分a2 4a

21、 0则9分所以a 4 .10分a 0.设Xi, X2为函数f (x)的极大值点和极小值点,贝 V x1 x2 a , x1x2 a , 11 分因为，f(xJf(X2) e5,所以，x2 2即 X1X2 a(x1 X2) a 內 x2 5 a a ， aX?ax2eX22a a 5 e e ,e5,12分解得，a 5，此时f (x)有两个极值点，所以a 5 .1422(本彳邀满分12分)(I)函数的宦义域为卜臨+取)+工+1Htl由得 由 / (jf) 0 -11 或 x 1,或w 0时，贝y f (x)在0,1上是单调函数，3a3a所以 f (1) w f (x) w f (0)，或 f (

22、0) w f (x) w f (1)，且 f (0) + f (1)=a0.所以 I f (x) |w max f (0), f (1).2 2当 0v a_b v 1,即-av bv 2a，则-bab w f (x) w max f (0), f (1).3a3a(i)当-av b w a 时，贝V 0 v a+b w 翌.2 22 2 2 2 2 2所以 f(1) a b ab = 2a b 2ab = 3a (a b)丄玄？ 0. 3a3a3a4所以 | f (x) |w max f (0), f (1)12分(ii)当 a v bv 2a 时，则(b a)(b 2a) v 0,即 a2

23、+b2 5 ab v 0. 2 2 2222222 ab a b所以b旦 b 亚=型a L 2 0,即卩f(0) 3a3a3a2b ab3a所以 | f (x) |w max f (0), f (1).综上所述：当 0w x0,故f (x)在(0, +s)单调递增；当p 0时，f(x) v 0，故f (x)在(0, +s)单调递减；4分p当 0v p v 1 时，令 f (x)=0,解得 x.2 p 1则当 x 0,.p 时，f (x) 0； xp , 时，f (x) v 0.V 2 p 12 p 1故f (x)在0,p单调递增，在p , 单调递减6分2 p 1V 2 p 1(n)因为x0，所

24、以当1时，f(x) kx恒成立1 In x kxx1 In x令 h(x)，则 k h(X)max , 8分xIn x因为 h(x)2 ，由 h (x)0 得 x 1 ,xx 即 Inx x 110分(6分)从而I与x轴的交点为且当 x (0,1)时，h(x)0 ；当 x (1,)时，h(x)0.所以h(x)在(0,1)上递增，在(1,)上递减所以h(x)max h(1)1，故k 1令xn 1则In n11即In( n1) In n1-12分nnnn所以In2 1,In31,Inn 11?1 122nn相加得2 In3 Inn In111112n2n23n 123n 1In(n 1)而InIn

25、InIn12n12n(川)由(n)知当 k 1时，有f(x) x，当x 1时，f (x)111*所以 ln(n 1)1, (n N ). 1分2 3n215、解：(I )设 f (x) ax bx c ( a0)，贝U f (x)2ax b ,(2 分)f(x 1)a(x21) b(x 1)c2 ax(2a b)x a b c由已知，得2 ax2b (a 1)x(2 ab)xa b c,a 10- 2a b2a，解之，得a1,b0 , c 1 ,a b c b二 f (x)x2 1 . (4 分)(n )由(1)得，P(t , 1t2)，切线 I 的斜率k f (t)2t,切线 l 的方程为 y(1 t2) 2t(x t)，即 y 2tx t21 t21A(- ,0) , l 与 y 轴的交点为 B(0,t21),2t(