2021中考射影定理及其运用

1、相似三角形-射影定理的推广及应用射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中 应用很广泛，假设能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。一般地，假设将定理中的直角三 角形条件非直角化，亦可得到类似的结论，而此结论又可作为证明其它命题的预备定理及联想思路，熟练 地掌握并巧妙地运用，定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路时，“柳暗花明又一村地迎刃而解。一、射影定理射影定理直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。2 =BD?如图1 : R tABC中，假设CD为高，贝U有 C D 2=B

2、D? AD、BC 2=BD ?AB或AC 2 =AD ?AB。二、变式推广1 逆用 如图1:假设AABC中，CD为高，且有DCAD或AC 2 =AD ?AB或BC 2 = BD ?AB，那么有ZDCB = ZA或/ACD = /B，均可等到AABC为直角三角形。2 般化，假设AABC不为直角三角形，当点D满足一定条件时，类似地仍有局部结论成立。后文简称：射影定理变式2如图2 : ABC中，D 为AB上一点，假设ZCDB = ZACB，或/DCB = ZA，那么有CDBsACB，可得BC 2 =BD?AB ;反之，假设 AABC 中，D为AB上一点，且有BC 2 =BD ?AB，那么有CDBsA

3、CB，可得到/CDB=/ACB，或/DCB=/Ao三、应用例1 如图3,：等腰三角形ABC中， AB = AC,高AD、 BE交于点H,求证：4DH ?DA=BC 2分析：易证/BAD = /CAD =90-/C = /HBD，联想到射影定理变式2,可得BD 2 =DH ?DA，又BC=2BD，故有结论成立。证明略例2 如图4:OO中，D为弧AC中点，过点D的弦ED被弦AC分为4和12两局部,求DC。分析：易得到ZDBC = ZABD = ZDCE，满足射影定理变式2 的条件,故有CD 2=DE ?DB，易求得DC=8解略例3 ：如图5, ABC中，AD平分ZBAC,AD的垂直平分线交AB于点

4、E,交AD于点H,交AC于点G,交BC的延长线于点F,求证：DF 2 = CF ?BF。证明：连AF,TFH垂直平分AD,FA=FD, ZFAD = ZFDA,VAD 平分 /BAC,./CAD = /BAD,.ZFAD-ZCAD = ZFDA-ZBAD, /ZB = ZFDA-ZBAD,/FAC = /B，又 /AFC 公共，AF C FAFCsBFA,.=-,BF AF AF2=CF ?BF,.DF 2 =CF ?BF。射影定理练习【选择题】1、直角三角形VABC中，斜边AB=5cm,BC=2cm,D为AC上的一点,DEAB交AB于E，且AD=3.2cm，贝U DE=(A、1.24cmB、

5、1.26cmC、1.28cmD、1.3cm线2、如图1-1，在Rt VABC中，CD是斜别AB上的高，在图中六条线段中，你认为只要知道段的长，就可以求其他线段的长C、3D81-1AC 3bd3、在 RtVABC 中， BAC 90, AD BC 于点 D，假设，贝y()AB 4CD34169A、-B、C、D、43916【填空题】5、VABC 中，A 90，ADBC 于点 D，AD=6，BD=12，贝U CD=，AC=，AB2:ac2 =o6、如图 2-1，在 Rt VABC 中， ACB 90, CD AB , AC=6 , AD=3.6，那么 BC=2-1【解答题】7、 CD 是 VABC 的高，DE C代 DF CB，如图 3-1，求证:VCEFsVCBA精品文档3*1& CAB 90, AD CB , VACE , VABF 是正三角形，求证： DE DF10、如图，在RtABC中，CD是斜边AB上的高，点M在CD上，DH JBM且与AC的延长线交于点 E.求证:(1)MED sQBM ;(2) AE?CM=AC ?CD 11、：如图，等腰 ABC中，AB=AC , AD _LBC于D，过点B做射线BG，交AD、AC于E、F两点,与过点C平行于AB的直线交于点 G。求证