2021-2021版高中数学第三单元导数及其应用3.3.3导数的实际应用教学案新人教B版选修1-1

1、3. 3.3导数的实际应用学习目标丨1.能利用导数解决实际问题 2提高综合运用导数知识解题的能力，培养化归与转化意识.Q知识梳理知识点 生活中的优化问题1 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为2 利用导数解决优化问题的实质是求函数最值.3 .解决优化问题的根本思路11 t进化|:储的评暝*一|用柠数幫阳上述解决优化问题的过程是一个典型的 过程.例1某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场.如图，圆形广场的圆心为 0,半径为100 m并与北京路一边所在直线 I相切于点M点A为上半圆弧上一点，过点 A作I的垂线， 垂足为点B市园林局方案在厶 ABM内进行绿化.设厶

2、ABM勺面积为S(单位：吊)，/ A0N= 0 (单 位：弧度).(1) 将S表示为0的函数；(2) 当绿化面积S最大时，试确定点 A的位置，并求最大面积.反思与感悟 平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面 积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值.跟踪训练1如下图，在二次函数 f(x) = 4xX2的图象与x轴所围成图形中有一个内接矩 形ABCD求这个矩形面积的最大值.命题角度2 立体几何中的最值问题例2请你设计一个包装盒如下图，ABCD1边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影局部所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得

3、ABCD9个点重合于图中的点 P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E, F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设 AE= FB= x cm.(2)假设广告商要求包装盒容积 V最大，那么x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.反思与感悟(1)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的外表积、体积，并在此根底上解决与实际相关的问题.(2)解决此类问题必须熟悉简单几何体的外表积与体积公式，如果图形是由简单几何体组合而成，那么要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程.跟踪训练 2周长为20 cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，那么圆柱体积的最大值为3cm .类型二

4、实际生活中的最值问题命题角度1利润最大问题例3某商场销售某种商品的经验说明，该商品每日的销售量 y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y=卑+ 10( x 6)2,其中3x6, a为常数当销售价格为5X 3元/千克时，每日可售出该商品11千克.(1) 求a的值；(2) 假设该商品的本钱为3元/千克，试确定销售价格 x的值，使商场每日销售该商品所获得的 利润最大.反思与感悟解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的根本等量关系有：(1) 利润=收入本钱.(2) 利润=每件产品的利润X销售件数.跟踪训练3某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的

5、资金用于广告促销.经调查，每年投入广告费t(百万元)，可增加销售额t2+ 5t(百万元)(0 t 3).(1) 假设该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，那么应投入多少广告费， 才能使该公司由此获得的收益最大？(2) 现该公司准备共投入 3百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造132费x百万元，可增加的销售额为 3X + X + 3x(百万元).请设计一个资金分配方案，使该公 司由此获得的收益最大.(收益=销售额投入)命题角度2费用(用料)最省问题例4为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔

6、热层建造本钱为6万元.该建筑物每年k的能源消消耗用 q单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：qx) =(0 x 10),3x十5假设不建隔热层，每年能源消消耗用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与 20年的能源消耗费用之和.1求k的值及fx的表达式； 隔热层修建多厚时，总费用fx到达最小，并求最小值.反思与感悟1用料最省、本钱最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作 答. 利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f X= 0时，如果函数在这点有极大小值，那么不与端点值比拟，也可

7、以知道在这个点取得最大小值.跟踪训练4 现有一批货物由海上从 A地运往B地，轮船的最大航行速度为35海里/时,A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输本钱由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比比例系数为0.6，其余费用为每小时 960元.1把全程运输本钱y元表示为速度x海里/时的函数；2为了使全程运输本钱最小，轮船应以多大速度行驶？当堂训练11 某生产厂家的年利润y单位：万元与年产量x单位：万件的函数关系式为y = -33x + 81x 234，那么使该生产厂家获取最大年利润的年产量为A. 13万件B. 11万件C. 9万件D. 7万件2 .在某城市的开展

8、过程中，交通状况逐渐受到更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y分钟与车辆进入该路段的时刻 t之间的关系可1 3 3 2629近似地用函数表示为 y= 8t 4t + 36t ,那么在这段时间内，通过该路段用时最多的是 A. 6时B . 7时C . 8时D . 9时3 .用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2 ： 1,那么该长方体的最大体积为3333A. 2 m B . 3 m C . 4 m D . 5 m4.要制作一个容积为 4 m3，高为1 m的无盖长方体容器，底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米 10元，那

9、么该容器的最低总造价是 元.5 .某商品每件本钱9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低价格，销售量可以增加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额X(单位：元，ow x 21)的平方成正比已知当商品单价降低 2元时，每星期多卖出 24件.(1) 将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；(2) 如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？规律与方法1 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y= f(x) 求函数的导数f(x)，解方程f(x) = 0. 比拟函数在区间端点和使 f(x) = 0的点的

10、函数值的大小，最大 (小)者为最大(小)值.2 .正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解容许用问题的主要思路.另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域；(2)与实际问题相联系；(3) 必要时注意分类讨论思想的应用.合案精析知识梳理知识点1 优化问题3 .数学建模题型探究例 1 解 BM= An 0 = 100sin 0 ,AB= MQ AGCos 0 = 100+ 100cos 0,0 (0 ,n ),1 1那么 S= 2MB- AB= 2 x 100sin 0 x (100 + 100cos 0 )=5 000(sin 0 + sin 0 cos 0 )

11、 , 0 (0 ,n ).2 S= 5 000(2cos0 + cos 0 - 1)=5 000(2cos0 1)(cos 0 + 1),1 n令S= 0,得cos 0 = 2或cos 0 = 1(舍去)，此时0 =石,2 3当0变化时，S , S的变化情况如下表：0n(0, Rnn(T，n)S+0S/极大值所以当 0 = 时，Sax= 3 750 pj3 m,3此时 AB= 150 m,即点A到北京路一边I的距离为150 m.跟踪训练1 解 设点B的坐标为(x, 0)，且0x2, t f (x) = 4x x2图象的对称轴为 x = 2,点C的坐标为(4 x, 0),2 | BQ = 4 2

12、x, | BA = f (x) = 4x x .矩形面积为 y= (4 2x)(4 x x2)23=16x 12x + 2x ,22y = 16 24x + 6x = 2(3 x 12x+ 8),/ 0x2,. x = 2 当0x0,函数单调递增；2当2 3 3x2时，y 0,函数单调递减，当x= 2 2, 3时，矩形的面积有最大值为? 3例2解(1)由题意知包装盒的底面边长为2x cm，高为 2(30 x)cm,所以包装盒侧面积为 S= 4 2x X 2(30 x)x+ 30 x 2=8x(30 x) w8X(2)=1 800 ,当且仅当x= 30 x，即x= 15时，等号成立，所以假设广告

13、商要求包装盒侧面积S最大，那么x = 15. 包装盒容积为 7= 2x2 .2(30 x)=2 2x3 + 60 2x2(0 x0,得 0x20;令 V 0,得 20x30.所以当x= 20时，包装盒容积 V取得最大值，此时包装盒的底面边长为20 2 cm,高为10 2cm,包装盒的高与底面边长的比值为1 : 2.亠亠 4 000跟踪训练22T n解析 设矩形的长为x cm,那么宽为(10 x)cm (0 x0,20当 x (石,10)时，V(x)0 ,3当V( X)max=4 00027例3解因为当x = 5时，y= 11,所以扌+ 1= 11 ,所以a= 2. 由(1)可知，该商品每日的销

14、售量为2 2y=xr +1( x- 6),所以商场每日销售该商品所获得的利润为2 2f(x) = (x - 3)口 + 1(x-6) 22=2 + 10(x-3)( x 6) 3x6.2从而 f (x) = 10( x-6) + 2( x 3)( x 6)=30( x- 4)( x 6).于是，当x变化时，f(x) , f(x)的变化情况如下表:x(3,4)4(4,6)f(X)+0f(x)/极大值42由上表可得x = 4是函数f (x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点.所以当x= 4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的

15、利润最大.跟踪训练3解(1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(百万元)，那么有f(t)222=(t + 5t) -1 =- t + 4t =- (t 2) + 4(0 t W 3)，当 t = 2 时，f(t)取得最大值 4,即当投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大.设用于技术改造的资金为x(百万元)，那么用于广告促销的资金为(3 x)(百万元)，又设由1 1 此获得的收益是 g(x)(百万元)，贝y g(x) = ( + x + 3x) + (3 x) + 5(3 x) 3 =-33x + 4x+ 3(0 W XW 3), g(x) = x + 4，令 g(x)

16、= 0，解得 x = 2(舍去)或 x= 2.又当0x0 ;当2x3时，g(x)0 ,当x = 2时，g(x)取得最大值，即将 2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大.例4解(1)设隔热层厚度为 x cm ,由题设知，每年能源消消耗用为kax)=3x，又 C(0) = 8,所以 k = 40,40因此Cx)=科.而隔热层建造费用为 C(x) = 6x.所以隔热层建造费用与20年的能源消消耗用之和为40800f(x) = 20C(x) + G(x) = 20X 3x5 + 6x= 3X75 + 6x(0 仝 x 10). f (x) = 6-24003x+ 5令 f

17、 (x) = 0，即2 4003x+ 56,解得x= 5,x=-25(舍去)当 0x5 时，f (x)0，当 5x0,故x = 5为f (x)的极小值点也为最小值点，对应的最小值为 f(5) = 6X 5+ 150_= 70.答 当隔热层修建5 cm厚时，总费用到达最小值为70万元.跟踪训练4解(1)依题意得5002480 000y =(960 + 0.6 x) =+ 300x，且由题意知，函数的定义域为xx(0,35,480 000x+ 300x(0x 35).由知，y=- 48罟+ 300,令 y= 0, 解得x= 40或x=- 40(舍去).因为函数的定义域为(0,35, 所以函数在定义

18、域内没有极值点.又当 0xw 35 时，y 0, y = x + 81 = (9 x) (9 + x),令y= 0,解得X= 9，又当x (0,9)时,y 0,x (9 ,+s)时，y 0,当 t (8,9)时,y 0,故当t = 8时，y取极大值也为最大值. 3. B 设长方体的宽为x(m),18 一 12x那么长为 2x(m)，高为 h=4932 3x(m)(0 x?),故长方体的体积为 V：x) = 2x2( 9 3x)233=9x 6x (0 x2)2从而 V ( x) = 18x 18x = 18x(1 x),令V(x) = 0，解得x = 1或x = 0(舍去).3当 0x0 ;当 1x2时，V(x)0,V