第四节 曲面及其方程

1、v 曲面方程的概念曲面方程的概念v 柱面柱面v 二次曲面二次曲面第四节第四节 曲面及其方程曲面及其方程v 旋转曲面旋转曲面定义定义 0),(zyxFSzyxo如果曲面如果曲面 S 与方程与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系有下述关系:(1) 曲面曲面 S 上任意点的坐标都满足此上任意点的坐标都满足此方程方程, 称曲面称曲面 S为为方程方程 F( x, y, z ) = 0 的图形的图形.(2) 不在曲面不在曲面 S 上的点的坐标都不满足上的点的坐标都不满足上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念例如例如到定点的距离等于定长的到定点的距离等于定

2、长的动点的轨迹动点的轨迹.曲面看作点的几何轨迹曲面看作点的几何轨迹.球面球面:在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中, 曲面上点的坐标曲面上点的坐标x, y, z 应满应满足某个约束条件足某个约束条件方程方程方程方程;则称则称F( x, y, z ) = 0 为为曲面曲面 S 的方程的方程, 球心球心半径半径研究空间曲面有研究空间曲面有两个基本问题两个基本问题：(2)(2)已知一个三元方程，研究曲面形状已知一个三元方程，研究曲面形状(1)(1)已知曲面形状（点的轨迹），求曲面方程已知曲面形状（点的轨迹），求曲面方程上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例1 连接两点连接两点)3 , 2 ,

3、1 (A和和)4 , 1, 2( B的线段的垂直的线段的垂直平分面的方程。平分面的方程。解解根据题意根据题意, ,|BMAM 即即222222)4() 1()2()2()2() 1(zyxzyx07262zyx化简得化简得即所求垂直平分面的方程即所求垂直平分面的方程故所求方程为故所求方程为例例2 求球心为求球心为),(zyxM),(0000zyxM特别地特别地, ,当当球心为坐标球心为坐标原点时原点时, ,球面方程为球面方程为解解 设球面上动点为设球面上动点为RMM0即即依题意依题意半径为半径为 R 的球面方程的球面方程.xyzoM0M222yxRz表示上表示上(下下)球面球面 .Rzzyyx

4、x202020)()()(2202020)()()(Rzzyyxx2222Rzyx上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例3 研究方程研究方程042222yxzyx解解 配方得配方得, )0, 2, 1(0M此方程表示此方程表示:的曲面的曲面. . 表示表示怎样怎样5半径为半径为的球面的球面. .球心为球心为 5)2() 1(222zyx上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 注注 球面方程的特点球面方程的特点(1) 没有没有xy、yz、xz交叉项交叉项(2) 平方项系数相同平方项系数相同例例4 考虑考虑 z3=0表示的曲面表示的曲面解解 z3=0表示过点表示过点)3 , 0 , 0(且平

5、行于且平行于xoy面的平面面的平面定义定义. .一平面曲线一平面曲线二、旋转曲面二、旋转曲面 绕该平面上一条绕该平面上一条定直线定直线旋转旋转一周一周所形成的曲面叫做所形成的曲面叫做旋转曲面旋转曲面. .该定直线称为该定直线称为旋转旋转轴轴. .例如例如 :上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 曲线曲线 C 00),(xzyf2. 旋转曲面方程的建立旋转曲面方程的建立绕绕 o z轴轴上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 旋转一周旋转一周y zoCx得得 M(x,y,z) SMN), 0(11zyzz 11|y 22xy 11(,)0f y z ：S从而得旋转曲面从而得旋转曲面S方程：方程：

6、N点在曲线点在曲线C上上, 满足曲线方程满足曲线方程M,N两点竖坐标相同两点竖坐标相同M,N两点到两点到oz 轴距离相等轴距离相等22,xy(f)0z 坐标面坐标面yoz面上的曲线面上的曲线 C 00),(xzyf即：即：绕绕 oz 轴旋转轴旋转所得旋转曲面所得旋转曲面的方程为：的方程为：上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 22,xy(f)0z 绕绕 oy 轴旋转轴旋转所得旋转曲面所得旋转曲面的方程为：的方程为：( ,f y22)0 xz 本质：绕哪条轴旋转，哪个变量保持不变，另外本质：绕哪条轴旋转，哪个变量保持不变，另外一变量变成与第三变量平方和的正负根号。一变量变成与第三变量平方和的正

7、负根号。坐标面坐标面zox面上的曲线面上的曲线 C( , )00g z xy 绕绕 oz 轴旋转轴旋转所得旋转曲面所得旋转曲面的方程为：的方程为：上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 22)0 xy ( ,g z绕绕 ox 轴旋转轴旋转所得旋转曲面所得旋转曲面的方程为：的方程为：(g22,yz)0 x 坐标面坐标面xoy 面上的曲线面上的曲线 C( , )00h x yz 绕绕 ox 轴旋转轴旋转所得旋转曲面所得旋转曲面的方程为：的方程为：上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 22)0yz ( ,h x绕绕 oy 轴旋转轴旋转所得旋转曲面所得旋转曲面 的方程为：的方程为：(h22,xz )

8、0y xOzy上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 222210 xyabz 绕绕 x 轴一周轴一周.例例5. 将下列各曲线绕指定将下列各曲线绕指定轴旋转一周轴旋转一周, 求生成的旋求生成的旋转曲面的方程转曲面的方程1. 双曲线双曲线22xa得得2221yzb axyoz上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2.上述双曲线上述双曲线绕绕 y 轴旋转一周轴旋转一周. 012222 zbyax 222xza 得得221yb z yox上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 222200zy=abx = 3. 两条相交直线两条相交直线绕绕 z 轴旋转一周轴旋转一周.22za得得当当a = b =

9、 1时时,圆锥面为圆锥面为22.zxy 2220 xyb y22xyaz .oxz上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 02 xazy4. 抛物线抛物线绕绕 z 轴旋转一周轴旋转一周, 得得a = 1时时, 为为22.zxy yxo) 0()(222 rRryRx 圆圆绕绕 y轴轴 旋转所成曲面旋转所成曲面.上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 5.z222()xzR222222222()4()xyzRrRxz 得得22yr上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 注注 当一个方程含有当一个方程含有两个变量的平方和两个变量的平方和的时候，的时候，代表的是一个代表的是一个旋转曲面旋转曲面。例例

10、6 考虑下面方程所表示的曲面是如何形成的？考虑下面方程所表示的曲面是如何形成的？22) 1 (yxz)(3)2(222yxz194)3(222zyx1994)4(222zyx解解22) 1 (yxz可看成是可看成是yoz面的抛物线面的抛物线2yz 绕绕z轴旋转而成的旋转曲面。轴旋转而成的旋转曲面。(2)(4)略略或或2xz xyz三、柱面三、柱面例例7 7 方程方程表示什么表示什么?222Ryx解解222Ryx曲线曲线C平行于平行于 z 轴的动直线所形成的曲面轴的动直线所形成的曲面, 故在空间故在空间, ,222Ryx表示表示圆柱面圆柱面. .oClM1M上页上页 下页下页 返回返回 结束结束

11、 平面解析几何平面解析几何:表示表示 xOy 坐标面上的圆坐标面上的圆.空间解析几何空间解析几何: 所以该曲面可看成沿所以该曲面可看成沿称为称为圆柱面圆柱面.定义定义平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 C 移动的动直线移动的动直线 l的轨迹的轨迹C 叫做叫做准线准线, l 叫做叫做(直直)母线母线.叫做叫做柱面柱面.过过),(1oyxM且平行于且平行于z轴轴的直线的直线l都在此曲面上，都在此曲面上，xzy0母线母线F( x,y )=0z = 0准线准线 (不含不含z)M(x,y,z)N (x, y, 0)S曲面上每一点都满足方程曲面上每一点都满足方程曲面外每一点都不满足方程曲面外每一

12、点都不满足方程表示母线平行于表示母线平行于z 轴的柱面轴的柱面点点N满足方程，故满足方程，故点点M满足方程满足方程 一般地一般地, ,F(x,y)=0上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 母线母线准线准线(不含不含x)F( y, z )=0 x = 0 xzy0F(y,z)=0 表示母线平行于表示母线平行于x轴的柱面轴的柱面上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (不含不含y)F(x, z)=0表示母线表示母线平行于平行于y轴的柱面轴的柱面xyzxyzo 表示表示母线平行于母线平行于 z 轴轴;面上的抛物线面上的抛物线.平行于平行于z 轴的轴的xy2212222byax平行于平行于 z 轴的

13、轴的平面平面0 yx表示母线表示母线该平面上该平面上).表示母线表示母线xyzoo上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 准线为准线为xOy( z 轴在轴在抛物柱面抛物柱面,椭圆柱面椭圆柱面.注注 柱面方程特点：缺少一个变量柱面方程特点：缺少一个变量例例8 考虑下面方程表示的曲面考虑下面方程表示的曲面zxy = 0y12222 bzaxo上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 双曲柱面双曲柱面注注 准线是准线是线，所成柱面就叫做线，所成柱面就叫做柱面柱面5x922 yx1 xy斜率为斜率为1的直线的直线平面解析几何中平面解析几何中空间解析几何中空间解析几何中方方 程程平行于平行于 y 轴的直线

14、轴的直线 平行于平行于 yOz 面的平面面的平面 圆心在圆心在(0,0)半径为半径为 3 的圆的圆以以 z 轴为中心轴的轴为中心轴的圆柱面圆柱面平行于平行于 z 轴的平面轴的平面例例9 指出下列方程的图形指出下列方程的图形:上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 四、二次曲面四、二次曲面三元二次方程三元二次方程 研究二次曲面特性的基本方法研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法截痕法、伸缩法伸缩法 其其基本类型基本类型有有: 锥面、椭球面、双曲面、抛物面、柱面锥面、椭球面、双曲面、抛物面、柱面表示的曲面称为表示的曲面称为二次曲面二次曲面. FzxEyxDxyCzByAx2220JIzHyGx(二次

15、项系数不全为二次项系数不全为 0 )上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 z yox上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1. 1. 椭圆锥面椭圆锥面),(22222为正数bazbyax截痕法截痕法：z0时，时，xy0 过原点过原点zt 时，时，1)()(2222btyatx椭圆椭圆伸缩变形法伸缩变形法：圆锥面圆锥面yaby 2222zayx椭圆锥面椭圆锥面22222zbyax即即ybay(2) 截痕截痕截曲面截曲面: :abcyx zo2 2 椭球面椭球面),(1222222为正数cbaczbyax标准方程标准方程(1)范围：范围：czbyax,椭圆椭圆1)()(212221222222

16、zcyzcxcbca)(11czzz用用上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (3) 当当 ab 时为时为旋转椭球面旋转椭球面;当当abc 时为时为球面球面. .用用y = 截曲面截曲面1y用用x = 截曲面截曲面1xxzy0截痕截痕: :用用z = a截曲面截曲面用用y = b截曲面截曲面用用x = c截曲面截曲面zqypx22222 3 抛物面抛物面(1) 椭圆抛物面椭圆抛物面标准方程标准方程上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 椭圆椭圆抛物线抛物线抛物线抛物线xzy0截痕截痕: :用用z = a截曲面截曲面用用y = b截曲面截曲面用用x = c截曲面截曲面zqypx22222 3

17、抛物面抛物面(1) 椭圆抛物面椭圆抛物面上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 椭圆椭圆抛物线抛物线抛物线抛物线当当p = q 时为绕时为绕 z 轴轴旋转旋转的旋转抛物面的旋转抛物面. .用用z = a截曲面截曲面用用y = b截曲面截曲面用用x = c截曲面截曲面xzy0zqypx 2222截痕截痕: : （马鞍面）（马鞍面）(2)(2)双曲抛物面双曲抛物面 双曲线双曲线抛物线抛物线抛物线抛物线上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 xzy0上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 用用z = a截曲面截曲面用用y = b截曲面截曲面用用x = c截曲面截曲面zqypx 2222截痕截痕: :

18、 （马鞍面）（马鞍面）(2)(2)双曲抛物面双曲抛物面 双曲线双曲线抛物线抛物线抛物线抛物线xzy0上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 用用z = a截曲面截曲面用用y = b截曲面截曲面用用x = c截曲面截曲面zqypx 2222截痕截痕: : （马鞍面）（马鞍面）(2)(2)双曲抛物面双曲抛物面 双曲线双曲线抛物线抛物线抛物线抛物线4 双曲面双曲面(1)(1)单叶双曲面单叶双曲面zxy),(1222222为正数cbaczbyax上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Oxzy双曲抛物面双曲抛物面(马鞍面马鞍面)xyz zxyo(2) 双叶双曲面双叶双曲面1222222czbyax5

19、柱面柱面(1)(1)椭圆柱面椭圆柱面zxy12222byax上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (2) 双曲柱面双曲柱面12222byax(3) 抛物柱面抛物柱面ayx 2内容小结内容小结1. 空间曲面空间曲面三元方程三元方程0),(zyxF 球面球面2202020)()()(Rzzyyxx 旋转曲面旋转曲面如如, 曲线曲线00),(xzyf绕绕 z 轴的旋转曲面轴的旋转曲面:0),(22zyxf 柱面柱面如如,曲面曲面0),(yxF表示母线平行表示母线平行 z 轴的柱面轴的柱面.常用常用: 椭圆柱面椭圆柱面, 双曲柱面双曲柱面, 抛物柱面等抛物柱面等 .上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2. 二次曲面二次曲面三元二次方程三元二次方程 椭球面椭球面1222222czbyax 抛物面抛物面:椭圆抛物面椭圆抛物面双曲抛物面双曲抛物面zbyax2222zbyax2222 双曲面双曲面:单叶双曲面单叶双曲面2222byax22cz1双叶双曲面双叶双曲面2222byax22cz1 椭圆锥面椭圆锥面: 22222zbyax上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 柱面柱面:12222byax12222byaxayx 2作业作业 P58 911 P59 132. P319 (课本课本), 10答案答案上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 在在 xOy