九章算数方田

1、l约分术曰约分术曰：可半者半之，不可半者，副置分：可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也。母子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。（以等数约之。（更相减损术更相减损术）约分法：即先进行观察，如果分数的分子、分母有2的倍数，则可先在分子、分母中同约去2；然后再用分子、分母中较大的减去较小的，所得的差与上一步骤中的减数比较大小，并再从较大的数中减去较小的数，如此重复进行下去，当差与减数相等即出现“等数”时，该等数即为所求分子与分母的最大公约数，只需将分子分母同除以这个数，即可将原来的分数化为最简分数。例1、又有九十一分之四十九，问约分后等于多少？答：十三分之

2、七例2、有三分之二，七分之四，九分之五。问合之得几何？答曰：得一、六十三分之五十。l 合分术曰：合分术曰：母互乘子，并以为实，母相母互乘子，并以为实，母相乘为法，实如法而一。不满法者，以法乘为法，实如法而一。不满法者，以法命之。其母同者，直相从之。命之。其母同者，直相从之。合分法：两分数的分母和分子互乘，取它们的和作为分子，两分母相乘作为分母，分子分母相等时为一。例3、方田:今有九分之八，减其五分之一。问馀几何？ 答曰：四十五分之三十一。 l 减分术曰：减分术曰：母互乘子，以少减多，馀为母互乘子，以少减多，馀为实，母相乘为法，实如法而一。实，母相乘为法，实如法而一。减分法：两分数分子与分母互乘

3、，用较大者减去较小者的差作为分子，两分母相乘之积作为分母，分子等于分母时，值为一。l 平分术曰平分术曰：母互乘子，副并为平实，：母互乘子，副并为平实，母相乘为法。以列数乘未并者各自为母相乘为法。以列数乘未并者各自为列实。亦以列数乘法，以平实减列实，列实。亦以列数乘法，以平实减列实，馀，约之为所减。并所减以益于少，馀，约之为所减。并所减以益于少，以法命平实，各得其平。以法命平实，各得其平。例4、方田:又有三人，三分人之一，分六钱三分钱之一，四分钱之三。问人得几何？ 答曰：人得二钱、八分钱之一。 l经分术曰经分术曰：以人数为法，钱数为实，实如：以人数为法，钱数为实，实如法而一。有分者通之，重有分者

4、同而通之。法而一。有分者通之，重有分者同而通之。 经分法：法与实皆为分数的除法，先将法、实皆化为假分数，然后以法的分母乘实的分子为实，似实的分母乘法的分子为法，相除即为所求。 例5、方田:今有田广七分步之四，从五分步之三。问为田几何？ 答曰：三十五分步之十二。 l 乘分术曰：母相乘为法，子相乘为实，实如法而一。 例6、方田:今有田广一里，从一里。问为田几何？ 答曰：三顷七十五亩。l方田术曰方田术曰：广从步数相乘得积步。以亩法二：广从步数相乘得积步。以亩法二百四十步除之，即亩数。百亩为一顷。百四十步除之，即亩数。百亩为一顷。 l里田术曰里田术曰：广从里数相乘得积里。以三百七：广从里数相乘得积里。

5、以三百七十五乘之，即亩数。十五乘之，即亩数。 一顷一顷=100亩亩 一积里一积里=375亩亩 一亩一亩=240积步积步例7、今有圭田广十二步，正从二十一步。问为田几何？ 答曰：一百二十六步。 l 圭田术曰：半广以乘正从。圭：就是等腰三角形的田地广：三角形的底边长正从：三角形底边长的高 例8、邪田，一头广三十步，一头广四十二步，正从六十四步。问为田几何？ 答曰：九亩一百四十四步。 l 邪田术曰：并两邪而半之，以乘正从若广。又可半正从若广，以乘并，亩法而一。 邪田：直角梯形，邪字即是斜字，是针对正来说的，斜田是与直田相对的例9、今有箕田，舌广二十步，踵广五步，正从三十步。问为田几何？ 答曰：一亩一

6、百三十五步。 l 箕田箕田术曰术曰：并踵舌而半之，以乘正从。亩法而一。箕田：等腰梯形的田地刘徽注:中分箕田则为两邪田，故其术相似。又可并踵、舌，半正从，以乘之。例10、今有圆田，周三十步，径十步。问为田几何？ 答曰：七十五步。 l圆田圆田术曰术曰：半周半径相乘得积步。半周半径相乘得积步。 又术曰：周径相乘，四而一。又术曰：周径相乘，四而一。 又术曰：径自相乘，三之，四而一。又术曰：径自相乘，三之，四而一。 又术曰：周自相乘，十二而一。又术曰：周自相乘，十二而一。 例11、今有弧田，弦三十步，矢十五步。问为田几何？ 答曰：一亩九十七步半。 l 弧田术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一。 弧田：

7、弓形的田地弧田面积=1/2（弦失+失失）例12、今有环田，中周九十二步，外周一百二十二步，径五步。问为田几何？ 答曰：二亩五十五步。 l环田环田术曰术曰：并中外周而半之，：并中外周而半之，以径乘之为积步。以径乘之为积步。例13、今有宛田，下周三十步，径十六步。问为田几何？ 答曰：一百二十步。 l宛田宛田术曰术曰：以径乘周，四而一。：以径乘周，四而一。宛田：扇形田。本应为球冠形，刘徽注：此术不验 。所以我们当做扇形来计算。 +刘徽注：按半周为从，半径为广，故广从相乘为积步也。假令圆径二尺，圆中容六觚之一面，与圆径之半，其数均等。合径率一而外周率三也 +把圆田算法看成半周为长，半径为宽的长方形，以

8、长边x宽边得到长方形的面积，然后刘徽再加以证明。后一句说明，圆内接正六边形的一边与圆半径等长，而圆直径与圆内接正六边形的周长之比等于1:3+刘徽注：又按为图，以六觚之一面乘一弧半径，三之，得十二觚之幂。若又割之，次以十二觚之一面乘一弧之半径，六之，则得二十四觚之幂。割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。 +以园内接正六边形一边x半径，再x3，得到园内接正12边行。再以内接正12边形的一边x半径，再x6得到内接正24边形的面积。照这样分割下去，分割的次数越多，分割的正多边形的边长越短，多边形与圆的面积之差越，一直到不可再分，其面积就没有区别了。+公式：+圆内接12边

9、形面积=6x（1/2）x正六边形的一边x圆半径=3ar+圆内接24边形面积=12x（1/2）x正十二边形的一边x圆半径=6ar+刘徽注：觚面之外，又有余径。以面乘余径，则幂出觚表。若夫觚之细者，与圆合体，则表无余径。表无余径，则幂不外出矣。以一面乘半径，觚而裁之，每辄自倍。故以半周乘半径而为圆幂。+在正n边形各边之外，尚有余径；而余径是圆半径与正n边形边心距之差；经过多次分割，余径会越来越短，最后则不存在余径。正多边形之外没有余径，所计算出的面积则不大于圆面积，即幂不外出矣，以正多边形的一边乘以半径，并按此法计算面积，可以化正多边形为长方形，当分割次数增多而每每成倍增长时，则证明了“半周半径为

10、积步”+刘徽注：此一周、径，谓至然之数，非周三径一之率也。周三者，从其六觚之环耳。以推圆规多少之觉，乃弓之与弦也。然世传此法，莫肯精核；学者踵古，习其谬失。不有明据，辩之斯难。凡物类形象，不圆则方。方圆之率，诚著于近，则虽远可知也。由此言之，其用博矣。 +刘徽认为，按照上述方法计算出来的圆周长与圆直径之比，是较精密的数值，并不是周三径一的比率（=3）。古人所谓的实际上是圆内接正六边形计算出来的。若按此推算出来的圆周的大小之数，实乃弓弦与弓背的关系，两者是不能相结合的。然而这时从古传下来的，没有人仔细推敲过。而学者又迷信古人之说，于是便以讹传讹。如果没有确凿的证据，则难以明辨。 所有物体的形状非

11、，非圆即方。如研究方与圆的各种关系，都是临近身边的显而易见的事物，以由此及彼、由近及远的观点来看，即使是远处的事物也可知一二。由此言之起作用是很大的。+33、今有宛田，下周三十步，徑十六步。問為田幾何？+ 答曰：一百二十步。+解读：+现有一侧面圆形田，下半周长为三十步，半径为十六步。问此田面积是？+答：一百二十步+数学表达式： S = 1/4 * l * r = 1/4 * 30 * 16 = 120(积步)+34、又有宛田，下周九十九步，徑五十一步。問為田幾何？+ 答曰：五畝六十二步、四分步之一。+ 術曰：以徑乘周，四而一。+解读：+又有一侧面圆形田，下周长九十九步，半径为五十一步。问此块田

12、的面积是？+答：五亩六十二又四分之一步。+术语：用半径乘以周长，取其四分之一。+数学表达式： S = 1/4 * l * r = 1/4 * 99 * 51 = 1262.25 (积步)+宛田：扇形田。本应为球冠形，刘徽注：此术不验 。所以我们当做扇形来计算。+由于宛田的径是一圆弧，而圆锥的径是一折线，按照九的算法一定会“失之于少”，只能算出大概数值，不能算出比较确切之数，隐刺刘徽乃称“此术不验”+35、今有弧田，弦三十步，矢十五步。問為田幾何？+答曰：一畝九十七步半。+解读：+现有一弓形田，弦长为三十步，矢长为十五步。问此田的面积是？+答：一亩九十七步半。+数学表达式： S = 1/2 *

13、(l *d + d*d) = 1/2 * (30*15 + 15*15) = 337.5，即一亩九十七步半。+36、又有弧田，弦七十八步、二分步之一，矢十三步、九分步之七。問為田幾何？+答曰：二畝一百五十五步、八十一分步之五十六。+術曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一。+解读：+又有一弓形田，炫长七十八又二分之一步，矢长十三又九分之七步。问此田的面积是？+答：二亩一百五十五又八十一分之五十六步。+计算方法：用弦长乘以矢，矢又自乘，取两者和的一半。+小弦=(大弦/2)+大失=b=（b/2）+h+小失=半径-（半径）-（小弦/2）=h=r-r-(b/2)+照这样分割下去，将所得三角形面积依次相加

14、即得+S=1/2xbh+bh+2bh+4bh+8bh+.+至此，刘徽注称，“割之又割，使至极细。但举弦、矢相乘之数，则必近密率矣。”这就是说，分割到极细，将全部三角形面积加起来，则逼近弧田面积的精密之值。但是，在实际计算中，种种算法过于繁琐，如果根据精度的要求，仅仅推求田地的面积而只要大约数的话，则九弧田的计算方法比较简便。于是刘徽注：然于算数差繁，必欲有所寻究也。若但度田，取其大数，旧术为约耳。 +37、今有環田，中周九十二步，外周一百二十二步，徑五步。問為田幾何？+答曰：二畝五十五步。+解读：+现有一环形田，中周长为九十二步，外周长为一百二十二步，径长五步。问此田面积是？+答：二亩五十五步

15、。+数学表达式： S = 1/2 * (l内 + l外) * d = 1/2 * (92 * 122) * 5 = 535(积步)，即535/240 = 2亩55步。+38、又有環田，中周六十二步、四分步之三，外周一百一十三步、二分步之一，徑十二步、+ 三分步之二。問為田幾何？+答曰：四畝一百五十六步、四分步之一。+術曰：并中外周而半之，以徑乘之為積步。+密率術曰：置中外周步數，分母、子各居其下。母互乘子，通全步，內分子。以中周+ 減外周，餘半之，以益中周。徑亦通分內子，以乘周為實。分母相乘為法，除之為積步，餘積步之分。以畝法除之，即畝數也。+ 解读：+又有一环形田，中周长为六十二又四分之三步，外周长为一百一十三又二分之一步，径长为十二又三分之二步。问此田面积是？+答：四亩一百五十六又四分之一步。+计算方法：中外周长