几个空间向量公式就在这里了.docx

1、空间向量知识点空间向量的有关概念和公式概念空间向量与平面向量的概念与性质相似，只是由二维平面拓展到三维空间如果一个向量所在直线垂直于一个平面，则该向量是这个平面的一个法向量。坐 标 uuurruuurr表示OAa ( x1 , y1, z1 ) ， OBb ( x2, y2 , z2 ) ,uuur( x2 x1 , y2y1 , z2uuuruuurABz1 ) ABBA运算定 比分 点公式模平行垂直夹角rrrr则 a b ( x1x2 , y1y2 , z1z2 ) ， ab ( x1x2 , y1y2 , z1z2 ) ，rr rrrr ra(x1,y1,z1 )(R) ， a b| a

2、 |b | cosa,bx1 x2y1 y2z1z2 ，设点 P 分有向线段uuuruuur所成的比为 ，即 PP PP ，12xx1x2 ， yy1y2 ， zz1z2 （R且 1）111中点公式：xx12x2 ， yy1y2， zz1z222三角形重心公式：xx1x2x3 ， yy1y2y3 ， zz1z2 z3333uuurA( x1, y1, z1 ) ， B( x2 , y2 , z2 ) ，则 AB ( x2x1, y2y1, z2 z1 )uuurx2 )2y2 ) 2z2 )2| AB|=(x1( y1(z1rrx2y 2rr 2rra = (x, y, z) ； |a | =

3、z2 ； | a |2= a ; | a |= arrab , ab , ab (R) ，a / b112233（或 x1= y1=z1）x2y2z2rrx x yyrr rra b22z z 0 （ a 0, b 0 ）1133r ura bx1x1y2 y2z3 z3cos = rr =| a |b |x12y12z12x22y22z2 2 建立空间直角坐标系常用方法：1、底面是正方形，常以底面两条邻边为 x 轴， y 轴；2、底面是菱形， 常以底面两条对角线为x 轴， y 轴；3、底面是等腰三角形，常以底边及底边上的高为x 轴， y 轴；4、底面为平行四边形，常以一条边为x 轴，并作一条

4、与这一条边垂直的直线作为y轴。空间向量的应用（ 1）方法分类1、求平面的法向量若 AB (x1, y1 , z1 ) ， AC ( x2 , y2 , z2 ) ， AC AB A，AB, AC, 设n( x, y, z) 是平面的法向量，则nAB0xx1yy1zz10nAC0xx2yy2zz20（取 xx0 ，得到其中的一组解：n( x0 , y0 , z0 )而 x0 , y0 , z0 常取简单整数）2、证明线面平行设 n 是平面的法向量，AB，则：AB |AB n0图形nBACnAB3、证明面面垂直设 n1 , n2 分别是平面,的法向量 , 则：n1 n204、求两条异面直线间的距离

5、先求两条异面直线的一个公共法向量，再求两条异面直线上两点的连结线段在公共法向量上的射影长设a 、b 是异面直n1nn2线， n 是 a 、 b 的公共法向量，点 Ea, F b ，则异面直EFn线 a 、 b 之间的距离 dn5、求点到平面的距离设P为平面外一点，点 A 为平面内的任一点，平面的 法 向 量 为 n ， 过 点 P 作 平 面的垂线 PO，记OPA，则点 P到平面的距离：d POPA cosPAn PAn PAn PAnn PA因此，点 P到平面的距离：dn空间向量的应用（ 2）PEaObFPn OA方法图形6、求直线和直线所成的角若直线 AB, CD 所成的角是，coscos

6、AB, CDAB CDABCD7、求直线和平面所成的角已知 PA 为平面的一条斜线，n 为平面的一个法向量，过 P 作平面的垂线 PO ，连结 OA ，则PAO 为斜线 PA和平面所成的角，记为， 易 得sincosOP, APcosn, APnPAnPA8、已知两平面的法向量, 求二面角的大小在二面角中l， n1 和 n2分别为平面和 的法向量，若二面角l的大小为，则：DCABn POAn1n2n1coscosn1 , n2n1 n2n1n2(依据两平面法向量的方向或实际图形，来确定是锐角或是钝角 )8、已知二面角棱的两垂线, 求二面角的大小在二面角l内， AB, AB l, CD，CD l

7、 ,设为二面角l的大小，则：coscosAB, CDAB CDABCD例题：DAC B1、如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D 1 中， E 是 DC 的中点，取如图所示的空间直角坐标系（ 1）写出 A、B1、 E、D1 的坐标；（ 2）求 AB1 与 D 1E 所成的角的余弦值解： (1)A(2, 2, 0)，B1(2, 0, 2)，E(0, 1,0)， D1(0, 2, 2)(2) (0, (0,1, 2)| 25 ，AB1- 2, 2)， ED1| AB12 ，| ED1 |02 42,AB ED11 cosAB 1 ED1210 AB1 与 ED1 所成的角 2AB1

8、 ，ED12 510|AB1 | |ED1 |的余弦值为10102、在直三棱柱 ABC A B C 中，已知 CA平面 ABBA ，AB AA1.(1) 求证： A B平1111111面 AB 1C； (2)若 AC 2，求点 A 到平面 BB 1C1C 的距离； (3)若二面角 B B1C A 为 600，求 AC 的长.ABCA1 B1C1是正三棱柱（ 1）证：CA平面 ABBA中点1 1AB=AA11CC1A1 BACAA1四边形 ABBA 是正方形A BAB1111AC IAB1ABB1A 1B 平面 AB 1C（ 2）解：平面 ABC 平面 BB 1C1C，点 A 到平面 BB 1C1C 的距离即为 A 到 BC 的距离，作 ADBC，BC 5 ，A 到平面 BB1 1ABgAC 2 25C C的距离 ADBC55（ 3）解：（空间向量法）以A 为坐标原点，建立如图空间直角坐标系A-BA 1C，则 B （ 1，ur0， 0）， B1（ 1， 1，0）， C（ 0， 0， c），平面AB 1C 法向量 n1 （ 1， 1，0），平面BB 1Cuuruuuruuury0法向量 n2 （ x， y， z）， BB1 =（ 0， 1， 0 ）