通信系统原理第九章信道编码

1、41第九章 信道编码知识点基本技术：在了解波形信道特征和仙农信道容量公式基本概念基础上，主要介绍波形编码和分组码、循环码以及卷积码等的基本编解码方法及评价。1. 知识点及层次l 波形编码主要认识基于正交的哈维码的特性。l 基于汉明距离的差错控制定理。（掌握）l 线性分组码(n，h)码的结构、编码方法、解码、检纠错计算。（掌握）l 循环码的构成特征及编码方法（掌握），以及CRC、R-S、BCH码的特征（了解）。l 卷积码的基本特征（熟悉概念），TCM（一般认识）。2. 为便于自学并透彻理解信道编码原理，下面对分组码、循环码及卷积码给与更为详尽的分析。9.1 波形编码通过第6、7两章，我们以充分认

2、识到正交信号设计是提高传输可靠性和最佳系统设计的重要方面。实际通信系统多半属于利用“波形信道”模型加性高斯噪声信道、限带且功率受限的信道。信道信息方认识各种信号波形，上面四章均如此。9.1.1 波形编码这里所指的波形编码不是一般PCM编码，主要是基于正交的“哈维码”它属于后面介绍的分组码的范畴。1. 基与相关检测的正交编码l 理论依据：码字i，j间的相关系数。l 正交（不相关）定义：=0。2. 二元正交码模式（沃尔代哈维码）l 1、0两个简单数据的正交码为 9-1l 4元数据的正交码为 9-2l M元，多元数据正交码 9-3l 特性： 或 9-4l 相关检测误差概率 9-53. 双正交码l （

3、只用式（8-3）右半部分） 9-6l 最简单的双正交码： 即00，01，11，10。 9-7（QPSK、QAM利用了这种双正交特性有优良性能）l 特性： （PN码有类似特性） 9-84. 截短正交码l 中去掉首项全0，如式（8-2）去掉左边4个“0”。l 特性： （N码长） 9-95. 结论l 正交码决定于相关系数。l 正交码一般要付出冗余度为代价。l 这里正交码多属于下面将介绍的“线性分组码”。l 鉴于语音信号特点及人耳智能，PCM 语音无须正交码。9.1.2 差错控制概念本部分主要基于二元对称或不对称、无记忆信源与无记忆信道特征。现举例说明。例9-1发端收端图2-7 例2-3信道模型 二进

4、制无记忆不对称信道，如图2-7所示，传输0，1编码序列，并分别以和代表发送0及1码，以和代表接收0及1码。两个正确的转移概率分别为：，；两个错误的转移概率分别为：，且先验概率相等，即。（1） 试计算B端收到0码及1码的概率及；（2） 当分别收到0或1码后，判断原来发送的是什么码的概率，即求，及。解（1）利用全概率公式来计算收到0及1码的概率。它们分别是和（3） 由上述后验公式可分别求出4个后验概率。它们分别为1. 错误格式El n长码字的可能差错位数：种l 如：C=1011（正确）E=0010（错1位） 9-10 （错码）。l n长码随机差错总概率： （n中单个码错误概率） 9-11式中： 9

5、-12l 在信号传输中，我们若只考虑高斯白噪声加性干扰（AWGN）,别称高斯信道。由式（9-11），错1位概率最大；错2位概率减少近1个量级。所以，下面介绍纠错码，重点是纠1或2位，符合一般应用要求。例9-2 兹有一个码长为4bit的二元码字序列。以的速率传输，若已知单个码元差错概率为，试计算（1） 每个码字的差错率是多少？（2） 在本题条件下，平均多少时间发生一个差错码字？（3） 如果在码字中加上一位校验位，传输码字的速率是多少（码字/秒）？（4） 在（3）条件下，发生二个差错码字的概率是多少？发生该2位差错的平均时间间隔是多少？解 （1）由于4个码元构成一个码字，所以造成错字的情况应包括发

6、生1个、2个、3个及4个差错概率之和，即 由上面计算看出，错1位码的概率最大，而其它几种错误概率与之相比可以忽略不计。 （2）可解得这一结果表明，对于一个无纠错能力的码字，在本题条件下，平均每发生一个错字。（3）为使该码字增加抗干扰能力，而增加1位奇偶监督位。这样每个码字变成了5个码元，实际信息传输速率下降为 （4）若因增加了一位监督元，信息位差错的可能被该监督元所分担一些，所以此时发生2位差错的概率一定较（1）中第二项计算值为小，即为 需要明确，在上述情况下，可以检出1位错，通过重发可以纠错，所以这里不存在1位错。但2位差错将仍无法检出，从而也不能纠正。此时发生一个差错码字（即近似为发生2位

7、差错）的时间，在不考虑发生1位错而需重发，因此导致传输速率降低的实际情况时，则仍按（3）的结果即计算，则 这与（2）结果相比，说明了付出一位监督元代价后，虽然码率降低了，但由于消除了1位差错，错码率因而由错1个码字，变为15天错一个。2. 信道编码定理l 带宽与功率受限的高斯信道容量仙农公式： 9-13l 仙农公式是信道编码定理和差错控制定理的理论依据。l 编码定理一个具有确定（每秒）信道容量的高斯信道，对于任何小于的信息传输，总存在一种码长为n，码率为的分组码，其接收解码的误差概率的上限为 9-14式中误差指数。图9-3位误差曲线 图9-3 不同信道容量时误差与速率关系 3. 汉明距离l 码

8、长为n的分组码，汉明距离等于码字集合中所有两码字对位模2和的重量，即 9-15l 当码字集合中含有全0的码字，则d等于重量（1码个数）最小的数目是差错控制能力的唯一参量。 4. 差错控制定理 码率为的（n，k）分组码，差错控制能力为l 检出e位错： 9-16l 纠正t位错： 9-17l 纠t位同时可检e位： 9-18 9.2 线性分组码9.2.1 构思特点 1. 构思 为达到按“定理”规则所指定的差错控制能力，在待发送源码k位码字之后，通过k位信码的线性组合而提供位冗余，则形成包括k位信码与位冗余（称为监督元或校验元）的码率为的（n，k）线性分组码。 2. 最简单的（n，k）码l 奇、偶校验码

9、l （n，1）重复码9.2.2 （n，k）码编制过程举例例9-3 试编制（n，k）=（5，2）分组码。解：1. 设置监督方程组l 由（n，k）=（5，2），冗余位为r=3，k=2。码集合为：，信码组，监督位。l 需设置3个各由组成的线性独立方程 或 9-192. 一致监督矩阵H式（9-19）系数矩阵为： 9-203. 生成矩阵G可由H直接得到l 9-21l 9-224.（n，k）码l 码字 C=（信码组） 9-23l 本例：l （5，2）码共个码字：00000，01011，10101，11110。5. 差错控制能力为： （可自动纠1位）。6. 系统码定义l （n，k）码中最高位开始为k位信息码

10、，而监督元位在其后部。l 符合称为标准矩阵形式。9.2.3 解码伴随式与纠错 1. 传输差错l （式9-10）l 接收校验： （码字无错） 9-24 9-25 2. 伴随式定义： 9-26l 例：由上述（5，2）码，如C=10101，错1位为。 结果是式（8-20）H矩阵中第4列表明中第4位错，可纠位。所以，C=10101。 例9-4 试编（n，k）=（6，3）码，并指出其差错控制能力。若有两个码组为=111100及=001011，问是否属于（6，3）码，能否纠错。 解： （1） 或 ， （2） （3） （4） （6，3）码字：G矩阵中已有3个，尚有4个需计算：000000，001110，01

11、0011，011101，100101，101011，110110，111000。（可纠1位码）。 （5）将码组=111100及=001011代入式中，得 （H中的第4列）应为：111000。 （H中的第1列） 纠为：101011。 （6）讨论：若错误超出本例t=1的纠错能力，如错2位：l 设 ，H中无此（111）列，可通过ARQ重发纠错。l 若码字001110错为（错2位），则为H中第6列，纠为，纠而仍错，误认为是码字101011的末位错。l 在设个联立方程组时尽量利用k位信息码字多位的线性组合。且各方程原则如： 则 包括了3对重复列，使纠错的H矩阵必须由非全0及非重复列构成。9.3 汉明对（

12、n，h）的贡献美国著名数学家R.W.Hamming对于信息论及编码技术做出了卓越的贡献，1980年出版的“编码与信息论”等专著，以他的名字命名“汉明距离”、“汉明界”、“汉明码”等，均为差错控制码的非常重要的组成部分。9.3.1 汉明界当要求可纠t位错，纠n与k的关系，汉明给出了“线性码最大码距下界”： 9-27或 9-28 例如：当欲使（即），可得 9-29即 ，若，。 例9-5 由汉明界公式，试给出 （1）需纠位错（即），给出n与k的关系。 （2）设、 ，求k？ （3）选，要求，求n？ 解： （1）当， ，或 。 （2）设 ，或 。则，只能取。l 特别说明：（n，k）码，要求纠1位错时，即

13、 ，。却不可以为 ，即不一定等于监督元数。但有些（n，k）码，如（7，3）、（7，4）可纠1位错，监督元数r与相等是“巧合”式（9-27）的对数值为整数。 （3）选 ，即，。9.3.2 汉明码、完备码 1. 汉明码纠t位错时具有最小值的（n，k）码 如（7，4）码是汉明码， ；（7，3）码 ，不是汉明码。 2. 汉明码定义是（n，k）码可纠t位的高效码：l ，码长 l 信息位 9-30l 如（7，4）码：，。3. 完备码（exhaust code）由式（9-27），当等式成立时为完备（n，k）码l 9-31l 如（7，4）码：。l 汉明码是完备码。例9-6 编制（7，4）汉明码，给出全过程。解

14、：（1）构成H矩阵，由，P矩阵可随便提供4列3行非全0列，则即除后3列构成单位矩阵外，其余4列顺序随意，不影响差错控制能力。 （2） （3）码字个非全0码字，G矩阵中已有4个，在计算11个。l 技巧：先把11个位信码按自然码写出，只计算各自后3位，如表9-1所示信息位监督位信息位监督位0000000100010100010111001110001011010100110011101101100001001111100010010110011010010110001111010001110101111111 表9-1 （7，4）汉明码9.3.3 汉明码的扩展与扩展码 1. 扩展汉明码（汉明增余码

15、）l （7，4）汉明码码字中至少一个码字为（按例9-6，有7个码字）。加一位监督位则，于是，相应的H矩阵变为 9-32（在（7，4）码H中顶部或底部加1列“1”，右边加1列“0”。）或 9-33由构成的码，即码称为扩展汉明码。，。 2. 一般（n，k）码的扩展码 如（5，2）扩展过程，由例9-3 及 ，则 由（5，2）码变为（5，2）扩展码：（6，2）码。 3. 对偶码（Dual）l 分组码（n，k）的对偶码为（n，）=(n，r)。相应的H与G进行变换：， 。如（7，4）码与（7，3）码，（5，2）码与（5，3）码，（7，1）码与（7，6）码等均为对称码，（6，3）码的对偶码为其本身。例9-7

16、 （4，1）码与（4，3）码为对偶码。这里（4，1）码为重复码，（4，3）码为奇偶校验码。试通过求其H、G并产生码字，以证明两种简单码型均属于（n，k）线性分组码。证：（1）（4，1）重复码，l 应提供个监督方程，也是重复的：l H矩阵为：l G为矩阵l （4，1）码字：0000，1111。l ，可纠1位，同时可检2位错。（2）（4，3）校验码，l 监督方程1个：l H为矩阵：l G为矩阵：l （4，3）码码字：非全0码个，即0000，0011，0101，0110，1001，1010，1100，1111。看出这完全是偶校验码形式：在001，010111各信码组（）后面按“凑足”偶数个1来决定第

17、4位，是0还是1。l 可检1位错（原3位码组之间至少1位不同，又加1个偶校验位变为）。结论：由以上分析，（4，1）与（4，3）码完全符合（n，k）分组码（增余码）一切规则。因此，两者均为简单的分组码，只是因为简单，无须使用H、G等复杂手续。9.4（n，k）循环码循环码是（n，k）线性码的一个重要子类，电路实现编解码容易，它有R-S、CRC、BCH很多高效子类码，实际应用最多。9.4.1 预备知识1. 多项式表示编码序列l （n，k）码的1个码字，以多项式表示为了表示一串2元码1，0序列的每个码元位置是0还是1。l 表示法：随便指定一个字母作“基序”，其幂次表示某码元排序中的序位；由其幂权值表示

18、是0还是1。（n，k）码表示为 9-34如： 2. 多项式运算规则l 模2和=模2减。如； 9-35又如， 。l 乘法： 9-36l 除法： 9-37通式表示： 9-38演算： l 同余式：被除式F(x)与余式R(x)称为在模N(x)运算时的同余式，表示为 模N(x) 9-39如： 模 模 l 特例：则： 模 或 模 9-40 3. 循环移位特征 如：C=（1110100） 左移一位： （模）再移一位： （模）9.4.2 （n，k）循环码的特点 1. 循环码特征（定义）l 符合（n，k）线性分组码特点在码内（码字集合）中的任意2个码字之和为该码中的一个码字。l 在（n，k）码中的任何一个码字连

19、续位移i位（i=1，2），就可得到另一个非全0码字。 2. 能符合定义的必要条件l 若某（n，k）码，要看它是否是循环码。第一步是码长n为幂的多项式分解出至少1个因式的最高幂次为。如（n，k）=（7，k）码系列： 9-41或 9-42例如：（7，3）码，。 由式（9-41）、（9-42）中共6种，有两种组合因子式的幂次为，即 9-43 9-44l 能提供出含有最高幂为的子因式g(x)是构成（n，k）循环码的先决条件。9.4.3 由生成多项式构成循环码l 作为一个例子，对于如（n，k）=（7，3）码，在通过上述式（9-43）、（9-44）提供的或。本身就是由信码中高位开始含“0”最多的001对应

20、的循环码，即为或。l 由定义及移位循环可得全部7个非全0码字： i=1，26 9-45或 9-46例9-8 现利用通过移位6次而产生（7，3）循环码。为方便计算令。在移位过程中，必须注意按式（9-39）进行模运算，以“同余”式表示。如：当移位结果为 （模），其中出现，以模运算后，以其同余式1表示： （同余） 模 需要说明的是，事实上（7，3）码的非全0码字，每码字均为。由g(x)移位6次可得全部非0码字；而表9-1的（7，4）码，及各7个码字，的1个码字，同码字可互循环。而由任一码字不可能通过移1，215得到全部码字。表9-2 （7，3）循环码移位（7，3）码码多项式（模）00 0 11 1

21、0 110 1 11 0 1 021 1 10 1 0 031 1 01 0 0 141 0 10 0 1 150 1 00 1 1 161 0 01 1 1 09.4.4 循环码编码步骤 1. 本书均指系统码循环码信码多项式放在最高（左）位开始前k位，其后位为监督位。因此信码多项式l 应首先提升位，变为l 然后以生成多项式g(x)去除，得： （为余式，为整式商） 9-47l 于是可得循环码 9-48l 式（8-48）的含义为什么 ？由于码字均能为整除，即 模 而 模，其中。 2. 循环码编码电路 图9-4所示以做除法运算，可产生全部（7，3）循环码。图示双掷开关s在现在的位置下，可输入要编码

22、的信码共k位。于是电路连续输出k位信码，同时经模2加单元及上端闭合开关反馈到前向支路。此后s开关立即反向扳动，待后续位监督元输出，可设（7，3）码的一个码字。图9-4 的（7，3）循环码编码（除法）电路 3. 循环码的对偶码l 对偶码与（n，k）分组码对应。循环码也存在对偶码，作为的因式分解式（9-41）、（9-42）可提供出（7，k）码系列中的几对对偶码：（7，1）与（7，6），（7，3）与（7，4）对偶，并且由于中包含两种最高幂次为的与，如式（9-43）、（9-44）。因此（7，3）、（7，4）有两种对偶码。l 关系： （称为监督多项式） 9-49若以生成（n，k）码，则以作生成多项式而生

23、成的（n，n-k）码，两者互为对偶码。 4. 缩短码l 必要性：选用一个合适的（n，k）码不是很容易，为方便应用可以对（n，k）码根据需要缩短为 i=1，2 9-50如例9-6中（7，4）码，可缩短2位得（5，2）码，其H与G矩阵变为： 去掉最左2列 9-51 中去用前面含2个0的 9-52下两列，并去掉前面各2个0。9.4.5 解码与伴随式纠错 1. 伴随多项式l 与（n，k）分组码类比，若C(x)经传输后则接受为R(x)，可能含有差错。 （E(x)为误差多项式） 9-53或 9-54l 如果能求出E(x)，当然即可纠错。，但不会一步到位。l 若无错，则 即 模g(x)若有错： 即 模g(x

24、) 9-55l 纠错若在（n，k）码纠错能力内，则S(x)得到后，最高幂次不高于（n-k）次，则表明差错发生在监督位中，可以直接纠错，即，即只有此情况，才有。 若错误发生在前k位中，则必须由S(x)去查表，或从该循环码对应的标准H矩阵中，找出与S(x)相同的列来纠错。 例9-10 设表9-2中（7,3）循环码的一个码字，其码字多项式为设在监督项中发生错误，如项，收码则为收码处理如下即 这里，。其中，阶次3小于，因此实际上但接收者并不知道哪位有错，不能随便认定，因此以，利用标准矩阵。式（9-86）是矩阵第4列，因此可纠为即 现在再来试分析，如果中后二项均发生错误，即，试求伴随式即有 其中 ，矩阵

25、中无与（1010）对应的列，表明发生2位或多位错，可利用ARQ纠错。这一点显然与相对应的（7，3）分组码，因=4，只能纠任何码元的1位错与检出2位错，是相同的。然后再来看错误发生在信息码各项的情况。例9-11中，是信息码位置，若该位发生错误，即错误发生在中的阶次高于的情况。求其伴随式：其中，=1，既不可纠错，也检测不出错误项。这时由于结果对应的伴随式，若是1位错，（7，3）码的纠错能力应当能达到。这种发生在系统码循环码的高于阶次的各高次项的错误，欲纠错，只好利用（7，3）循环码对应的矩阵式（9-86），即，它是标准型矩阵第2列，即应纠正为=（0111010），对应的正确码字多项式为，完成了纠错

26、。9.4.6 生成矩阵多项式由例9-11，涉及到当R(x)中误差在前k项时，S(x)求出后需去找相应（n，k）码对应的H矩阵中与S(x)系数相同的列来对R(x)纠错。因此需“知道”H矩阵。1. 循环码生成矩阵多项式G(x)l 由g(x)已知是（n，k）循环码中最低幂次的码字。l 对应的矩阵为： 9-562. G(x)对应的G和H矩阵的标准形式l G(x)系数矩阵 9-57l 化为标准形式： 9-58l H矩阵的n列与（n，k）循环码的隔伴随多项式S(x)相对应。因此为接收检纠错，错误格式E(x)对应伴随式S(x)(模)法1 1 （0001） （0010） （0100） （1000）错在监督位E

27、(x)=S(x)纠错：R(x)+S(x) （1101） （0111） （1110）错在信息位纠错：总是把与（n，k）循环码对应的标准H矩阵存储于接收端，也可由表9-3表示。 表9-3 （7，3）循环码H矩阵提供的E(x)与S(x)对应关系9.5 认识三种常用最佳（n，k）循环码9.5.1 循环冗余校验码（CRC） 1. 特点l 主要用于检出多位差错。l 适于突发错误检错（连续数个码元因突发干扰致错）。2. 能力可检出长度在n-k位的全部差错，及（n-k+1）的部分能力。3. 常用码式：（监督位r=12）、（r=16）、（r=16）。9.5.2 BHC码 1. 特点l 适于多元码检纠错。l 构成

28、：， 用于检、纠错能力 。2. 常用：可查表分别给出n，k，g(x)。例：l （31，21）BCH码，g(x)系数：11101101001，t=2。l （511，493）BCH码，g(x)最高次幂为18，m=511，k=493，r=18=mt，。可纠2Bd多元码。9.5.3 R-S码 1. 特点l 多元码纠错l 常与卷积码结合2. 构成： （符号） k个符号，（符号）（符号）。3. 实用例：l RS（64，40）码。每符号6bit，=40Bd=240bit，=144bit=24Bd，=64Bd=384bit。能力可纠12Bd（72bit）。l RS（64，40）。用于64QAM编码，极少冗余（

29、2Bd），能力可纠1Bd。9.6 卷积码 卷积码是一种小分组得多码段相关的链环码。应用广，看似复杂，这里作为认知性要求。9.6.1 卷积码特征 1. 卷积码不同于（n，k）分组码，它将（n，k）分为很短的分组，如（2，1）、（3，1）、（3，2）卷积码等。每一个监督元不仅是由信码所决定，而且与其前个分组段有关。适于串组传送，延时较小。 2. 约束度与约束长度连同本码段在内的个分组码段称为约束长度：，而称为约束度。通过将卷积码写为，表明了束约程度。 例9-12 （2，1，2）卷积码，如图9-5，是阐明其编解码原理。输入编码输出 （a） (2,1,2)卷积码编码器123解码输出接收卷积码 （b）

30、（2,1,2）卷积码解码电路 图 9-5 （2，1，2）卷积码编、解码器 解： 电路由个移位寄存器和一个模2加法器构成。门电路开关按比特时钟节拍上下扳动。 （1）编码l 信息输入序列，bit。每位之后加入1个监督元，则电路。l 编码输出：，穿插结果为系统码形式。l ，即每位监督元均为本位与前位信元之和所决定 9-59因此 ，。证明它为（2，1，2）卷积码。 （2）解码l 接收输入依序为序列。又图9-4（b）解码电路对每接收到的可能有错的3元码，按式（9-59）以此计算伴随式 9-60l 特点由式（9-60）可以看出，每相邻2个伴随式均与2种监督元、3个信码这5个码元有关。且只有1个信码跨在相邻

31、2个伴随式中。如：同时与、有关称、正交于，或、构成的正交方程组。l 解码差错分析（以、及为例） （3）判决规则（只限1位错） 只有当 则 差错。 9-629.6.2 卷积码数字描述1. 仍以图9-5中（2，1，2）卷积码为例，可不必考虑移位寄存器。图中电路分两条路径：l 当信码（） （冲击代为激励）2. 组合冲击相应电开关按节拍动作。 以组合多项式系统生成多项式，系数g=1101。l 系统生成矩阵为单元限矩阵，多项式G(x)，系数矩阵G为 3. 源码输入任何序列，如 （如例9-12）。编码（2，1，2）卷积码为。4. 特别强调：激励与系统冲激响应G的卷积得到的响应即为卷积码这就是卷积码名称的由

32、来。l 编码序列长为，L信码输入bit数。本例 L=6bit，所以，卷积码的输出为bit。 例9-14 图9-6为（2，1，3）卷积码编码电路。试对电路功能进行数字分析，并编出当发送源码序列时的（2，1，3）卷积码序列。路径1路径2信息输入：图9-14 (2,1,3)卷积码编码器 解： （1）分析电路功能l 当输入信码后，按2条路径各经一定运算输出与。前后穿插，成对输出码长的卷积码。l 当（冲激）：l 由 穿插得，生成式g=11，10，11（组合冲激响应）。l 生成矩阵G由g依次延迟2位构成半无极限阵列。（2）当信码为时 则卷积结果，再如： 则 。l 判别N=？约束度可从编码电路直接看出，也可

33、以从径路生成多项式最高幂次等于N；（2，1，2）与（2，1，3）卷积均有2条路径。G分别为4bit和6bit，。 9.6.3 卷积码图示表示法 由于卷积码的“卷积”运算与约束N个分组码段的链环码特点。全部编码可由“码树”或状态图表示，并以网格图更形象与全面的表示。网格图还用于方便地维特比解码，而连环检错并在纠错能力内予以纠错。1. 状态图图9-7时例9-12中图9-5的（2，1，2）卷积码编码状态图。其中，只有1个移存器，有2个状态。 ，。当源码输入后引起状态变化（箭号指向），当源码为1或0时，分别以虚线与实线箭号分别表示，在原状态下被推动转移或不转移状态，则编出相应的11，01，10，00

34、4种=（2，1，2）卷积码的1个位码段。l 例如：当，由状态图编码路径和编码码段为：2. 网格图（1）（2，1，2）卷积码网格图举例状态图不反映随时钟推动状态变化而编码的时间进程。图9-8表示了每输入L=4bit源码序列的（2，1，2）卷积码网格图。由状态开始，输入4bit源码，推动节拍5次，共涉及时间进程节点数M=L+m+1=4+1+1=6 节点。（6个时钟变更点时刻）图示中，当 时状态不变输出；当输入时，编码位为；在状态，；，不变，。当码元结束后，电路连续输出m=1（m移存器数）个节拍的2位码到原始静态。 （2）（2，1，3）卷积码网格图。图9-9为图9-6所示（2，1，3）卷积码状态图和

35、网格图。 当编码器约束度N大时，则移存器的数目增长，且m=N-1，或N=m+1。因此网格图中状态数为个状态：、 、，即4排图形（4个状态），涉及时钟节点M=L+m+1（其中，1个为起始静态，L个节点是由控制变化的状态节点数，m个节点是当输入结束后，时钟再使m个寄存器移位m次才恢复电路为零状态。从构成由L+m折线段的编码路径。）0000000000001111111101010101111111111110101010100101010110111010001101234567abcd000000图9-9 （2，1，3）卷积码网格（篱笆）图 图9-9（b）中的粗实、虚线是，编码序列为的编码路径。

36、9.6.4卷积码维特比解码最佳实施 基于第8章提到的最大似然最佳接收准则的维特比（Viterbi）解码算法，是卷积码最佳解码方式。1. 算法要点（1）最大似然解码准则对发送的长为L的信息序列，共有信息数。在发送每比特码元收到R的概率为，（取其自然对数），其中按“择大”判决为 （2）解码基本方法在接收端复制一个与编码电路对应的网格图（如图9-9的（2，1，3）卷积码的网格图）。l 对照网格图，从分组码段（2位，即长），。由状态开始，分别与至和至状态变化时的网格图上“00”、“11”对比。然后又从、各自的第3节点时刻各变为、和、 4条路径，又收到的第3、4个码元（对应发送）分别个对照两对路径。将接

37、收到的、与网格图上的位码的各节段一一比较；选择汉明距离最小的一条路径，较大与更大汉明距离的路径放弃，这样逐对收码与网格图逐段节点间路径上提供的编码对相对照，能不断保留收码与网格图“编码对”汉明距离最小者作保留路径，直至接收完，到状态为止只要取到总距离最小的最佳路径。此路径上的码元对，构成的序列就是解码与纠错结果。 例9-14 已知图9-8的（2，1，2）卷积码网格图。 （1）试在网格图上标出当信码的（2，1，2）卷积码路径，并给出编码序列。 （2）若收码序列中，随即发生2位差错，如第4与第9位差错，试通过维特比（VB）解码纠错。 解： （1）由网格图，按，可以很方便的指出编码路径，如粗实、虚线

38、所示。编码序列为 （2）由题设，收码共12bit中第4及第9位差错，因此收码序列为 兹以VB解码：逐时段选最佳支路径，最后得到整个最佳路径，该条路径上的码字集合即为解码纠错判决结果。由图9-10按逐码段解码如下：l 第1段，接收：，（）；，（）保留支路径2，放弃1；l 第2段，接收：，（）；，（）两支路径暂不宜选择，再向第3段；l 第3段，接收：，（累计上段结果）；及，均又增加，累计。因此第3段保留。 l 第4段，接收：，（）；，（）后者保留。l 第5段，接收：及，（均为1）暂无法选定，看第6段；l 第6段，接收：，（又增）；，（）取后一段。l 最后得到的最佳路径如图9-10中粗实、虚线所示。

39、收码判决结果为对应的。这条支路是网格图上的一条标准路径。l 评价：在第2、5两段只有1位不同，累积。按网格图，如果在纠错能力内，则最佳路径判决结果被确认纠了2位错；如果到最后仍不能获得唯一一条最小的路径，如最后两条路径均为相等数，这时只好任“猜”一条，就有判决风险，解码未必正确，只好重发纠错。但若在该码纠错能力内，必只有一条最佳路径。9.7 网格编码调制9.7.1 TCM-组合编码调制（trellis coded modulation）特点 1. 评价“传统”的信道编码 前面几节介绍的各种信道编码，虽然都仍在普遍应用，但仍以增加冗余牺牲信道带宽利用率来换取信噪比以提高可靠性因此他们均属带宽利用

40、率和信号功率的各种“折中”方式。 2. TCM构思l 目标为同时获得信道带宽和信号功率利用效率，而将前面第6章频带调制和本章信道编码有机结合便产生了TCM技术。 3. 基本特征l 比一般频带调制所有的星座图信号星点数要多由一定的冗余信号星点以便前向纠错，而不需增加带宽及信号功率（信噪比）。l 更多利用卷积码介入星座中某些星号之间部分星点与卷积码结合发往高斯信道。l 接收解码利用软判决，并选择网格图汉明距最小的路径判决信号点。9.7.2 实施TCM 1. 逐段正交分割多元调制星座图l 提供MPSK或MQAM星座图，并以M/2，M/4，M/8，逐级正交分割星点，于是分割的各局部星座间自由距离逐级增

41、加，即，如图9-11所示。这是在限带信道构成高效编码的调制方案的关键思路。010101001001110213图9-11 8PSK星座及其分割子集9.8 复习与思考 1. 波形编码的广泛含义是什么，为什么作为信道编码的一个分支？ 2. 差错控制编码的各种类型适用于那些信息类型和信道特征的检错与纠错？ 3. 正交波形编码与差错控制码在设计思想上与应用目的上有何不同？ 4. 差错控制常用系统码形式，究竟有什么优点？为什么最小汉明距离唯一的决定纠错能力？ 5. 完备码与汉明码有没有区别，两者的优点各是什么？ 6. 循环码的定义是什么？能否说（n，k）线性分组码都是循环码？具体符合什么条件才是循环码？

42、 7. 为什么要用扩展码和缩短码？ 8. 一致监督矩阵H和生成矩阵G各有何特点？两者关系以及在纠错码中的作用是什么？ 9. 以卷积码为例，以及其他线性分组码，能否说生成矩阵G或其多项式G(x)就是编码器的系统冲击响应？当信源编码序列输入（激励信号），其响应就是差错控制编码？为何理解循环码和卷积码的生成多项式可决定编码器的全部功能？ 10. 利用网格图进行VB解码纠错，如何符合最大似然判决理论? 11. （7，3）与（7，4）分组码各有何特点，能否说（7，4）汉明码优于（7，3）码？ 12. 为什么奇偶校验码、重复码和哈维码等属于分组码？ 13. 卷积码码为什么约束长度等于移位寄存器数m加1，即

43、N=m+1？能否认为在1个约束度内就能纠1位码？ 14. 组合编码调制TCM，为什么是卷积码与MPSK或MQAM有机结合？你能否提出其它组合方式吗？如与MFSK结合？ 15. 当卷积码电路设计完成后，是否就可提供一套唯一的网格图？当网格图VB解码的最终可选择路径有两条或更多相同的汉明距离，如何判决？是否只要能选到一条最小的路径就是提供正确纠错接收？ 16. 针对TCM特点，理解TCM较一般纠错码不因增加冗余而降低信道带宽利用率，至于一般频带调制如：MPSK、MQAM等相比，不因多元符号传输而实际上付出信噪比代价TCM是不增加贷款而提高可靠性的最佳传输方式。 17. 回顾最小频移键控MSK及其类

44、似于QPSK的星座图，但只是轮流利用4星点中某一对的1个星点二元信号传输。MSK已是TCM的前奏形影。MSK具有冗余“星点”既无扩展带宽，而又使误比特率几近优于任何FSK。9.9 填空问答9.9.1 信道编码概念 1. 波形编码的典型特征是（），其实质是在码字集合中，全部码字相互间为（），即至少应有（），其取值范围在（）。两个n位码长的码字间相关系数（）。 2. 双正交码的概念是码字集合中存在（）和（）两种正交情况，且码长为n时，当时（）；当时（）或（）。当而时（）；而时（）。例举最简单的双正交码为（00，01，10，11），用于频带调制时为（）或（）调制方式。它比只存在一种正交情况的4元调制

45、如（）具有较高的抗干扰能力。 3. 波形编码中的正交码属于（）的一个子类，它与（n，k）分组码的共同点是含有一定的（），是以付出（）而换取（）的编码方式。因此在差错控制能力上至少具有（）能力。不同点在于，正交码是以两码字之间或两个信号星座之间（）距离度量，而纠错码是以任两码字间（）距离来度量。如00与01属于（），而不是差错控制码。0000余0101间（）是（）码字，两者（）。两者设计目标不同在于对于正交码其出发点是（），纠错码是针对（）。 4. 一个n长码字经传输后，可能的差错模式为（），其中（）错误概率最大。检错码汉明距（），如欲检3位错（）。奇偶校验码（），（n，1）重复码（）可纠位数（）。 9.9.2（n，k）分组码特征 5. （n，k）分组码H矩阵的特征，诸如，矩阵规