不定积分换元法例题.doc

1、【第一换元法例题】997)9；d(5x 7)1 (5x 7) 9 d(5x 7)1(5x 7)dx(5x 7)dx (5x5、191 17)10C (5x7)10C505 (5x 7)d(5x 7)5 10 (5x1【注】(5x 7)5, d(5x 7) 5dx,dxd(5x7)5% In1x dx In x d In x xx-W x) 2In x d ln x1别 nx) -【注(Inx) 1xd(ln x) dx, x-dxd(l n】xx)3 (1)tan xdxsinx ,sin xdxd cosxd cosxdxcosxcosxcosxcosxd cosxIn |cosx |C I

2、n|cosx| Ccosx【注】3 ( 2)【注】4 ( 1)【注】4 ( 2)【注】4 ( 3)(cosx)sinx, d (cosx)sin xdx, sin xdx d(cos x)cot xdx叱 dx竺型d sin xsinxsinxsin xd sin xIn | sin x | C In |sin x | Csin x(sin x)cosx,d (sin x) cosxdx,cosxdxd (sin x)dx a xd(a x)1 d(a a xx) In |ax| CIn |a x| C(ax)1,d (ax)dx,dxd (ax)1dx1dx1d(xa)xax ax a1d(

3、xa) In |xa| Cln| x a| Cxa(xa)1,d(xa)dx,dxd(xa)1J、,1111 1 1dx1 dx22dx22dx2adxx axax axa xa2a x aIn | x a | In | x a |Cx aC2a2ax a25 (1)5 (2), secx(secx tan x)secxdx-dxsecx tanxd(tanx secx)d(tanx secx)secx tan xsecx tan xsecxdxdxcosx ,2 dxcosxcos xd sin x1 sin 2x2 sin x 1 sin xsec x secxtanx ,-dxsecx

4、tanxIn | secx tan x | Ccosx dxd sin xcos 2 x1 sin 2xdsin xsin x 1Insin x 11ln1 sin x21 sin x26 (1)6 (2)7 (1)7 (2)8 (1)8 (2)9 (1)9 (2)csc xdxcscx(cscx cot x),csc x cscx cot x ,dxcscx cotxcscxcotxd( cotxcscx)d(cscx cotx)In | cscx cot x|cotxcscx cot xcscxcsc xdxcscx(cscx cotx), dxcsc2 x cscx cot x ,cot

5、 xcscx cotxcscxd( cotxcscx)d(cscx cotx)In | cscx cot x |cscx cot xcscx cot x.Idxarcsin x C1dxdxax ?22xxxaadxarcta nxC2x dxdxdx2xx.35.25.25sin xcosxdxsinxcos sin xdxsinxcos(1 cos 2 x) cos 5x d cos x(cos 7 xcos 5 x) d cosx? 35.3434sin xcos xdxsin xcosx cosxdx sin xcos xdxdxd cosxcos 8 xdsinxarcsi n Ca

6、丄 arctan C , ( a a acos 6欢迎下载2.4.6.8.32235.7sin XSIn X sx Csin x(1 sin x) d sinx (sin x 2sin x sin x) d sinx438dx1 1dxd I n- d In x In In x C In x10 (1)In xxln xx In xdx11 dxd In xd I n x110 (2)In x xxln2 xIn2 xIn2xIn x2xdx2xdxdx2d(x 21)211 (1)422x 2 212 2arcta n(x 1)x 2x 2x 2x 2(x 1)xdx12 xdx1dx 21

7、d(x21)11 (2)5 2x4 2x 25 2x4 2x 25 24 (x 21)2x4 2x 2d Jd(x2 1)x21 2x2 1sin 、x12sin、x xdx、2 sin x d x 2cos x C 2cos、x C132x1 2xe2xd2x1、 e dx e d2x 214sin 3 x cosxdxsin x cosxdx、15(2x 5) 100 dx(2x 5) 100 dx、(2x 5) 100 d(2x5)xsin x 2dxsin x2 xdx1 .16sin2、In xIn x1 dx17dxx、 x、1 In x-arctang42/xdx1e2xC2.4

8、sin 3 x d sin xsin 3 x d si n xsin x(2x 5)1001 d(2x 5)1005)25) d(2x丄(2x 5) 1012025) 101x2 dx 2sin x 2 dx 21cosx2In xI In x) 1 -d I n x.1 In x(1” 1 In x欢迎下载3j _ d l n x.1 lnx1 Inx d(11d(1 ln x)ln x)23寸 1 ln xln x) 213(12(1 ln x) 2 Carcta n x18arctan x2 dxearcta nxed arctan x、x19xdx 2Exxdx、2.112d(1 x

9、)2 1x220sin xdx1sin xdx1cosxcos 3cos 3一 cos 3、xxxx1121exdxx de x、2 e2 e i222Inx 1dxln 2 x d ln xln 2x d I n、xx23dxdxd(1x)、厂2乂 2 (1 x)2、(1x)2xarcta narcta n xx ed arctan x ed(1x2)3122cos 2 x Ccos 2 xd cosxex) ln( 2d(1 x)arcsi n 1 x C2 242(1 x)dxdxd(x ；)d(x )24x 2F、x2(x(x(x 1)1A2d(x2)arctaarctan 2x1 C

10、747(x1 27n) ()2225 计算sin xcosx2 dx , a2b22 2 2、a sin x b cos x欢迎下载422222222【分析】因为：(a sin x b cos x) a 2sin xcosx b 2cos x( sin x) 2(a b )sin xcosx所以 :d (a 2s in 2 xb2cos 2 x) 2(a 2 b 2)sin xcosxdxsin xcosxdx1 22222(a 2 b2)2 2d(a sin x b cos x)sin xcosxsin xcosxdx12 222、d(a sin x b cos x)【解答】_ dx2.2

11、,2 2 2.2 ,2 22 222a sin x b cos xa sin x b cos x a b2 a2 sin2x b 2 cos 2 x1 d(a 2sin2x b 2cos x) 2 Ja2sin2 xb2 cos 2 x C a b a b 2 a 2sin 2x b 2 cos x【不定积分的第二类换兀法】已知 f(t)dt F(t) C求 g(x)dx g( (t)d (t)g( (t)(t)dtf(t)dtF(t) CF( 1 (x)C令 x t【做变换，令【求积分】【变量还原，x(t)，再求微分】t1(x) 】变量还原2cost C2cos x C2( 11 J】G2x

12、 t22si ntdt2tdt2 丄dt 2 1 dt1 t1 t1 t欢迎下载5变量还原_2 t ln|1 t| C2 x ln|1 G| Ct Jx2 ( 2)dx x令 1+ x t121 2(t 1)dtdtdtx (t 1)t d(t 1) 2变量还原_2 t ln|t| C2 1 .x ln|1 匸| Ct 1 、x3 _4dx令 1 x tt d(t 31)4134、 ( t(Ox (t 1)31) 42 t 4(t 3 1) 33t2dt变量还原12 (t 6t3)dt 12t 3 1 4x121dxt (1 t )dt22tdt 2-dtx(1 x)x t 2t(1 t )1

13、 t变量还原2arcta ntC t x2arctan 、x C1令 e x t11亠1 15、x dxd lnt1 1 dt1 tt(1Ul t)1 exx lnt1 t tt 1 tIn |t| l n|1 t| C In | tI C变量还原It e xln exC1 exdx令 6 x tt2dt6(1 t2)t3 貳水61 t2dt(1 ：x)xx t(1 t 2)t3变量还原3(1 ：x)4dt1 t2dt6(t arcta nt) C 66( . x arctan ,x) Ctm n k . 【注】被积函数中出现了两个根式 x, x时，可令 xt，其中 k 为 m, n 的最小公

14、倍数。dx令 37 2 tt23t2tln|173 dt2t| C1 ：x 2x t 3 21 t（ 1）欢迎下载6变量还原t xTT2 ln|1 7T2| C2令 1xx7 ( 2)ix ot2dt2t 2ln|t 1| ln|t 21| Ct2 11 x1|ln| 1| Cxn ax b【注】被积函数中含有简单根式Tax b 或时，可令这个简单根式为t, 即可消去根式。、cx ddxd1dtt2丄 dtt6 t4 t212 dt8(1)x8(1x2)丄11丄1 t2t2t8t7F 1t2t7 t5t3变量还原arcta n1arcta n -7x75x 53xtxin1in11 in xd

15、xtt1int8(x in x) 22t2dt2dtin1（ 2in -tint）tt2(lnt)dt2 d(1 tint)tint11 tint1 tint变量还原1 1in1 Cx in xx x【注】当被积函数中分母的次数较高时，可以试一试倒变换。欢迎下载71 JL1 21 sinx1 tjd2arctan1 tj2dtdx21 t2sinx(1 cosx)x 2arctart1 t2)1 t2)21dtt21n|t|2变量还原斗2 x2tan -tan 24【注】对三角函数有理式的被积函数,可以用万能公式变换，化为有理分式函数的积分问题。令 x asint, |t| 10 ( 1).

16、a 2 x2 dxt arcsin F a.a a sin t2 2 2 .das intcos 2 tdt令 x dx 一孑 asint, |t|das int变量还原2arcs indt2.x arcs222xasi nt.x arcsitina . an a1 cos2t , dt2sin2ta (1cos2t)dt22变量还原a ? xt arcs in xarcsina2令 x atant,|t| dxdatantseCd In |seCt tant|10(a.a2a tan ttarctark2变量还原2 2t arctar xln|-a x ,| C In |x aaa因为 :

17、(x a2 x2)2 a2x22所以 :(x . a 2x2)dxx2dxa dx即: a 2 x2dx(xa2 x2)dx2 2In x a 2xIxadxx2|欢迎下载8dx令 x ased, 0 tdasect2sectdt In | sed tant | C102( 3) 2*a2seCh- xaa2 3变量还原2x asectln|- | C In | x aa2因为 :(xx2 a2)2 x2 a2a2 2x a2所以 :(x , x22)dx 2 , x22dxa .aa- dx2 2x a即:Fdx 1(x x 2 a22fxJx 2【注】当被积函数中出现a2 x2a2 x2 八 x2 a2 因子时，可以用三角变换，化为三角函数的积分问题。100 ，产量为 1 个单位时，成本为102 ，x2 利润最大时的产量；欢迎下载9所以：又已知 :于是：- 100G ，由102C1 2，- 1002，C(x) 100 2xC(x)C1(1)C(x)xx:R(x)12 0.1x ，R(0)0，R(x) 12x0