最短路径问题

1、 最短路径问题最短路径问题-“将军饮马将军饮马” ” 问题问题【重要考点重要考点】 两点之间线段最短、轴对称的性质、正方形的性质、圆、两点之间线段最短、轴对称的性质、正方形的性质、圆、二次函数的图象与性质、三角形相关知识、基本作图等二次函数的图象与性质、三角形相关知识、基本作图等【命题形式命题形式】 主要以二次函数、四边形、三角形、圆为背景借助轴对称主要以二次函数、四边形、三角形、圆为背景借助轴对称的性质考查学生的综合能力。的性质考查学生的综合能力。【考查方向考查方向】 最短路径问题最短路径问题( (即即“将军饮马将军饮马”模式模式) )，动点问题下的最，动点问题下的最值问题在中考中一般放置在

2、选择题、填空题或解答题最后，值问题在中考中一般放置在选择题、填空题或解答题最后，以压轴题的形式出现以压轴题的形式出现 在公路在公路l两侧有两村庄两侧有两村庄A、B，现要在公路，现要在公路l旁修旁修建一所候车亭建一所候车亭P，要使候车亭到两村庄的距离之，要使候车亭到两村庄的距离之和最短，试确定候车亭和最短，试确定候车亭P的位置。的位置。知识回顾一知识回顾一BPlA知识回顾二知识回顾二 如图，在河的同侧有两村庄如图，在河的同侧有两村庄A、B，现要在河边，现要在河边l建一水塔建一水塔P分别向分别向A、B两村庄同时供水，要使两村庄同时供水，要使水塔水塔P到到A村、村、B村的距离之和最短，确定水塔村的距

3、离之和最短，确定水塔P的位置。的位置。AP常考虑的问题1.对称轴如何确定？一般作谁的对称点？ 对称轴一般是动点所在的直线。一般作某一个定点的对称点。2.所确定的对称点和谁连接？ 把这个对称点与另外一个定点相连。3.所求点怎么确定? 所求点就是所连接的直线与对称轴的交点。 1.1.如果刚才的问题中，我们以河流所在直线为如果刚才的问题中，我们以河流所在直线为X X轴轴建立如图的坐标系，测得建立如图的坐标系，测得A A村庄的坐标为（村庄的坐标为（0 0，100100），），B B村庄的坐标为（村庄的坐标为（400400，200)200)（单位：米），我们从（单位：米），我们从水水塔塔P向向A村、村、

4、B村村铺设管道最短需铺设管道最短需_米。米。ABXBPMOH500yB知识应用知识应用（利用坐标轴找对称点）（利用坐标轴找对称点） 2. 2. 已知正方形已知正方形ABCDABCD的边长为的边长为4 4，F F为为BCBC边的中点，边的中点， P P为为对角线对角线BDBD上的一动点，要使上的一动点，要使 PF+PCPF+PC的值最小，试确定点的值最小，试确定点P P的位置，并求出最小值。的位置，并求出最小值。 .P因为点C关于BD的对称点为点A,连接AF，交BD于P点。所以PF+PC=PF+AP，根据两点之间线段最短可得AF就是PC+PF的最小值，正方形ABCD的边长为4，F是BC边的中点，

5、BF=2，AF=2 5知识应用知识应用（利用正方形的对称性找对称点）（利用正方形的对称性找对称点）3.如图，等边如图，等边ABC的边长为的边长为4，AD是是BC边上的中边上的中线，线，F是是AD边上的动点，边上的动点，E是是AC边上一点，若边上一点，若AE=2，当，当EF+CF取得最小值时，则取得最小值时，则ECF的度数的度数为（）为（）知识应用知识应用（利用等边三角形的对称性找对称点）（利用等边三角形的对称性找对称点）ABCDE过E作EMBC，交AD于N，连接CM交AD于F，连接EF，则此时EF+CF的值最小，AC=4，AE=2，EC=2=AE，AM=BM=2，AM=AE，AD是BC边上的中

6、线，ABC是等边三角形，ADBC，EMBC，ADEM， AM=AE，E和M关于AD对称，ABC是等边三角形，ACB=60，AC=BC，AM=BM，ECF=ACB=30，知识应用知识应用 4. 如图如图, ,圆圆O O的半径为的半径为2, A 2, A 、B B 、 C C点在圆上点在圆上,OA,OA垂垂直直OB,AOCOB,AOC为为6060,P,P是是OBOB上一动点上一动点, ,求求PA+PCPA+PC的最小值的最小值. .（利用圆的对称性找对称点）（利用圆的对称性找对称点）作A关于OB的对称点A,连接AC，交OB于P，PA+PC的最小值即为AC的长，AOC=60AOC=120 ，CO=A

7、OOAC=OCA=30 ，作ODAC于D,则AOD=60OA=OA=2AD=AC=2335.如图,已知二次函数y=ax24x+c的图象与坐标轴交于点A(1,0)和点B(0,5).(1)求该二次函数的解析式；(2)已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得ABP的周长最小。请求出点P的坐标。知识应用知识应用（利用抛物线的对称性找对称点）（利用抛物线的对称性找对称点）（2）要使ABP的周长最小,只要PA+PB最小由于点A与点C关于对称轴x=2对称，连接BC交对称轴于点P，则PA+PB=BP+PC=BC，根据两点之间，线段最短，可得PA+PB的最小值为BC；因而BC与对称轴x=2的交点P就是所求的点

8、。另一个交点坐标C(5,0) 直线BC的解析式为y=x5 因此直线BC与对称轴x=2的交点坐标 点P的坐标为(2,3) （1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，可求得二次函数的表达式为y=x24x5. 【思想方法思想方法】(1)(1) 最短路径问题的背景来源主要有：角、等腰最短路径问题的背景来源主要有：角、等腰( (边边) )三角形、菱形、正方形以及圆等从内容上看，还会引申到三角形、菱形、正方形以及圆等从内容上看，还会引申到三角形三角形( (四边形四边形) )的周长最值问题、面积最值等问题。的周长最值问题、面积最值等问题。(2)(2)“将军饮马将军饮马”问题就是利用对称性问题就是利用对称性“

9、化折为直化折为直”。总总 结结方法提升：（方法提升：（PA+PB最小）最小）1.点的分类及确定：点的分类及确定：2.对称轴的确定：对称轴的确定：动点所在的直线动点所在的直线3.对称点的确定：对称点的确定：尽可能地找已经存在的对称点尽可能地找已经存在的对称点4.计算连线的长度：计算连线的长度：两个定点两个定点+一个动点一个动点借助原有图形的性质或者借助原有图形的性质或者勾股定理或者两点间的距勾股定理或者两点间的距离公式离公式1 1如图如图，在小正方形边长为，在小正方形边长为1 1的的方格方格纸纸中，点中，点A A，B B，C C，D D都在格点上，都在格点上，点点P P是线是线段段BCBC上的动点，连结上的动点，连结APAP，DPDP问：问：AP+DPAP+DP是否存在最小值？若存在，求出其是否存在最小值？若存在，求出其最小值最小值 2如图，如图，在边长为在边长为4的菱形的菱形ABCD中，点中，点E，F分别在分别在AB，AD边上，边上，AE=1，AF=3，点点P为为BD上一动点，求：线段上一动点，求：线段EP+FP和的最小值。和的最小值。 3 3如图，在直角坐标系中，点如图，在直角坐标系中，