第三章 泊松过程

1、第三章第三章 在生活中，常常会遇到这样一类随机现象，它们发生在生活中，常常会遇到这样一类随机现象，它们发生的地点、时间以及相联系的某种属性，常常归结为某一空的地点、时间以及相联系的某种属性，常常归结为某一空间间E中的点的随机发生或随机到达。中的点的随机发生或随机到达。 例：电话交换台一天内收到用户的呼唤情况，例：电话交换台一天内收到用户的呼唤情况，X(n)是是第第n次呼唤发生时的时间；次呼唤发生时的时间； 商店接待的顾客流，等待公共汽车的乘客流，要求再商店接待的顾客流，等待公共汽车的乘客流，要求再机场降落的飞机流等，股票价格的跳跃次数等。机场降落的飞机流等，股票价格的跳跃次数等。 泊松过程（泊

2、松过程（Poisson process）最早由法国人）最早由法国人Poisson于于1837年引入。年引入。主主 要要 内内 容容 第一节第一节 泊松过程的基本概念泊松过程的基本概念 第二节第二节 相邻时间的时间间隔相邻时间的时间间隔 第三节第三节 剩余寿命与年龄剩余寿命与年龄 第四节第四节 非时齐泊松过程非时齐泊松过程 第五节第五节 复合泊松过程复合泊松过程 第六节第六节 更新过程更新过程第一节、泊松过程的基本概念第一节、泊松过程的基本概念一随机过程 ，若满足条件：（1）是一计数过程，且N(0)=0; （零初值性（零初值性)（2）任取 （独立增量过程）（独立增量过程） 相互独立；（3） （增

3、量平稳性）（增量平稳性）（4）对任意 和充分小的 ，有称 是强度 为的时齐泊松过程。 其中 称为强度常数。 一、定义一、定义( ),0N t t ,0,0, ()( )( )s tnP N stN snP N tn120,nttt1211( ),( )( ),( )()nnN tN tN tN tN t0t 0t ()( )1()()( )2()P N ttN ttotP N ttN tot 0( ),0N t t 第一节、泊松过程的基本概念第一节、泊松过程的基本概念从定义可得知， 为一时齐泊松过程，N(t)表示0,t时段内事件发生的次数。（1）条件（1） 表明在初始时刻无事件发生，即（2）条

4、件（2）表明任意多个不相重叠的时间间隔内发生的事件数相互独立（3）条件（3）表明 时间内发生的时间数的分布只与时间间隔t有关，与时间起点无关 （4）条件（4）表明在足够小的时间 内事件发生一次的概率与时间 成正比，而在足够小的时间内事件发生次数不少于2的概率是关于 的高阶无穷小。即在足够短的时间内，事件发生两次以上为小概率事件。( ),0N t t (0)01P N ,s stttt第一节、泊松过程的基本概念第一节、泊松过程的基本概念例例1：设N(t)为 时段内某电话交换台收到的呼叫次数，N(t)的状态空间为 ，且具有如下性质： 1）N(0)=0，即初始时刻未收到任何呼叫；2）在 这段时间收到

5、的呼叫次数只与时间间隔t 有关，而与时间起点s无关；3）在任意多个不相重叠的时间间隔内收到的呼叫次数相互独立；4）在足够小的时间间隔内可见 是强度 的泊松过程。 0, ) t0,1,2, ,s st()()()PttotPtot 时间内有一次呼叫（时间内收到2次及其以上呼叫）( ),0N t t 第一节、泊松过程的基本概念第一节、泊松过程的基本概念 若 为时齐泊松过程，则 有即 是参数为 的泊松分布。定理定理1：( ),0N t t 0()()( ),!ktteP N stN skkNk,0,s t()( )N stN st证明第一节、泊松过程的基本概念第一节、泊松过程的基本概念一计数过程 ，

6、若满足条件：（1）N(0)=0; （2）N(t)是独立增量过程；（3）对 ，即则称 是强度为 的时齐泊松过程。 泊松过程的等价定义：泊松过程的等价定义：( ),0N t t ,0,()( )()s tN stN sPt0()()( ),0!ktteP N stN skkNk( ),0N t t 等价性的证明第一节、泊松过程的基本概念第一节、泊松过程的基本概念 泊松过程的样本函数是一条阶梯曲线，t i表示第i个事件发生的时刻，那么在时刻ti阶梯曲线上跳一个单位。第一节、泊松过程的基本概念第一节、泊松过程的基本概念二、泊松过程的几个例子二、泊松过程的几个例子第一节、泊松过程的基本概念第一节、泊松过

7、程的基本概念第一节、泊松过程的基本概念第一节、泊松过程的基本概念第一节、泊松过程的基本概念第一节、泊松过程的基本概念( )( )NmtE N tt1、均值函数、均值函数二、泊松过程的数字特征二、泊松过程的数字特征 表示0,t)时段内平均发生的事件数， 表示单位时间内平均发生的事件数。 ( )E N t( )E N tt第一节、泊松过程的基本概念第一节、泊松过程的基本概念( )( )NDtD N tt2、方差函数、方差函数2222( )( )( )( )()NNtE NtD N tmttt3、二阶原点矩、二阶原点矩第一节、泊松过程的基本概念第一节、泊松过程的基本概念21212121 2( , )

8、( )( )min( , )NRt tE N t N tt tt t4、自相关函数、自相关函数证明：当 时12tt1212212112121121211121 21( , )( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )()()NRt tEN t N tEN tN tN tENtEN t E N tN tENttttttt tt当 时12tt2121 22( , )NRt tt tt所以2121 212( , )min( , )NRt tt tt t第一节、泊松过程的基本概念第一节、泊松过程的基本概念1212( , )min( , )NCt tt t5、自协方差函数、自协方差函

9、数证明：12121221 2121212( , )( , )( )( )min( , )min( , )NNNNCt tRt tmt mtt tt tttt t第一节、泊松过程的基本概念第一节、泊松过程的基本概念例例2：设粒子按平均率为4个/min的泊松过程到达某计数器，N(t)表示0,t）内到达计数器的粒子个数，试求：(1)N(t)的均值、方差、自相关函数与自协方差函数；(2)在第3min到第5min之间到达计数器的粒子个数的概率分布。( )(4 )N tPt解:(1)( )4( )NNmttDt12121 2( ,)4min( ,)16NRt tt tt t1212( , )4min( ,

10、 )NCt tt t(2) N(5)-N(3)的分布律为4 2(4 2)(5)(3),1,2,3,!eP NNkkk 第一节、泊松过程的基本概念第一节、泊松过程的基本概念1( ),0N t t 1、泊松过程的叠加、泊松过程的叠加定理：定理：设 与 为相互独立且强度分别为 的泊松过程，对于任意给定的仍为泊松过程。 即两个相互独立的泊松过程的叠加仍然为泊松过程，且其强度为二泊松过程的强度之和 .三、泊松过程的叠加与分解三、泊松过程的叠加与分解 ,tT12, 2( ),0N t t 12( )( )( ),N tN tN t tT12第一节、泊松过程的基本概念第一节、泊松过程的基本概念12(0)(0

11、)(0)NNN证明：证明：（1）（2） 为独立增量过程，其和也为独立增量过程；为独立增量过程，其和也为独立增量过程；（3）记）记 ()( )( ,)N tsN tN t ts12( ),( )N tN t11121212110110()121200( ,)( ,)( ,)( ,),( ,)( ,) ( ,)()()!1() ()!()!()!mkmksskm kmmskm kkkP N t tsmP N t tsN t tsmP N t tsk N t tsmkP N t tsk P N t tsmksesemesskmkk mkme)12() !smsm得证得证第一节、泊松过程的基本概念第一

12、节、泊松过程的基本概念例例2：设乘客从南北两个方向在0,t)时段内到达同一飞机场的人数 分别服从强度为 的泊松过程，试求在0,t)时段内到达机场的人数的平均值。+)t12答案：(12( )( )N tN t和12, 第一节、泊松过程的基本概念第一节、泊松过程的基本概念( ),0N t t 2、泊松过程的分解、泊松过程的分解定理：定理：设 为强度为 的泊松过程， 为进入子系统A的质点数， 为进入子系统B的质点数，则N(t)的分解过程 相互独立，分别服从强度为 和 的泊松过程。其中p,1-p为分别进入系统A和B的概率。.1( )N t2( )N t12( )( )N tN t、p(1)p第一节、泊

13、松过程的基本概念第一节、泊松过程的基本概念120(0)(0)(0)NNN证明：证明：（1） 可得可得（2）由）由N(t)的独立增量性可得，的独立增量性可得， 也为独立增量过程；也为独立增量过程；（3）记）记 ()( )( ,)N tsN tN t ts12( ),( )N tN t1111111111111011111( ,)( ,)|( ,) ( ,)( ,)|( ,) ( ,)()!()(1)(1)!()!()(1=!mm kmmkkm kkm kssmm km kksP N t tskP N t tskN t tsm P N t tsmP N t tskN t tsm P N t tsm

14、smsC ppeppemkmkmpsek！1111(1)()111)()()()()!m kkkspspsm kpspspseeemkkk！12(0)(0)0NN第一节、泊松过程的基本概念第一节、泊松过程的基本概念（4）证明）证明 的独立性的独立性 其中 表示独立到达泊松系统的 个质点中恰好到达系统A有 个，则有 12( ),( )N tN t11221112111212( ),( )( ),( )( )|( ) ( )P N tk NtkP N tk N tkkP N tkN tkk P N tkk1112( )|( )N tkN tkk12kk1k112121112( )|( )(1)kk

15、kkkP N tkN tkkCpp第一节、泊松过程的基本概念第一节、泊松过程的基本概念 所以所以 独立性得证。独立性得证。 1212121212112212121212(1)121122( ),( )()!()(1)!()!()(1)!()()!( ) ( )kkkktkkkktkkptp tP N tk N tkkktppek kkktppek kptpteekkP N tk P N tk第一节、泊松过程的基本概念第一节、泊松过程的基本概念例例3：设某个汽车站有A，B两辆跑同一路线的长途汽车。设到达该站的旅客数是一泊松过程，平均每10分钟到达15位旅客，而每个旅客进入A车或B车的概率分别为2

16、/3与1/3.试求进入A车与进入B车的旅客数的概率分布。121110.5212( ),0,1,2,!(0.5 )( ),0,1,2,!ktAktBtP NtkekktP Ntkekk答案：第二节、相邻事件的时间间隔第二节、相邻事件的时间间隔 我们不仅要研究0,t)时段内事件个数的概率分布，也有必要研究每个质点到达的时间服从的分布与相继到达的两个质点间的时间间隔服从的分布。第二节、相邻事件的时间间隔第二节、相邻事件的时间间隔 设 是一计数过程，N(t)表示在0,t内事件发生的个数。 令 表示第n个事件发生的时刻 ; 表示第n-1个事件与第n个事件发生的时间间隔。则有( ),0N t t 00,n

17、SS(1)n 1(1)nnnXSSn( )()nN tnSt11( )()()()nnnnN tnStSStSt 第二节、相邻事件的时间间隔第二节、相邻事件的时间间隔因此 的分布函数为： 当t=0时，所以， 的概率密度函数为 nS()0nP St10()()( )1!kntnktP StP N tnek nS1(0)()( )(1)!nntSttfteIn 推导2(),()nnnnE SD S第二节、相邻事件的时间间隔第二节、相邻事件的时间间隔特别地，当n=1时，有111,0()()0,0tetP XtP Stt 即 是参数为 的指数分布。1( )XE那么， 的分布如何呢？23,nXXX第二节

18、、相邻事件的时间间隔第二节、相邻事件的时间间隔定理定理2： 计数过程 是泊松过程的充分必要条件是 独立且参数同为 的指数分布。( ),0N t t ,1nXn 第二节、相邻事件的时间间隔第二节、相邻事件的时间间隔证明思路：证明思路：先证必要性（1）求 的联合概率密度；（2）求 的联合概率密度；（3）证明 的 服从 的指数分布；（4）证明 独立。12(,)nS SS12(,)nXXX(1)kXknkX12,nXXX第二节、相邻事件的时间间隔第二节、相邻事件的时间间隔第二节、相邻事件的时间间隔第二节、相邻事件的时间间隔第二节、相邻事件的时间间隔第二节、相邻事件的时间间隔第二节、相邻事件的时间间隔第

19、二节、相邻事件的时间间隔第二节、相邻事件的时间间隔第二节、相邻事件的时间间隔第二节、相邻事件的时间间隔第二节、相邻事件的时间间隔这个定理表明，若已知随机事件在某段时间内发生的次数是一个强度为 的泊松过程，那么任何两个事件发生的时间间隔服从参数为 的指数分布； 反之，如果已知任意两个时间发生的时间间隔相互独立且同服从参数为 的指数分布，则一定时间内随机事件发生的次数是一个强度为 的泊松过程。第二节、相邻事件的时间间隔第二节、相邻事件的时间间隔这个定理提供了一个检查计数过程是否为泊松过程的方法： 1）用统计方法检验事件发生的时间间隔是否相互独立； 2）用假设检验方法检验 的密度 只要上述两条成立，

20、就可认定与时间t有关的随机事件发生的次数是一强度为 的泊松过程。01:iiiHXSS,0( )0,0 xetf xt第二节、相邻事件的时间间隔第二节、相邻事件的时间间隔 例4：研究一机械装置，设它在0,t)内发生的“震动”次数N(t)是强度为5(次/h)的泊松过程，并且当第100次“震动”发生时，此机械装置发生故障，试求：1）这一装置寿命的概率密度；2）两次“震动”时间间隔的概率密度；3）相邻两次“震动”的平均时间间隔。解：1）从题意可知，这一装置的寿命为 ，其概率密度函数为100S1009955(5 ),0( )99!0,0tStetftt第二节、相邻事件的时间间隔第二节、相邻事件的时间间隔

21、2）任意两次“震动”的时间间隔 服从参数为 的指数分布，其密度函数为55,0( )0,0tetf xt5iX3）1( )5iEXh为相邻两次“震动”的平均时间间隔。第三节、剩余寿命与年龄第三节、剩余寿命与年龄 设 表示在0,t上事件发生的个数 表示第n个事件发生的时刻 表示在t时刻前最后一个时间发生的时刻 表示t时刻后首次事件发生的时刻 令( )N tnS( )N tS( ) 1N tS( ) 1( )N tW tSt( )( )N tV ttS 第三节、剩余寿命与年龄第三节、剩余寿命与年龄 与 的具体意义： 设一零件在t=0时开始工作，若它失效，则立即更换（假设更换所需的时间为0），一个新的

22、零件开始重新工作，如此重复下去。 记 为第n次更换时刻，则 表示第n个零件的工作寿命，所以 表示正在工作的零件的工作时间，称为年龄 表示观察者在时刻t所观察的正在工作的零件的剩余寿命( )W t( )V tnS1nnnXSS( )V t( )W t第三节、剩余寿命与年龄第三节、剩余寿命与年龄 由定义知,( )0,0( )t W tV tt定理定理3： 是参数为 的泊松过程，则 （1） 与 同分布，即 （2） 是截尾的指数分布，即( ),0N t t ,1nXn ( )W t( )1,0 xP W txex ( )V t1,0( ( )1,xextP V txxt 第三节、剩余寿命与年龄第三节、

23、剩余寿命与年龄证明：证明： ( )()( )0W txN txN t( )()0 ,( ),N tN txtxV txtx第四节、非时齐泊松过程第四节、非时齐泊松过程 放宽泊松过程定义中平稳性限制，即 是常数的限制。定义：定义：一计数过程 ，若满足条件：（1）N(0)=0; （2）N(t)是独立增量过程；（3）对充分小的 有则称 是具有强度函数 的非时齐泊松过程。 ( ),0N t t ()( )1( )( )()( )1( )P N thN tt ho hP N thN to h( ),0N t t ( )0,0tt0h 第四节、非时齐泊松过程第四节、非时齐泊松过程注：注： 1）非时齐泊松过

24、程的增量仅具有相互独立性，而不具备增量平稳性，故称为非平稳或非齐时。 2）该计数过程与时间起点有关，或者说在等长的时间间隔里，由于时间起点不同，计数过程的概率特性也有所不同。 3）当 时，即为前面介绍的齐时泊松过程，也可称为平稳泊松过程。( ) t第四节、非时齐泊松过程第四节、非时齐泊松过程 定理定理4： 若 非时齐具有强度函数为 的泊松过程，则 ，有( ),0N t t ()( ) ()( )()( )!nm s tm sm stm sP N stN snen( ),0t t,0s t0n 注：注：概率 不仅是时间间隔s的函数，而且也是时间起点t的函数。()( )P N stN sn 令令0

25、( )( ), ( )0tm ts dss第四节、非时齐泊松过程第四节、非时齐泊松过程 例例5：现考虑一个非齐次泊松过程 ，其中试求：1）增量 的概率分布；2）解：1） 2）1( )(1 cos),02tt t( ),0N t t ()( )N ttN t( )( )E N tD N t和00111( )( )(1cos)(sin)22ttm ts dss dsts()( )()( )()( )!m ttm tm ttm tP N ttN tkek( )( )( )E N tD N tm t=第五节、复合泊松过程第五节、复合泊松过程 在实际应用中，有一类由泊松过程与独立随机变量列复合产生的随机

26、过程，即为以下讨论的复合泊松过程。1、定义：、定义： 设 是独立同分布的随机变量序列， 为泊松过程，且 与 独立，记称 为复合泊松过程。,1iY i ( ),0N t t ( )1( )N tiiX tY( ),0N t t ,1iY i ( ),0X t t 第五节、复合泊松过程第五节、复合泊松过程复合泊松过程实际意义举例：复合泊松过程实际意义举例：1） 表示粒子流，N(t)表示0,t到达的粒子数， 表示第i个到达粒子的能量，则X(t)表示0,t内到达粒子的总能量。 2）保险公司买了人寿保险的人在时刻 死亡，在时刻 死亡的人的保险金额是 ，在(0,t内死亡人数记为N(t)，则X(t)表示公司

27、在(0,t内需要支付的赔偿金总额。( ),0N t t iY12,S S nSnY第五节、复合泊松过程第五节、复合泊松过程2、复合泊松过程的性质、复合泊松过程的性质 为复合泊松过程，其具有如下性质：1） 是一独立增量过程；2） 的增量具有平稳性，即增量的分布只与时间间隔有关，而与时间起点无关；3）若 ，则 的均值函数为4）若 ，则 的方差函数为( ),0X t t ( ),0X t t ( ),0X t t 2(1) E X ( ),0Y t t ( )( ) (1)YmtE X ttE Y2(1) E X ( ),0Y t t 2( )(1)YD ttE Y3）4）证明第五节、复合泊松过程第五节、复合泊松过程 例6：保险公司的赔偿金储备问题 设寿命投保人的死亡数是一个强度为 的泊松过程，X(n)表示第n个死亡者的死亡赔偿金额，他们是相互独立且具有相同分布的随机变量，其概率密度为令Y(t)为0,t)时段内，保险公司支付的全部赔偿费。试求1） 0,t)时段内公司平均支付的赔偿费；2）DY(t),0( ),00,0 xexf xx解：( )1( ),1/,( )/N tiiY tX EXEY ttEXt2222/,( )2/EXEY tt第六节、更新过程第六节、