D111对弧长曲线积分22118PPT学习教案

1、会计学1D111对弧长曲线积分对弧长曲线积分22118AB弧段为AB , 其线密度为),(zyx“大化小, 常代变, 近似和, 求极限” kkkks),(可得nk 10limM为计算此构件的质量,ks1kMkM),(kkk1.1.引例引例: 曲线形构件的质量采用第1页/共24页设 是空间中一条有限长的光滑曲线,义在 上的一个有界函数, kkkksf),(都存在,),(zyxf 上对弧长的曲线积分,记作szyxfd),(若通过对 的任意分割局部的任意取点, 是定),(zyxf下列“乘积和式极限”则称此极限为函数在曲线或第一类曲线积分.),(zyxf称为被积函数， 称为积分弧段 .曲线形构件的质量

2、szyxMd),(nk 10limks1kMkM),(kkk和对第2页/共24页kknkksf),(lim10Lsyxfd),(如果 L 是闭曲线 , 则记为.d),(Lsyxf则定义对弧长的曲线积分为思考思考:(1) 若在 L 上 f (x, y)1, ?d 表示什么问Ls(2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否! 对弧长的曲线积分要求 ds 0 ,但定积分中dx 可能为负.第3页/共24页szyxfd),() 1 ( （, 为常数)szyxfd),()2( 由 组成) 21,则上设在),(),()3(zyxgzyxf( l 为曲线弧 的长度),(zyxgszyxfd),(szy

3、xgd),(l21d),(d),(szyxfszyxfszyxgszyxfd),(d),(sd)4(第4页/共24页tttttfsyxfLd)()()(, )(d),(22基本思路基本思路:计算定积分转 化定理定理:),(yxf设且)()(tty上的连续函数,证证:是定义在光滑曲线弧则曲线积分),(:txL,d),(存在Lsyxf求曲线积分根据定义 kknkksf),(lim10Lsyxfd),(第5页/共24页kknkksf),(lim10Lsyxfd),(, ,1kkktt点),(kktttskkttkd)()(122,)()(22kkktnk 10limLsyxfd),(kkkt)()(

4、22 )(, )(kkf连续注意)()(22tt设各分点对应参数为), 1 ,0(nktk对应参数为 则,1kkkttnk 10limkkkt)()(22 )(, )(kkf第6页/共24页xyOxdydsdLsyxfd),(tttttfd)()()(),(22说明说明:, 0, 0) 1 (kkts因此积分限必须满足!(2) 注意到 22)(d)(ddyxstttd)()(22x因此上述计算公式相当于“换元法”. 因此第7页/共24页),()(bxaxy则有Lsyxfd),(如果方程为极坐标形式:),()(: rrL则syxfLd),()sin)(,cos)(rrf推广推广: 设空间曲线弧的

5、参数方程为)()(, )(),(:ttztytx则szyxfd),(ttttd)()()(222xx d)(12d)()(22rrbaxxf) )(,()(),(, )(tttf第8页/共24页,dLsy其中 L 是抛物线2xy 与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解解:)10(:2xxyLLsyd10 xxxd)2(12xxxd4110210232)41 (121x)155(121上点 O (0,0)O1Lxy2xy ) 1 , 1 (B第9页/共24页2的圆弧 L 对于它的对称轴的转动惯量 I (设线密度 = 1). 解解: 建立坐标系如图,RxyOLsyILd2d)cos()sin(

6、sin2222RRRdsin23 R0342sin22R)cossin(3 R则 )(sincos:RyRxL第10页/共24页,dsxIL其中L为双纽线)0()()(222222ayxayx解解: 在极坐标系下它在第一象限部分为)40(2cos:1arL利用对称性 , 得sxILd414022d)()(cos4rrr402dcos4a222a,2cos:22arLOyx44第11页/共24页,d)(222szyx其中 为螺旋的一段弧.解解: szyxd)(22220222)()sin()cos(t ktatattkakad202222202322223tktaka)43(3222222kak

7、atktatad)cos()sin(222)20(,sin,costtkztaytax线第12页/共24页,d2sx其中 为球面 2222azyx被平面 所截的圆周. 0zyx解解: 由对称性可知sx d2szyxsxd)(31d2222sa d312aa2312332asy d2sz d2第13页/共24页0)1()1(2222zyxazyx计算?d2sx解解: 令 11zZyYxX0 :2222ZYXaZYX, 则sx d2sXd) 1(2sXd2332a)131(22aasX d2sda2圆 的形心在原点, 故0XaX22, 如何利用形心公式第14页/共24页d d s,d)(222sz

8、yxI其中 为球面解解: , 11)(:24122121zxyx:202)sin2(2)cos2(2)sin2(18d22920Id2cos221z. 1的交线与平面 zx29222zyx化为参数方程 21cos2x sin2y则第15页/共24页cosRx ),0(其线密度 ,2解解:cosdd2RskFxdcos2Rksindd2RskFydsin2RkORRxy0dcos2RkFx0dsin2RkFy0cossin2RkRk40sincos2RkRk 2故所求引力为),(yx,sinRy 求它对原点处单位质量质点的引力. RkRkF2,4第16页/共24页1. 定义定义kkknkksf)

9、,(lim10szyxfd),(2. 性质性质kknkksf),(lim10Lsyxfd),(szyxgzyxfd),(),() 1 (21d),(d),(),()2(szyxfszyxfszyxfd),(21组成由ls d)3( l 曲线弧 的长度)szyxfd),(),(为常数szyxgd),(第17页/共24页 对光滑曲线弧, )( , )(, )(:ttytxLLsyxfd),( 对光滑曲线弧, )()(:bxaxyLLsyxfd),(baxxf) )(,(),()(: rrLLsyxfd),()sin)(,cos)(rrf 对光滑曲线弧tttd)()(22xx d)(12d)()(2

10、2rr)(),(ttf第18页/共24页1. 已知椭圆134:22yxL周长为a , 求syxxyLd)432(22提示提示:0d2sxyL原式 =syxLd)34(1222sLd12a12O22yx3利用对称性sxyLd2sxyLd2上sxyLd2下x2xyd1222)(2xxyd1222分析分析:第19页/共24页,sin,costaytax),20(tt kz(1) 求它关于 z 轴的转动惯量;zI(2) 求它的质心 .解解: 设其密度为 (常数).syxILzd)(22202atkad222222kaa(2) L的质量smLd222ka 而sxLd22kaa20dcostt0(1)第20页/共24页syLd22kaa20dsintt0szLd22kak20dtt2222kak故重心坐标为),0,0(k作业作业P188 3 (3) , (4) , (6) , (7)5 第二节 第21页/共24页1. 设 C 是由极坐标系下曲线, ar 0及4所围区域的边界, 求sICyxde222e)24(aa提示提示: 分段积分xIaxde0de40aaxaxd2e202xyOa4x