2013版高中全程复习方略配套课件：5.6数列的综合应用

1、第六节 数列的综合应用内内 容容 要要 求求 A A B B C C 数列的概念数列的概念 等差数列等差数列 等比数列等比数列 三年三年3 3考考 高考指数高考指数: :数列的综合应用数列的综合应用(1)(1)解答数列应用题的步骤解答数列应用题的步骤审题审题仔细阅读材料，认真理解题意仔细阅读材料，认真理解题意. .建模建模将已知条件翻译成数学将已知条件翻译成数学( (数列数列) )语言，将实际问题转语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征化成数学问题，弄清该数列的结构和特征. .求解求解求出该问题的数学解求出该问题的数学解. .还原还原将所求结果还原到原实际问题中将所求结果还原到

2、原实际问题中. .具体解题步骤用框图表示如下：具体解题步骤用框图表示如下：实际应用题实际应用题 构建数列模型构建数列模型 与数列有关的与数列有关的数学问题数学问题 数学问题的解数学问题的解 审题，找出题意审题，找出题意中的数学关系中的数学关系 分析分析 转化转化运用数列知识求解运用数列知识求解翻译翻译作答作答(2)(2)数列应用题常见模型数列应用题常见模型等差模型：如果增加等差模型：如果增加( (或减少或减少) )的量是一个固定量时，该模型的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加是等差模型，增加( (或减少或减少) )的量就是公差的量就是公差. .等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固

3、定的数时，等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比该模型是等比模型，这个固定的数就是公比. .递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是定，随项的变化而变化时，应考虑是a an n与与a an+1n+1的递推关系，还是的递推关系，还是前前n n项和项和S Sn n与前与前n+1n+1项和项和S Sn+1n+1之间的递推关系之间的递推关系. .【即时应用】【即时应用】(1)(1)思考：银行储蓄单利公式及复利公式是什么模型？思考：银行储蓄单利公式及复利公

4、式是什么模型？提示：提示：单利公式单利公式设本金为设本金为a a元，每期利率为元，每期利率为r r，存期为，存期为n n，则，则本利和本利和a an na(1+rn)a(1+rn)，属于等差模型，属于等差模型. .复利公式复利公式设本金为设本金为a a元，元，每期利率为每期利率为r r，存期为，存期为n n，则本利和，则本利和a an na(1+r)a(1+r)n n，属于等比模型，属于等比模型. .(2)(2)小王每月除去所有日常开支，大约结余小王每月除去所有日常开支，大约结余a a元元. .小王决定采用零小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行存整取的方式把余钱积蓄起来，每

5、月初存入银行a a元，存期元，存期1 1年年( (存存1212次次) )，到期取出本金和利息，到期取出本金和利息. .假设一年期零存整取的月利率假设一年期零存整取的月利率为为r r，每期存款按单利计息，每期存款按单利计息. .那么，小王存款到期利息为那么，小王存款到期利息为_元元. .【解析】【解析】由题意知，小王存款到期利息为由题意知，小王存款到期利息为答案：答案：78ar78ar12 12 112ar11ar10ar2ararar78ar.2(3)(3)有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为同时将自身分裂为2

6、 2个，现在有一个这样的细菌和个，现在有一个这样的细菌和100100个这样的个这样的病毒病毒( (假设病毒不繁殖假设病毒不繁殖) )，则细菌将病毒全部杀死至少需要，则细菌将病毒全部杀死至少需要_秒钟秒钟. .【解析】【解析】设需要设需要n n秒钟，则秒钟，则1+21+21 1+2+22 2+ +2+2n-1n-1100,100,答案：答案：7 7 n12100,n7.12 等差、等比数列的综合应用等差、等比数列的综合应用【方法点睛】【方法点睛】解答数列综合问题的注意事项解答数列综合问题的注意事项(1)(1)要重视审题，善于联系要重视审题，善于联系. .(2)(2)将等差、等比数列与函数、不等式

7、、方程、应用性问题等联将等差、等比数列与函数、不等式、方程、应用性问题等联系起来系起来. .(3)(3)对于等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数对于等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列的通项、前列的通项、前n n项和以及它们之间的关系，往往用转化与化归的项和以及它们之间的关系，往往用转化与化归的思想来处理思想来处理. .【例【例1 1】(2012(2012南通模拟南通模拟) )各项均为正数的数列各项均为正数的数列aan n 的前的前n n项和项和为为(1)(1)求求a an n; ;(2)(2)令令求求ccn n 的前的前n n项和项和T Tn n; ;2*nnnn1

8、1S ,SaanN;42nnn2a ,nb,b ,n为奇数为偶数n*n24cbnN,(3)(3)令令 (、q q为常数为常数,q0,q0且且q1), cq1), cn n=3+n+(b=3+n+(b1 1+ +b b2 2+b+bn n),),是否存在实数对是否存在实数对(,q),(,q),使得数列使得数列ccn n 成等比数列成等比数列? ?若存在若存在, ,求出实数对求出实数对(,q)(,q)及数列及数列ccn n 的通项公式的通项公式, ,若不存在若不存在, ,请请说明理由说明理由. .nanbq 【解题指南】【解题指南】(1)(1)根据根据a an n与与S Sn n的关系求解的关系求

9、解. .(2)(2)分别求分别求c c1 1,c,c2 2,c,cn n(n3),(n3),再求再求T Tn n. .(3)(3)把把c cn n用用、q q表示表示, ,根据等比数列的通项公式确定根据等比数列的通项公式确定、q q的值的值. .【规范解答】【规范解答】aa1 10,a0,a1 1=2;=2;当当n2n2时时, ,即即(a(an n+a+an-1n-1)(a)(an n-a-an-1n-1-2)=0.-2)=0.aan n0,a0,an n-a-an-1n-1=2,=2,aan n 为等差数列为等差数列,a,an n=2n(nN=2n(nN* *).). 22111111111

10、11 aSaaaa0,424222nnn 1nnn 1n 11111aSSaaaa,424222nn 1nn 111aaaa0,42(2)c(2)c1 1=b=b6 6=b=b3 3=a=a3 3=6,=6,c c2 2=b=b8 8=b=b4 4=b=b2 2=b=b1 1=a=a1 1=2,=2,n3n3时时, ,此时此时, ,nn 1n 2n 2n 1n24222121cbbba22, 23n 1nnT822222222n;nn*6,n1T8,n2.22n,n3nN且令令存在存在 22nn2q1 q3 c3nn1 q22n 222qq31 n,1 q1 q 221q30,1 q3q102

11、 n 1n33( ,q)( 1,),c4 ( ).24 【反思【反思感悟】感悟】1.1.解答本题解答本题(2)(2)时时, ,易忽视易忽视c c1 1、c c2 2这两种特殊情这两种特殊情况况, ,从而造成错解从而造成错解; ;解答本题解答本题(3)(3)时时, ,根据根据c cn n列出使列出使ccn n 成为等比成为等比数列的充分条件是解题的关键数列的充分条件是解题的关键. .2.2.利用等比数列前利用等比数列前n n项和公式时，应注意公比项和公式时，应注意公比q q的取值，同时对的取值，同时对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，合理使用好性质，两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，合理

12、使用好性质，可提高解题速度可提高解题速度【变式训练】【变式训练】数列数列aan n 的前的前n n项和记为项和记为S Sn n,a,a1 1=1,a=1,an+1n+1=2S=2Sn n+1(n1).+1(n1).(1)(1)求求aan n 的通项公式的通项公式; ;(2)(2)等差数列等差数列bbn n 的各项为正，其前的各项为正，其前n n项和为项和为T Tn n，且，且T T3 3=15,=15,又又a a1 1+b+b1 1,a,a2 2+b+b2 2,a,a3 3+b+b3 3成等比数列，求成等比数列，求T Tn n. .【解析】【解析】(1)(1)由由a an+1n+1=2S=2S

13、n n+1,+1,可得可得a an n=2S=2Sn-1n-1+1(n2),+1(n2),两式相减得两式相减得a an+1n+1-a-an n=2a=2an n，则，则a an+1n+1=3a=3an n(n2).(n2).又又a a2 2=2S=2S1 1+1=3,a+1=3,a2 2=3a=3a1 1. .故故aan n 是首项为是首项为1 1，公比为，公比为3 3的等比数列，的等比数列，aan n=3=3n-1n-1. .(2)(2)设设bbn n 的公差为的公差为d,d,由由T T3 3=15,=15,即即b b1 1+b+b2 2+b+b3 3=15,=15,可得可得b b2 2=5

14、,=5,故可设故可设b b1 1=5-d,b=5-d,b3 3=5+d=5+d，又，又a a1 1=1,a=1,a2 2=3,a=3,a3 3=9=9，由题意可得，由题意可得(5-d+1)(5-d+1)(5+d+9)=(5+3)(5+d+9)=(5+3)2 2，解得，解得d d1 1=2,d=2,d2 2=-10.=-10.等差数列等差数列bbn n 的各项为正，的各项为正，dd0,0,d=2,bd=2,b1 1=3,=3,2nn n1T3n2n2n.2【变式备选】【变式备选】数列数列aan n 是首项是首项a a1 1=4=4的等比数列，其前的等比数列，其前n n项和为项和为S Sn n,

15、,且且S S3 3，S S2 2，S S4 4成等差数列成等差数列. .(1)(1)求数列求数列aan n 的通项公式；的通项公式；(2)(2)若若b bn n=log=log2 2|a|an n|(nN|(nN* *) )，设，设T Tn n为数列为数列 的前的前n n项项和，求证：和，求证：2n1n (b1)n5T.4【解析】【解析】设数列设数列aan n 的公比为的公比为q,q,(1)(1)若若q=1,q=1,则则S S3 3=12,S=12,S2 2=8,S=8,S4 4=16,=16,显然显然S S3 3，S S2 2，S S4 4不成等差数列，不成等差数列，与题设条件矛盾，所以与题

16、设条件矛盾，所以q1.q1.由由S S3 3，S S2 2，S S4 4成等差数列，得成等差数列，得化简，得化简，得q q2 2+q-2=0,+q-2=0,q=-2q=-2或或q=1(q=1(舍去舍去) )，aan n=4(-2)=4(-2)n-1n-1=(-2)=(-2)n+1n+1. .234111a 1 qa 1 qa 1 q2,1 q1 q1 q(2)b(2)bn n=log=log2 2|a|an n|=log|=log2 2|(-2)|(-2)n+1n+1|=n+1.|=n+1.当当n=1n=1时，时，当当n2n2时，时，则则n21115T1.1b12 14 232n1111nb1

17、nn1 n(n1)n n11112n1 nn n1，n333111T12n综上可知综上可知 对任意对任意nNnN* *恒成立恒成立. . 1111112 1 22 32 33 4 1111n2n1n1 nn1 nn n11 1111511.2 2n n1224 n5T4 数列的实际应用数列的实际应用【方法点睛】【方法点睛】 1.1.数列实际应用题的解题策略数列实际应用题的解题策略解等差、等比数列应用题时，首先要认真审题，深刻理解问题解等差、等比数列应用题时，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为

18、数学中的等差、等比数列问题，使关系明朗化、标准化然为数学中的等差、等比数列问题，使关系明朗化、标准化然后用等差、等比数列知识求解这其中体现了把实际问题数学后用等差、等比数列知识求解这其中体现了把实际问题数学化的能力，也就是所谓的数学建模能力化的能力，也就是所谓的数学建模能力2.2.等比数列中处理分期付款问题的注意事项等比数列中处理分期付款问题的注意事项(1)(1)准确计算出在贷款全部付清时，各期所付款额及利息和准确计算出在贷款全部付清时，各期所付款额及利息和( (注：注：最后一次付款没有利息最后一次付款没有利息) )(2)(2)明确各期所付的数额连同到最后一次付款时所生的利息之和明确各期所付的

19、数额连同到最后一次付款时所生的利息之和等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和只有掌握等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和只有掌握了这一点，才可以顺利建立等量关系了这一点，才可以顺利建立等量关系. .【提醒】【提醒】解数列应用题要明确问题属于等差数列问题还是等比解数列应用题要明确问题属于等差数列问题还是等比数列问题，是求数列问题，是求a an n还是求还是求S Sn n，特别是要弄清项数，特别是要弄清项数. .【例【例2 2】从经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并】从经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业以此发展旅游产业. .根据规划，本年度投

20、入根据规划，本年度投入800800万元，以后每年万元，以后每年投入将比上年减少投入将比上年减少 本年度当地旅游业估计收入本年度当地旅游业估计收入400400万元，由万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加会比上年增加 (1)(1)设设n n年内年内( (本年度为第一年本年度为第一年) )总投入为总投入为a an n万元，旅游业总收入万元，旅游业总收入为为b bn n万元，写出表达式；万元，写出表达式；(2)(2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？15，1.4

21、【解题指南】【解题指南】解决本题解决本题(1)(1)的关键是正确理解题意，根据题意找的关键是正确理解题意，根据题意找出第一年投入的金额和旅游业的收入，第二年投入的金额和旅出第一年投入的金额和旅游业的收入，第二年投入的金额和旅游业的收入，从而根据等比数列写出表达式；在解决第游业的收入，从而根据等比数列写出表达式；在解决第(2)(2)问时，问时，首先列出不等关系式，然后利用换元法解决首先列出不等关系式，然后利用换元法解决. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)第一年投入为第一年投入为800800万元，万元，第二年投入为第二年投入为 万元，万元，第第n n年的投入为年的投入为 万元，万元，所以所以

22、,n,n年内的总投入为：年内的总投入为：1800(1)5n 11800(1)5n 1nn11a800800(1)800(1)5544 0004 000( ) .5第一年旅游业收入为第一年旅游业收入为400400万元，第二年旅游业收入为万元，第二年旅游业收入为万元万元. .第第n n年旅游业收入为年旅游业收入为 万元万元, ,所以所以,n,n年内的旅游业总收入为年内的旅游业总收入为1400(1)4n 11400(1)4n 1nn11b400400(1)400(1)4451 600( )1 600.4(2)(2)设经过设经过n n年旅游业的总收入超过总投入，由此年旅游业的总收入超过总投入，由此b

23、bn n-a-an n0,0,即即化简得化简得设设 代入上式，得代入上式，得5x5x2 2-7x+20,-7x+20,解此不等式，得解此不等式，得 或或x1(x1(舍去舍去) )，即即 由此得由此得n5.n5.故至少经过故至少经过5 5年旅游业的总收入才能超过总投入年旅游业的总收入才能超过总投入. .nn541 600( )1 6004 0004 000( )0,45nn542( )5( )70,45n4( )x,52x5n42( ),55【反思【反思感悟】感悟】1.1.解答本题时，理解题意是关键，其中解答本题时，理解题意是关键，其中a an n,b,bn n是是等比数列的前等比数列的前n n

24、项和，而非第项和，而非第n n项项. .2.2.此类问题往往从应用题给出的初始条件入手，推出若干项，此类问题往往从应用题给出的初始条件入手，推出若干项，逐步探索数列通项或前逐步探索数列通项或前n n项和或前后两项的递推关系，从而建立项和或前后两项的递推关系，从而建立等比数列模型等比数列模型. .3.3.与等比数列联系较大的是与等比数列联系较大的是“增长率增长率”、“递减率递减率”的概念，的概念，在经济上多涉及利润、成本、效益的增减问题；在人口数量的在经济上多涉及利润、成本、效益的增减问题；在人口数量的研究中也要研究增长率问题；金融问题更多涉及复利的问题，研究中也要研究增长率问题；金融问题更多涉

25、及复利的问题，这都与等比数列有关这都与等比数列有关. .【变式训练】【变式训练】流行性感冒流行性感冒( (简称流感简称流感) )是由流感病毒引起的急性是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病呼吸道传染病. .某市去年某市去年1111月份曾发生流感月份曾发生流感. .据资料统计，据资料统计，1111月月1 1日，该市新的流感病毒感染者有日，该市新的流感病毒感染者有2020人，此后，每天的新感染者人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加平均比前一天的新感染者增加5050人人. .由于该市医疗部门采取措施，由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制使该种病毒的传播得到控制. .从某天起，

26、每天的新感染者平均比从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少前一天的新感染者减少3030人人. .到到1111月月3030日止，该市在这日止，该市在这3030日内感日内感染该病毒的患者总共有染该病毒的患者总共有8 6708 670人人. .问问1111月几日，该市感染此病毒月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求出这一天的新患者人数的新患者人数最多？并求出这一天的新患者人数. .【解析】【解析】设从设从1111月月1 1日起第日起第n(nNn(nN* *,1n30),1n30)日感染此病毒的日感染此病毒的新患者人数最多，则从新患者人数最多，则从1111月月1 1日至第日至第n n

27、日止，每日新患者人数依日止，每日新患者人数依次构成一个等差数列，这个等差数列的首项为次构成一个等差数列，这个等差数列的首项为2020，公差为，公差为5050，前前n n日的患者总人数即该数列的前日的患者总人数即该数列的前n n项之和项之和=25n=25n2 2-5n.-5n.nn n1S20n502从第从第n+1n+1日开始，至日开始，至1111月月3030日止，每日的新患者人数依次构成另日止，每日的新患者人数依次构成另一等差数列，这个等差数列的首项为一等差数列，这个等差数列的首项为20+(n-1)20+(n-1)5050-30 -30 =50n-60,=50n-60,公差为公差为-30-30

28、，项数为，项数为(30-n),(30-n)(30-n),(30-n)日的患者总人数为日的患者总人数为依题意依题意, ,得得S Sn n+T+T30-n30-n=8 670=8 670，即，即(25n(25n2 2-5n)+(-65n-5n)+(-65n2 2+2 445n-14 850)+2 445n-14 850)=8 670.=8 670.化简得化简得n n2 2-61n+588=0-61n+588=0，解得，解得n=12n=12或或n=49.n=49.30 n30n29nT(30n) 50n60( 30)22(30n) 65n49565n2 445n14 850. 1n301n30，n=

29、12.n=12.第第1212日的新患者人数为日的新患者人数为20+(12-1)20+(12-1)50=570.50=570.1111月月1212日，该市感染此病毒的新患者人数最多，且这一天的新日，该市感染此病毒的新患者人数最多，且这一天的新患者人数为患者人数为570570人人. . 数列与函数、不等式的综合应用数列与函数、不等式的综合应用【方法点睛】【方法点睛】 1.1.数列与函数的综合问题数列与函数的综合问题(1)(1)已知函数条件，解决数列问题，一般利用函数的性质、图象已知函数条件，解决数列问题，一般利用函数的性质、图象研究数列问题研究数列问题. .(2)(2)已知数列条件，解决函数问题，

30、一般要充分利用数列的项数已知数列条件，解决函数问题，一般要充分利用数列的项数范围、通项公式或前范围、通项公式或前n n项和公式对式子化简变形项和公式对式子化简变形. .2.2.数列与不等式的综合问题数列与不等式的综合问题(1)(1)以数列为背景的不等式恒成立问题，多与数列求和相联系，以数列为背景的不等式恒成立问题，多与数列求和相联系，最后利用函数的单调性求解最后利用函数的单调性求解. .(2)(2)以数列为背景的不等式证明问题，多与数列求和有关，有时以数列为背景的不等式证明问题，多与数列求和有关，有时利用放缩法证明利用放缩法证明. .【例【例3 3】已知函数】已知函数 数列数列aan n 满足

31、满足a a1 1=1,a=1,an+1n+1= = nNnN* *, ,(1)(1)求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式; ;(2)(2)令令T Tn n=a=a1 1a a2 2-a-a2 2a a3 3+a+a3 3a a4 4-a-a4 4a a5 5+-a+-a2n2na a2n+12n+1, ,求求T Tn n; ;(3)(3)令令 b b1 1=3,S=3,Sn n=b=b1 1+b+b2 2+b+bn n, ,若若对一切对一切nNnN* *成立，求最小正整数成立，求最小正整数m.m. 2x3f x,3xn1f(),ann 1n1bn2 ,aanm2 003S2【解题指南】

32、【解题指南】(1)(1)可由已知得可由已知得a an+1n+1与与a an n的关系，从而获解的关系，从而获解; ;(2)(2)利用等差数列的性质及裂项相消法去求解第利用等差数列的性质及裂项相消法去求解第(2)(2)、(3)(3)问问. .【规范解答】【规范解答】aan n 是以是以 为公差的等差数列为公差的等差数列. .又又a a1 1=1, =1, nn 1nn123a21af()a,a3323n21an.33(2)T(2)Tn n=a=a1 1a a2 2-a-a2 2a a3 3+a+a3 3a a4 4-a-a4 4a a5 5+ +-a-a2n2na a2n+12n+1=a=a2

33、2(a(a1 1-a-a3 3)+a)+a4 4(a(a3 3-a-a5 5)+)+a+a2n2n(a(a2n-12n-1-a-a2n+12n+1) )242n24(aaa )354n1n()443332n3n .329 (3)(3)当当n2n2时，时，SSn n=b=b1 1+b+b2 2+ +b+bn nnn 1n11b2121aa( n)( n)3333911(),2 2n12n1191b3(1),23又911111(1)23352n12n1919n(1),22n12n1 对一切对一切nNnN* *成立成立. . 递增，且递增，且 即即m2 012.m2 012.最小正整数最小正整数m=

34、2 012. m=2 012. n9nm2 003S2n129n91(1)2n122n19n9.2n12m2 0039,22【反思【反思感悟】感悟】1.1.本题中在求最小正整数本题中在求最小正整数m m的值时，把问题转化的值时，把问题转化为不等式恒成立问题，而为不等式恒成立问题，而S Sn n最值的求法使用了数列的单调性最值的求法使用了数列的单调性. .2.2.数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明问题及以函数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点，数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点，该类综合题的知识综合

35、性强，能很好地考查逻辑推理能力和运该类综合题的知识综合性强，能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力，因而一直成为高考命题者的首选算求解能力，因而一直成为高考命题者的首选. . 【变式训练】【变式训练】已知数列已知数列aan n,b,bn n ，其中，其中 数列数列aan n 的前的前n n项和项和S Sn n=n=n2 2a an n(nN(nN* *) )，数列，数列bbn n 满足满足b b1 1=2,b=2,bn+1n+1=2b=2bn n. .(1)(1)求数列求数列aan n,b,bn n 的通项公式的通项公式; ;(2)(2)是否存在自然数是否存在自然数m m，使得对于任意，使得对

36、于任意nNnN* *,n2,n2，有，有 恒成立？若存在，求出恒成立？若存在，求出m m的最小值的最小值. .11a2，12n 1111m81bbb4【解析】【解析】(1)(1)因为因为S Sn n=n=n2 2a an n(nN(nN* *),),当当n2n2时，时，S Sn-1n-1=(n-1)=(n-1)2 2a an-1n-1. .所以所以a an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1=n=n2 2a an n-(n-1)-(n-1)2 2a an-1n-1. .所以所以(n+1)a(n+1)an n=(n-1)a=(n-1)an-1n-1. .所以所以n1n 1an11.a,an12

37、即又3nn 1n 22n1n 1n 2n 321aaaaaaaaaaaan1 n2 n32 1 11.n1nn14 3 2n n1当当n=1n=1时，上式也成立，故时，上式也成立，故因为因为b b1 1=2,b=2,bn+1n+1=2b=2bn n. .所以所以bbn n 是首项为是首项为2 2，公比为，公比为2 2的等比数列，故的等比数列，故b bn n=2=2n n. .(2)(2)由由(1)(1)知，知，b bn n=2=2n n. .则则假设存在自然数假设存在自然数m m，使得对于任意，使得对于任意nNnN* *,n2,n2,有有n1a.n n12n 112n 111111111bbb

38、222 n 112.212n 1111m81,bbb4恒成立即即 恒成立恒成立. .由由 解得解得m16.m16.所以存在自然数所以存在自然数m m，使得对于任意，使得对于任意nNnN* *,n2,n2,有有 恒成立恒成立. .此时此时m m的最小值为的最小值为16. 16. n 11m8224m824 ，111b2n 111m8bb4【满分指导】【满分指导】数列与函数的综合应用解答题的规范解答数列与函数的综合应用解答题的规范解答【典例】【典例】(14(14分分)(2011)(2011陕西高考陕西高考) )如图，从点如图，从点P P1 1(0,0)(0,0)作作x x轴的轴的垂线交曲线垂线交曲

39、线y=ey=ex x于点于点Q Q1 1(0,1)(0,1)，曲线在，曲线在Q Q1 1点处的切线与点处的切线与x x轴交于点轴交于点P P2 2. .再从再从P P2 2作作x x轴的垂线交曲线于点轴的垂线交曲线于点Q Q2 2，依次重复上述过程得到一，依次重复上述过程得到一系列点：系列点：P P1 1，Q Q1 1;P;P2 2，Q Q2 2；P Pn n，Q Qn n，记，记P Pk k点的坐标为点的坐标为(x(xk k,0)(k= 1,2,n).,0)(k= 1,2,n).(1)(1)试求试求x xk k与与x xk-1k-1的关系的关系(k=2,n);(k=2,n);(2)(2)求求

40、|P|P1 1Q Q1 1|+|P|+|P2 2Q Q2 2|+|P|+|P3 3Q Q3 3|+|P|+|Pn nQ Qn n|.|.【解题指南】【解题指南】(1)(1)求出曲线求出曲线y=ey=ex x在点在点 处的切线方处的切线方程，令程，令y=0y=0可得可得x xk k与与x xk-1k-1的关系的关系. .(2)(2)把线段长转化为点的纵坐标，利用等比数列求和公式求解把线段长转化为点的纵坐标，利用等比数列求和公式求解. .k 1xk 1k 1Q(x,e)【规范解答】【规范解答】(1)(1)设点设点P Pk-1k-1的坐标是的坐标是(x(xk-1k-1,0), y=e,0), y=e

41、x x, ,yy=e=ex x, , 3 3分分 在点在点 处的切线方程是处的切线方程是则则x xk k=x=xk-1k-1-1(k=2,-1(k=2,n). ,n). 6 6分分k 1xk 1k 1Qx,e，k 1xk 1k 1Q(x,e)k 1k 1xxk 1yeexx,y0,令 9 9分分于是有于是有|P|P1 1Q Q1 1|+|P|+|P2 2Q Q2 2|+|P|+|P3 3Q Q3 3|+|+|P+|Pn nQ Qn n| |=1+e=1+e-1-1+e+e-2-2+ +e+e-(n-1)-(n-1)= =即即|P|P1 1Q Q1 1|+|P|+|P2 2Q Q2 2|+|P|

42、+|P3 3Q Q3 3|+|+|P+|Pn nQ Qn n| | 1414分分 1kk 1k2x0,xx1,xk1 , kk 1xkkP Qee,n1 n11 eee,1 ee 11 nee.e 1【阅卷人点拨】【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：得到以下失分警示和备考建议：失失分分警警示示 在解答本题时有两点容易造成失分：在解答本题时有两点容易造成失分：(1)(1)不明确题意，无法求出在点不明确题意，无法求出在点 处的切处的切线方程线方程. .(2)(2)对数列的应用意识较差，不会把求和问题转化为数列对数

43、列的应用意识较差，不会把求和问题转化为数列求和解决求和解决. . k 1xk 1k 1Q(x,e)备备考考建建议议 解决数列与其他知识的综合问题时，还有以下几点容易造成解决数列与其他知识的综合问题时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：失分，在备考时要高度关注：(1)(1)等差、等比数列通项公式及求和公式记忆错误；等差、等比数列通项公式及求和公式记忆错误；(2)(2)不能熟练掌握函数、方程、三角、不等式等知识，从而不能熟练掌握函数、方程、三角、不等式等知识，从而不能顺利地利用数列知识解题不能顺利地利用数列知识解题. .(3)(3)不能合理利用分类讨论、函数与方程、等价转化、数形不能合理利用分类讨论、函数与方程、等价转化、数形结合等思想方法解题结合等思想方法解题. .另外培养对数列知识的应用意识，当问题与自然数另外培养对数列知识的应用意识，当问题与自然数n n有关时，有关时，可考虑是否能用数列知识解决可考虑是否能用数列知识解决. . 1.(20121.(2012南京模拟南京模拟) )已知数列已知数列