第五章 谐振与互感电路

1、4.1 电路的频率特性及网络函数电路的频率特性及网络函数 第第五五章章 谐振与互感电路谐振与互感电路5 5. .1 1 谐振电路谐振电路谐振是正弦电路在特定条件下所产生的一种特殊物理现谐振是正弦电路在特定条件下所产生的一种特殊物理现象，作为电路计算没有新内容，主要分析谐振电路的特点。象，作为电路计算没有新内容，主要分析谐振电路的特点。对于任何含有电感和（或）电容的一端口网络，在对于任何含有电感和（或）电容的一端口网络，在一定的条件下端口呈现电阻性，即其端口电压与电流同一定的条件下端口呈现电阻性，即其端口电压与电流同相位，则称此一端口网络发生相位，则称此一端口网络发生谐振谐振（resonance

2、）。）。当当LC振荡回路和信号源串联相接时发生的谐振称为振荡回路和信号源串联相接时发生的谐振称为串联谐串联谐振振（series resonance），对应的电路为），对应的电路为串联谐振电路串联谐振电路. C CLRA AV VE.I.串联串联谐振谐振电路电路5.1.1 串联谐振电路串联谐振电路C CLRA AV VE.I.电路元件是串联的，电路元件是串联的，用用交流电流表测电路交流电流表测电路中的电流，交流电压表测元件上的电压中的电流，交流电压表测元件上的电压 。 当改变信号源频率时（必须保证信号源的输出电压为当改变信号源频率时（必须保证信号源的输出电压为恒定值），发现在某一频率恒定值），发

3、现在某一频率f0时电流表的指示最大。这时时电流表的指示最大。这时若用电压表测量电感线圈两端的电压和电容器两端的电压，若用电压表测量电感线圈两端的电压和电容器两端的电压，就会发现二电压大体相等并且比信号源电压大许多倍。当就会发现二电压大体相等并且比信号源电压大许多倍。当信号源频率高于或低于频率信号源频率高于或低于频率f0时，电路的电流明显减小。时，电路的电流明显减小。该电路在某一信号源频率该电路在某一信号源频率 f0 时出现最大电流的现象，就时出现最大电流的现象，就称为这一电路在频率称为这一电路在频率 f0 发生了发生了串联谐振串联谐振。)1()(CLjRjZ 串联谐振条件：串联谐振条件：010

4、)(Im00 CLjZ 或或串联谐振频率：串联谐振频率：LC10 LCf 210 串联谐振频率由电路参数串联谐振频率由电路参数L、C 决定，与电阻无关。决定，与电阻无关。要想改变谐振频率，只需改变要想改变谐振频率，只需改变 L 或或 C 即可。即可。 Lj R+- -Cj 1 I U2. 谐振回路的总谐振回路的总阻抗阻抗Z最小，最小，为为纯电阻，即纯电阻，即Z=R。电路中阻抗值。电路中阻抗值|Z|最小。最小。当电路发生串联谐振时具有如下特性：当电路发生串联谐振时具有如下特性： U U. . . .1 1I I 与与 同同相相 IR L+_ U CX( )|Z( )|XL( )XC( )R 0

5、Z ( )O3. 响应电流响应电流I达到最大值达到最大值I0=U/R 4. 两个储能元件储能之和在任何两个储能元件储能之和在任何时刻为定值，即时刻为定值，即 21( )( )( )2LCCMW tW tWtCU5.电压谐振电压谐振QEECRRECIcUQEERLRELLIUoCoL00000000111在发生串联谐振时，在发生串联谐振时，L及及C上的电压值上的电压值CLRCRRLQ1100LU CU RU I谐振时的相量图谐振时的相量图谐振时线圈上的电压和电容器谐振时线圈上的电压和电容器上的电压大小相等，且均为信上的电压大小相等，且均为信号源电压的号源电压的Q倍，方向相反，倍，方向相反，相互抵

6、消，通常称串联谐振为相互抵消，通常称串联谐振为电压谐振电压谐振。定义定义RLC串联电路的品质因数串联电路的品质因数定义谐振时的感抗、容抗为特性阻抗定义谐振时的感抗、容抗为特性阻抗, ,即即CLCL001谐振时，谐振时，UL和和UC是外施电压是外施电压Q倍，如倍，如 0L=1/( 0C )R ，则则 Q 很高，很高，L 和和 C 上出现高电压，称上出现高电压，称过电压过电压现象。这种现象现象。这种现象有时候可以被利用，但有时候要加以避免。有时候可以被利用，但有时候要加以避免。例：例： 某收音机某收音机 C=150pF，L=250mH，R=20 但在电力系统中，由于电源电压本身比较高，一旦发生但在

7、电力系统中，由于电源电压本身比较高，一旦发生谐振，会因过电压而击穿绝缘，损坏设备。应尽量避免。谐振，会因过电压而击穿绝缘，损坏设备。应尽量避免。如信号电压如信号电压1mV , 电感上电压约电感上电压约2040mV。这可以被利用。这可以被利用。0 0L LQ2041Q2041R R 5 50 01 11 1. .6 63 33 31 10 0 r ra ad d/ /s sL LCC 6 6、谐振时的功率谐振时的功率P=UIcos UIRI02=U2/R，电源向电路输送电阻消耗的功率，电阻功率达最大。电源向电路输送电阻消耗的功率，电阻功率达最大。0sin CLQQUIQ 2002002001 ,

8、 LIICQLIQCL电源不向电路输送无功。电电源不向电路输送无功。电感中的无功与电容中的无功感中的无功与电容中的无功大小相等，互相补偿，彼此大小相等，互相补偿，彼此进行能量交换。进行能量交换。+_PQLCR例、图示电路，正弦电压有效值例、图示电路，正弦电压有效值,20,10,10mHLRVU 值值。和和、电电压压的的频频率率。求求正正弦弦电电压压时时，电电流流当当电电容容QUUuAIpFCCL 1200 Lj R+- -Cj 1 I U LU CU 10IUZjXRZ 22XRZ 221010X 0 X电路发生串联谐振，有电路发生串联谐振，有01 CL sradLC/10515 VLIUUC

9、L10000 1000 RLUUQL 例例5-15-1RC1su2su3suCL 图示电路欲接收载波频率为图示电路欲接收载波频率为1010MHZ，U=0.15=0.15mV的的某短波电台信号，线圈某短波电台信号，线圈L=5.1=5.1H，R =2.3=2.3。求：。求：（1 1）电容）电容C0值，电路的值，电路的Q值，电流值，电流I0，电容电压，电容电压UC0；（2 2）当频率增加）当频率增加1010而电源不变时，电流而电源不变时，电流I及电容电压及电容电压UC。解：（1）pFLC7 .49101 . 5)10102(11626200139107 .49101 . 53 . 211126CLR

10、QAmARUI2 .650652. 03 . 215. 00mVQUUC85.2015. 01390 MHzff1110%)101(%)101(01.291107.49101121211260fCXC5.352101.510112266fLXL43.61) 1 .2915 .352(3 . 2)(2222CLXXRZAZUI44.243.611015.03VmVIXUCC711711.01.2911044.26（2） 可见频率偏移量较小时，电容电压（以及电流）减少的可见频率偏移量较小时，电容电压（以及电流）减少的很多，因此这个电路的选择性较好。很多，因此这个电路的选择性较好。 串联谐振电路的选

11、频特性串联谐振电路的选频特性如果信号频率不等于回路谐振频率，回路就不满足谐振条件，如果信号频率不等于回路谐振频率，回路就不满足谐振条件，这时就称回路对于该信号处在这时就称回路对于该信号处在失谐失谐（或（或失调失调）的状态。）的状态。研究回路的选频特性，就是研究回路处在谐振和失谐状态研究回路的选频特性，就是研究回路处在谐振和失谐状态下回路中电流和元件上电压的变化规律。下回路中电流和元件上电压的变化规律。回路中响回路中响应电流的应电流的振幅和相振幅和相位都是信位都是信号频率的号频率的函数，有函数，有 22200000220011()1()1()XEEILRLCRRCIQ=+-+-=+-或或2002

12、0)(11QII20020)(11QIIQ=100Q=50Q=2010II0.70700从谐振曲线可看出回路从谐振曲线可看出回路Q值对谐振特性的影响，值对谐振特性的影响，Q值值越高，谐振曲线就越尖锐。越高，谐振曲线就越尖锐。可做出对不同可做出对不同Q值的串联谐值的串联谐振电路的电流相对值振电路的电流相对值 I/ I0随随频率相对值频率相对值w/ w0的曲线，的曲线，以显示回路响应电流的幅频以显示回路响应电流的幅频特性，通常就称它为特性，通常就称它为谐振曲谐振曲线线 Q=100 ( ) / 0O /2 /21响应电流的相频特性为响应电流的相频特性为)(ooarctgQRClLarctg回路电流滞

13、后于信号源电压的相移回路电流滞后于信号源电压的相移随频率相对值随频率相对值 / o 变化的曲线，变化的曲线，称为回路电流的称为回路电流的相位特性曲线相位特性曲线。 当当 / o 1即即 1即即 o时，总阻抗呈时，总阻抗呈感感性性 谐振曲线谐振曲线和和相位特性曲线相位特性曲线来表示回路的谐振特性时，来表示回路的谐振特性时，对不同对不同Q值的电路要做出不同的谐振曲线。值的电路要做出不同的谐振曲线。 RXRCLQ1)(00取取 为变量，则对于所有串联谐振电路都有共同的谐振曲线为变量，则对于所有串联谐振电路都有共同的谐振曲线及相位特性曲线，及相位特性曲线，称为称为通用谐振曲线通用谐振曲线及及通用相位特

14、性曲线通用相位特性曲线令令谐振电路电抗与电阻值之比谐振电路电抗与电阻值之比 是一个用来衡量信号频率与回路谐振频率偏离的程度是一个用来衡量信号频率与回路谐振频率偏离的程度（也就是失谐程度）的量。而且不论是信号源频率变动或（也就是失谐程度）的量。而且不论是信号源频率变动或是谐振电路的参量是谐振电路的参量Q或或 o变动所引起的失谐，都能在变动所引起的失谐，都能在 值值中得到反映。中得到反映。应用应用 这一变量，可得串联谐振电路的谐振曲线与相这一变量，可得串联谐振电路的谐振曲线与相位特性曲线方程式分别为位特性曲线方程式分别为2011IIarctg通用通用谐振谐振曲线曲线0I0I1 电流就越小，因而串联

15、谐振电路具有带通滤波器的特性。在谐振频率电流就越小，因而串联谐振电路具有带通滤波器的特性。在谐振频率附近比较窄的一段频带内，它具有远优于附近比较窄的一段频带内，它具有远优于RC带通滤波器的选频特性。带通滤波器的选频特性。还可看到，回路的还可看到，回路的Q值越高，曲线就越陡，选频特性也就越好。值越高，曲线就越陡，选频特性也就越好。 谐振电路具有的选出所需信号而同时抑制不需要信号的谐振电路具有的选出所需信号而同时抑制不需要信号的能力称为电路的能力称为电路的选择性选择性。 由通用由通用谐振曲线可以看出，在谐振时谐振曲线可以看出，在谐振时回路电流出现最大值，当电路失谐时，回路电流出现最大值，当电路失谐

16、时，回路电流随之减小，信号源的频率与回路电流随之减小，信号源的频率与电路的谐振频率相差越大，回路电路的谐振频率相差越大，回路通用通用相位相位特性特性曲线曲线 0-90-900 0 90900 0 由由相位特性曲线可以看出，谐振时回路电流与信号源相位特性曲线可以看出，谐振时回路电流与信号源电压同相。在谐振频率附近，相位随频率的变化近于电压同相。在谐振频率附近，相位随频率的变化近于直线关系。电路的直线关系。电路的Q值越高，这一段相位特性曲线也越值越高，这一段相位特性曲线也越陡峭，使这一近于直线段的频率范围也就越小。陡峭，使这一近于直线段的频率范围也就越小。 arctg在实际的电路中，直接应用的通常

17、不是电路的响应电流而是电路在实际的电路中，直接应用的通常不是电路的响应电流而是电路中电抗元件上的响应电压。例如收音机的输入电路，调节可变电中电抗元件上的响应电压。例如收音机的输入电路，调节可变电容器选择需要收听的广播电台的信号，实际上不是调到回路电流容器选择需要收听的广播电台的信号，实际上不是调到回路电流最大而是调到电容上的电压最高。因此，需要进一步分析谐振电最大而是调到电容上的电压最高。因此，需要进一步分析谐振电路电容元件上响应电压的谐振特性。路电容元件上响应电压的谐振特性。 )2(200)2(2000)2( j201 1 11jjjCCeIQEeICREeICIXU因为因为QE=UC0是谐

18、振时电容元件上是谐振时电容元件上的电压，故用电容元件电压的相对的电压，故用电容元件电压的相对值来表示的谐振曲线方程式为值来表示的谐振曲线方程式为20001IUUCC与回路电流的谐振曲线方程式相比，仅须乘上一个校正因与回路电流的谐振曲线方程式相比，仅须乘上一个校正因数数 / o，这在谐振频率附近，影响是很小的。，这在谐振频率附近，影响是很小的。 串联谐振电路的通频带串联谐振电路的通频带0I0I1 0.7070.7071-1谐振电路通频带的界限定在谐振谐振电路通频带的界限定在谐振曲线的半功率点，即谐振曲线上曲线的半功率点，即谐振曲线上 0II21 的一段频带范围的一段频带范围定为串联谐振电路的定为

19、串联谐振电路的通频带通频带 。当当 0II21 时，时， = 1。 101()1oQ-=202()1oQ-= -在上限频率在上限频率 1处处在下限频率在下限频率 2处处001200102020211001)(2 )(2 1wwwwQQ2001Q2020QB021在在 1， 2， 0相差不大的情况下（电路中的相差不大的情况下（电路中的Q值较高），近似有值较高），近似有从而从而 并有并有因此，谐振电路的通频带因此，谐振电路的通频带或或QfBBf100 QfBBf1000f具体方法是：将信号与谐振回路串联，调节信号发生器具体方法是：将信号与谐振回路串联，调节信号发生器的信号频率的信号频率f，使它等于

20、回路的谐振频率，使它等于回路的谐振频率 ，这时回路，这时回路电流或电抗元件上的电压达最大值；电流或电抗元件上的电压达最大值；21ff 及然后加大或减小信号频率而保持信号源输出电压值不变，然后加大或减小信号频率而保持信号源输出电压值不变，使回路电流或电抗元件上的电压降低到最大值的使回路电流或电抗元件上的电压降低到最大值的70.7%，记下记下)(210fff回路的回路的Q值就等于值就等于用来测量谐振回路的用来测量谐振回路的Q值值 SI+_G UGI LI CI Lj 1Cj )1(1)(LCjGCjLjGjY 。此时电路发生并联谐振同相，和时，当SIULCB01000)(Im0 jYLC10 LC

21、f 210 谐振条件：谐振条件：谐振频率：谐振频率：5.1.2 并并联谐振电路联谐振电路 SI+_G UGI LI CI Lj 1Cj 输输入入导导纳纳模模取取得得最最小小值值电电路路发发生生并并联联谐谐振振时时，GBGjY 220)( SRIU )(0 谐振时端电压达到最大值谐振时端电压达到最大值RGjZ 1)(0 0 CLSGIIII，并并联联谐谐振振时时，0并不等于并不等于和和但但CLII GICjUCjILGIjLjUISCSL 0000 LI UCI GI SI SI+_G UGI LI CI Lj 1Cj LCGGCLGIIIIQSCSL11)()(0000 会会出出现现过过电电流

22、流现现象象。支支路路上上就就越越大大，在在电电感感和和电电容容和和越越大大，)()(00 CLIIQ。，有有功功功功率率取取得得最最大大值值为为并并联联谐谐振振时时，功功率率因因数数1GICjUCjILGIjLjUISCSL 0000 0,2002 CLCLQQCUQLUQ LRCUILICI+_LjRCjjY 1)()(222222LRLCjLRR 0)(Im0 jY0220200 LRLC LCRLCCLCRL222011 012 LCRCLR LCRjY )(0 工程上常用电感线圈和电容并联的谐振电路工程上常用电感线圈和电容并联的谐振电路发生谐振发生谐振 ULI CI I需要强调指出：这

23、里对并联谐振电路之所以能得出需要强调指出：这里对并联谐振电路之所以能得出形式上与串联谐振电路完全相似的计算公式，是由形式上与串联谐振电路完全相似的计算公式，是由于分析的并联谐振电路采用了于分析的并联谐振电路采用了R、L、C三者相并联三者相并联的这一典型电路。这一电路与串联谐振电路的的这一典型电路。这一电路与串联谐振电路的R、L、C三者相串联具有对偶形式。三者相串联具有对偶形式。 串联谐振电路与并联谐振比较串联谐振电路与并联谐振比较C CLREs.I.L LrC CIs. .U. .LC10LC10sCLsQEUURZREI 00,CRRLQ001 LrLGCrGCQ00001 sLCssQII

24、IrGZGYrIGIU 1,000 arctgIIIU ,1120 arctgUUUIo ,1125.2 互感互感一、一、 互感互感当线圈当线圈1中通入电流中通入电流i1时，在线圈时，在线圈1中产生磁通中产生磁通(magnetic flux) 11 ，产生的自感磁通链为，产生的自感磁通链为 11 ，同时，有部分磁通穿，同时，有部分磁通穿过临近线圈过临近线圈2，产生互感磁通链为，产生互感磁通链为 21 。i1 11 = N1 11 , 21 = N2 21 +u11+u21N1N2 11 21i1当线圈当线圈2中通入电流中通入电流i2时，在线圈时，在线圈2中产生磁通中产生磁通 22 ，产，产生的

25、自感磁通链为生的自感磁通链为 22 ，同时，有部分磁通穿过临近线圈，同时，有部分磁通穿过临近线圈1，产生互感磁通链为产生互感磁通链为 12 。每个耦合线圈中的磁通链等于自感。每个耦合线圈中的磁通链等于自感磁通链和互感磁通链的代数和。即：磁通链和互感磁通链的代数和。即：+u11+u21N1N2 1 = 11 12 2 = 21+ 22 12 22i2当线圈周围无铁磁物质当线圈周围无铁磁物质(空心线圈空心线圈)时，时， 11、 21与与i1成正比，成正比， 12、 22与与i2成正比。即：成正比。即： 11 = L1 i1， 21 = M21 i1， 22 = L2 i2， 12 = M12 i2

26、。为自感系数，单位亨为自感系数，单位亨称称，H)( 11111LiL ）。的的互互感感系系数数，单单位位亨亨（对对线线圈圈为为线线圈圈称称，H21 2112121MiM M21 = M12 =M M 恒大于零恒大于零 1 = L1 i1 M i2 2 = M i1 + L2 i2互感的图形符号互感的图形符号 “* *”号表示互感号表示互感的同名端的同名端 L L1 1、L L2 2 代表自感代表自感M M 代表互感代表互感M2i1i2u1u+*L1L2二、互感线圈的二、互感线圈的同名端同名端 1 = L1 i1 M i2 2 = M i1 + L2 i2 i1*L1L2+_u1+_u2i2M

27、21+u11+u21i1 11N1N2i2i2 +u11+u21i1 11 0N1N2+u31N3 s 同名端表明了线圈的相互绕法关系。同名端表明了线圈的相互绕法关系。确定同名端的方法：确定同名端的方法：(1) 当两个线圈中电流同时由同名端流入当两个线圈中电流同时由同名端流入(或流出或流出)时，两个时，两个电流产生的磁场相互增强。（根据绕向判别）电流产生的磁场相互增强。（根据绕向判别） i1122*(2) 当随时间增大的时变电流从一当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时，将会引起线圈的一端流入时，将会引起另一线圈相应同名端的电位升另一线圈相应同名端的电位升高。高。(实验法判别实验法判别)V

28、+i1122*R S电压表正偏电压表正偏，则，则1、2为同名端为同名端。0 , 0 22 dtdiMudtdi如图电路，当闭合开关如图电路，当闭合开关S时，时，i 增加，增加，交流法测定同名端交流法测定同名端1 1、2 2是一线圈两端，是一线圈两端，3 3、4 4为另一线为另一线圈两端。用导线将两线圈的一端相圈两端。用导线将两线圈的一端相连（图中连（图中2 2、4 4），线圈），线圈1212接交流电接交流电源，用交流电压表测量（源，用交流电压表测量（1 1，3 3）端）端电压，若此电压比两个线圈各自的电压，若此电压比两个线圈各自的端电压都大，则（端电压都大，则（1 1，4 4）为同名端；）为同

29、名端；否则，（否则，（1 1，3 3）端为同名端）端为同名端 线圈线圈1212通过开关通过开关s s接通一直流接通一直流电源，当开关闭合瞬间，若电源，当开关闭合瞬间，若直流毫安表指针瞬时正偏，直流毫安表指针瞬时正偏，则表明则表明1 1，3 3端为同名端；若端为同名端；若直流毫安表指针瞬时反偏，直流毫安表指针瞬时反偏，则表明则表明1 1，4 4端为同名端。端为同名端。 u-+V1234UmA1234+-S直流法测定同名端直流法测定同名端 当两个线圈同时通以变动的电流时，各电当两个线圈同时通以变动的电流时，各电感的磁链将随电流的变动而变动，在每个线圈两感的磁链将随电流的变动而变动，在每个线圈两端将

30、产生感应电压（包含自感电压和互感电压），端将产生感应电压（包含自感电压和互感电压），设设L1 和和L2的电压和电流分别为的电压和电流分别为 u1 、 i1和和u2 、 i2 ，且方向为关联参考方向，互感为且方向为关联参考方向，互感为M，则有，则有 ：注意：如果互感电压注意：如果互感电压“+”极性端子与产生它的电极性端子与产生它的电流流进的端子为一对同名端时，互感电压前应取流流进的端子为一对同名端时，互感电压前应取“+”号，反之取号，反之取“-”号。号。dtdiL dtdiMuudtd u dtdiM dtdiLuudtd u221222122211121111 三、互感线圈的三、互感线圈的伏安

31、特性伏安特性i1*L1L2+_u1+_u2i2M)tsin(dtdiL dtdiMu )tsin(dtdiM dtdiLu10150105022122111 i1*L1L2+_u1+_u2i2Mu1u2 Mi iLdtd u Mi iLdtd u122222211111, i1*L1L2+_u1+_u2i2M在正弦交流电路中，其相量形式的方程为在正弦交流电路中，其相量形式的方程为22122111 jjjj ILIMUIMILUj L11 I2 Ij L2+2 j IM1 j IM+2 U+1 UdtdiL dtdiMu dtdiM dtdiLu22122111 耦合系数耦合系数 (coupli

32、ng coefficient)k：紧密紧密k k。影响影响 k大小的因素有线圈结构、相互位置大小的因素有线圈结构、相互位置及周围介质及周围介质.全耦合全耦合: 11= 21， 22 = 1221defLLMk 1 , , , 2122121122121121212122222211111 k LLMLLMM iNMiNMiNLiNL可以证明，可以证明，k 1。 例例5-5-4 412222111IMjILjUIMjILjU1Lj+_1U2Lj2U1I2IMj+_（a)（a a）解：解：写出图示互感元件相量模型的电压电流关系式。写出图示互感元件相量模型的电压电流关系式。 （b b）1222211

33、1IMjILjUIMjILjU1Lj+_1U2Lj2U1I2IMj+_(b)对于互感电路，可直接应用回路法、对于互感电路，可直接应用回路法、支路电流法支路电流法等进等进行求解。须注意含有互感的线圈上同时含有互感电压和自行求解。须注意含有互感的线圈上同时含有互感电压和自感电压，在列感电压，在列KVL方程时要正确计入互感电压。或者可以方程时要正确计入互感电压。或者可以用用CCVS来表示互感电压的作用。来表示互感电压的作用。一、分析含互感电路的一般分析方法一、分析含互感电路的一般分析方法对于有些含耦合电感的电路，为分析简便起见，可以对于有些含耦合电感的电路，为分析简便起见，可以先进行先进行“去耦去耦

34、”处理处理(即等效为无互感作用的电感即等效为无互感作用的电感)，再进，再进行分析。行分析。二、有些含互感的电路可以先简化，再进行分析二、有些含互感的电路可以先简化，再进行分析对于含互感电路的分析，常用去耦等效法和受控源等效法对于含互感电路的分析，常用去耦等效法和受控源等效法 5.3 含互感电路的分析含互感电路的分析一、互感线圈的串联电路一、互感线圈的串联电路1. 顺串顺串(即互感起增助作用即互感起增助作用)电路的去耦：电路的去耦：i*u2+MR1R2L1L2u1+u+顺串电路顺串电路电流电流i从两线圈的同名端流入，这种接法称为从两线圈的同名端流入，这种接法称为顺串顺串 5. 3. 1 去耦等效

35、法去耦等效法tiLRitiMLLiRRiRtiMtiLtiMtiLiRudddd)2()( dddddddd21212211 MLLLRRR2 2121 i*u2+MR1R2L1L2u1+u+iRLu+顺串电路顺串电路顺串电路的去耦等效电路顺串电路的去耦等效电路i*u2+R1R2L1L2u1+u+M反串电路：反串电路：2. 反串反串(即互感起削弱作用即互感起削弱作用)电路的去耦：电路的去耦：电流电流i从两线圈的异名端流入，称为从两线圈的异名端流入，称为反串反串。 i*u2+MR1R2L1L2u1+u+iRLu+MLLLRRR2 2121 tiMtiLiRutiMtiLiRudddddddd22

36、2111 )(2121LLM 互感不大于两个自感的算术平均值。互感不大于两个自感的算术平均值。02 21 MLLLtiLRiti)MLL(i )RR(uuudddd2212121 在正弦激励下：在正弦激励下：*+R1R2j L1+j L2 1 1U 2 2U j M U I 1 12 21 12 2( () )( (2 2) )URRIjLLMI RjLIU根据上式可以给出去耦等效电路的根据上式可以给出去耦等效电路的相量模型相量模型 ： I 1IR 1jIL jIM 2IR 2jIL jIM1 U2 U U相量图：相量图：U.IL j2.IR1.I.1U.IL j1.IR2. I M j .2

37、U.顺串电路顺串电路反反串电路串电路二、二、 互感线圈的并联电路的去耦互感线圈的并联电路的去耦1. 同侧并同侧并联联电路的去耦：电路的去耦：线圈的同名端在同一侧，称为线圈的同名端在同一侧，称为同侧并同侧并联联。 *j L1 3 3I 2 I+j L2j M 1 1I U 10R1R2同侧并同侧并联联电路电路 1 12 21 11 1( (j j) )j jURL IM I 1 12 22 22 2j j( (+ +j j) )UM IRLI 312312III整理得整理得*j L1 3 3I 2 I+j L2j M 1 1I U 10R1R2 31311111j+R +j ()j+R +j (

38、)UM I LMI 32322222j+R +j ()j+R +j ()UM I LMI j (L1-M) 3 3I 2 I+ 1 1I U 10R1R21j (L2-M)j M同侧并同侧并联联电路的去耦等效电路电路的去耦等效电路同侧并同侧并联联电路电路注意：节点注意：节点1的位置的位置 联立解得：联立解得： KCL： 得等效阻抗得等效阻抗 UZZZZZIMM22121UZZZZZIMM22112UZZZZZZIIIMM221212132MMeqZZZZZZIUZ2212213若若021 RReqeqLjMLLMLLjZ221221MLLMLLLeq221221则则2. 异侧并异侧并联联电路的

39、去耦：电路的去耦：电路中，同名端不在同一侧，称为电路中，同名端不在同一侧，称为异侧并异侧并联联。 *j L1 3 3I 2 I+j L2j M 1 1I U 10R1R2异侧并异侧并联联电路电路 12121111(j)j(j)jURL IM I 1 12 22 22 2j j( (+ +j j) )UM IRLI 312312III整理得整理得 31311111j+R +j ()j+R +j ()UM I LMI 32322222j+R +j ()j+R +j ()UM I LMIj (L1+M) 3 3I 2 I+ 1 1I U 10R1R21j (L2+M)j M异侧并异侧并联联电路的去耦

40、等效电路电路的去耦等效电路异侧并异侧并联联电路电路*j L1 3 3I 2 I+j L2j M 1 1I U 10R1R2注意：节点注意：节点1的位置的位置MMeqZZZZZZIUZ2212213021 RReqeqLjMLLMLLjZ221221MLLMLLLeq221221可见可见: : 同侧并联时，磁场增强，等效电感增加；同侧并联时，磁场增强，等效电感增加； 异侧并联时，磁场减弱，等效电感减少。异侧并联时，磁场减弱，等效电感减少。则则若若等效阻抗等效阻抗三、三端互感的去耦等效电路三、三端互感的去耦等效电路 （1）当）当同名端同名端联在联在同一节点同一节点上时（同名端如图上时（同名端如图a

41、中中“*”所示），则所示），则图图b中等效电路的中等效电路的 L3 = M，L1= L1 M ，L2= L2 M。b： a：（2）当）当异名端异名端联在联在同一节点同一节点上时（同名端如图上时（同名端如图a中中“.”所示），则所示），则图图b中等效电路的中等效电路的 L3 = M，L1= L1 + M ，L2= L2 + M。去耦方法的归纳：去耦方法的归纳：3) 三端互感的去耦方法的归纳：三端互感的去耦方法的归纳： (支路支路1) L1 M(支路支路2) L2 M(支路支路3) M (同侧取同侧取“+”，异侧取，异侧取“”)M前符号与支路前符号与支路3中相反中相反2、去耦等效电路与原电路的节点

42、发生变化。、去耦等效电路与原电路的节点发生变化。注意：注意：1、等效电感与电流的参考方向无关；、等效电感与电流的参考方向无关；例例 已知两个线圈的参数已知两个线圈的参数R1 = R2 = 100 ，L1 = 3H，L2 = 10H，M = 5H，正弦交，正弦交流电压源电压流电压源电压 US = 220V， = 100rad/s。解：解： 这是两互感线圈反串电路这是两互感线圈反串电路 作去耦等效电路作去耦等效电路 求两线圈的端电压求两线圈的端电压U1和和U2。R2R1* * *j L1j? L21U 2U I j MSU RLuiL L1 L22M = 3HR R1 R2 = 200 V0220

43、SUA31.5661. 0A31.5656.3600220Aj3002000220jSLRUIV74.11940.136V31.5661. 043.6361.223)j200100()(j111IIMLRUV13504.311V31.5661. 069.789 .509)j500100()(j222IIMLRU令令利用等效电路可以求出利用等效电路可以求出两线圈的端电压分别为两线圈的端电压分别为: U1 = 136.4V， U2 = 311.04VRLui31L 42L 3M221RRVUS0100）（210jZLLIMj1Lj2Lj1R2RLZsULI例例5-5求图示电路的求图示电路的及负载的

44、有功功率及负载的有功功率PL。已知已知 将将ZL 支路断开，如图示，求从断开端口看入的戴支路断开，如图示，求从断开端口看入的戴维宁等效电路。维宁等效电路。据图据图示电路示电路有：有：AMjLjLjRRUIS9 .7235. 7221211VIMjLjRUOC15. 151.53)(122+_+_Mj1Lj2Lj2R1RsUocU1I解：解： 求这个电路的戴维宁等效阻抗与含受控源的电路一样，求这个电路的戴维宁等效阻抗与含受控源的电路一样，将原来的独立电源置零，在端口处外加电源，电路如将原来的独立电源置零，在端口处外加电源，电路如图图示示。)232. 01 ()2()()(212122211jML

45、LjRRMjLjRLjRIUZeq+_Mj1Lj2Lj2R1RUI此电路中两互感线圈为异侧并联，此电路中两互感线圈为异侧并联，所以有所以有 由此可得如图所示的戴维宁等效电路，由此可得如图所示的戴维宁等效电路，A3210774.ZZUILeqOCLW522710774Re22.ZIPLLL 此题也可用网孔法求解。此题也可用网孔法求解。eqZocULZLI再将再将ZL接入，则接入，则例例 解：解： * * *2U j5 j10 j4 j6 3355SU V050SU已知已知2U 求输出电压求输出电压应用戴维宁定理，求应用戴维宁定理，求5 电阻电阻以外电路的戴维宁等效电路以外电路的戴维宁等效电路 方

46、法一方法一用互感电路直接列方程求解用互感电路直接列方程求解 SU * * *j5 j10 j4?j6 1I ocU 33（1）求开路电压）求开路电压A4 .188 .151 j30504 j5 j30501IV3 .1588.564 .188 .157 .336 . 3)2 j3()4 j3(6 j111ocIIIU（2）求等效内阻抗）求等效内阻抗Zeq 首先将网络内的电压源短路，在首先将网络内的电压源短路，在断开处外加一电压断开处外加一电压 * * *j5 j10 j4 j6 2I I U 33则等效内阻抗则等效内阻抗IUZeq 0)j43(j6)4 j5 j3(2IIIUIII)4 j01

47、 j3()j43(j622回路电流方程式为回路电流方程式为0)j23() 1 j3(2IIUII)6 j3()j23(2j91) 1 j3()2 j3()6 j3)(1 j3() 1 j3(6 j3)2 j3()2 j3(1 j30)2 j3(1 j32UUUI1 .849 . 2j91) 1 j3(eqIUZ化简化简V3 .1312.4755eqoc2ZUU2U（3）求）求则两节点间的电压为则两节点间的电压为方法二方法二 采用去耦等效法求解采用去耦等效法求解 50 0j60.33 25.35111j3j(6-4)5j4UVV260.33 25.3560.33 25.35j4V47.1213.

48、3 V5j4U画出去耦等效电路画出去耦等效电路2U求电压求电压 2U j j4 j4 j6 3355SU * * *2U j5 j10 j4 j6 3355SU 5. 3. 2 受控源等效电路法受控源等效电路法互感的作用实质是互感的作用实质是由一个线圈中电流变化，在另一个线圈中由一个线圈中电流变化，在另一个线圈中产生感应电压产生感应电压，此感应电压受到引起它的电流控制。，此感应电压受到引起它的电流控制。可用可用CCVS来表示互感电压的作用。来表示互感电压的作用。顺串电路顺串电路R2R1* * *j L1j L2U 1U 2U I j MR2R1j L1j L2U 1U 2U I IM jIM

49、j反反串串电电路路同同侧侧并并接接电电路路异异侧侧并并接接电电路路R2R1* * *j L1j L2U 1U 2U I j MR2j L2R1j L1I 1I 2I * * *U j MR2j L2R1j L1I 1I 2I * * *U j MR2R1j L1j L2U 1U 2U I IM jIM jR2R1j L1I 1I 2I U 2jIM 1jIM j L2R2R1j L1I 1I 2I U 2jIM 1jIM j L2* * *2U j5 j10 j4 j6 3355SU 例例 解：解： 利用受控源等效电路法重做前例利用受控源等效电路法重做前例 V050SU已知已知2U 求输出电压

50、求输出电压1I 2I 2U j5 j10 j4 335516 j I 26 j I SU 画出电路的受控源等效电路画出电路的受控源等效电路列网孔电流方程列网孔电流方程2216 j050)j43()4 j5 j3(III1216 j)4 j01 j53()j43(IIIA3 .1342. 92IV3 .1312.47522IU解方程解方程 所以所以 例例 空心变压器空心变压器变压器是工程上常用的一种电气设备，通常是在一个铁心上变压器是工程上常用的一种电气设备，通常是在一个铁心上绕制几个线圈构成的，它是利用互感来传递能量或信号的。绕制几个线圈构成的，它是利用互感来传递能量或信号的。典型的空心变压器

51、是由两个耦合线圈绕在非铁磁材料的心典型的空心变压器是由两个耦合线圈绕在非铁磁材料的心架上构成，这里强调架上构成，这里强调“空心空心”（无铁心）的原因是带铁心（无铁心）的原因是带铁心的变压器互感为非线性的，超出目前讨论的线性电路范围。的变压器互感为非线性的，超出目前讨论的线性电路范围。空心变压器虽然耦合系数低，但因无铁心的各种功率损耗，空心变压器虽然耦合系数低，但因无铁心的各种功率损耗，在高频电路和测量仪器中被广泛采用。在高频电路和测量仪器中被广泛采用。 详细介绍详细介绍j 1 12 21 11 11 1( (j j) )RL IM IU 12122222j(j)0j(j)0LM IRLZI空心

52、变压器示意图空心变压器示意图+ 1 1U ZL=RL+jXL1 I 2 2I 空心变压器电路模型空心变压器电路模型心子心子:非铁磁材料非铁磁材料11 22 1 1I 2 2I 一次侧一次侧(原边原边 、初级回路、初级回路)二次侧二次侧(副边副边 、次级回路、次级回路)*j L11 I2 Ij L2j M+ 1 1U R1R2ZL=RL+jXL11 22 一次侧一次侧(原边原边 、初级回路、初级回路)二次侧二次侧(副边副边 、次级回路、次级回路)？2 2 IZ1eq用用“加流求压法加流求压法”求求Z1eq:1 1 I*j L1j L2j MR1R2ZL=RL+jXL11 22 +1 1U 1 1

53、2 22 22 21 12 22 2 j MIIj MY IZ = =- -2211111111111111()() UIIZRj L 11211221121122Z +j MIZMYZ +j MIZMY其其中中221111/()/() UI1eq11221eq1122故故 ZZMYZZMY求一次侧电流的等求一次侧电流的等效电路为：效电路为： 1 11 12 2()()UI 11221122ZMYZMY一次侧等效阻抗一次侧等效阻抗Z1eq中，中，( M)2Y22称称引入阻抗引入阻抗(反映阻抗反映阻抗)，是二次侧通过互感反映到一次侧的等效阻抗，性质与是二次侧通过互感反映到一次侧的等效阻抗，性质与

54、Z22相反。相反。2 22 22 22 22 22 22 22 21 1/ / LZRj LZYZ其其中中，1 I+ 1 1 UZ112 22222()()MY11 先求一次侧等效电路，再求电流先求一次侧等效电路，再求电流2 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 21 12 21 12 2j j( () )( () )j jj jj j j j M R M XM MZRXRXRXRX2 22 2M MY Y = =2 22 22 22 21 12 22 22

55、22 22 22 22 2 M RRRX引引入入电电阻阻2 22 22 22 21 12 22 22 22 22 22 22 2 M XXRX引引入入电电抗抗负号反映了二次侧的感性阻抗负号反映了二次侧的感性阻抗反映到一次侧为一个容性阻抗反映到一次侧为一个容性阻抗二次侧对一次侧的二次侧对一次侧的引入阻抗引入阻抗：二次回路对一次回路的影响可以用引入阻抗来考虑。二次回路对一次回路的影响可以用引入阻抗来考虑。从物理意义讲，虽然两边没有电的联系，但由于互感作从物理意义讲，虽然两边没有电的联系，但由于互感作用使闭合的二次侧产生电流，反过来这个电流又影响一用使闭合的二次侧产生电流，反过来这个电流又影响一次侧

56、电流、电压。次侧电流、电压。从能量角度来说从能量角度来说 :不论变压器的绕法如何，二次侧对一次侧的引入电阻为不论变压器的绕法如何，二次侧对一次侧的引入电阻为恒为正恒为正 , 这表示二次侧电路吸收能量这表示二次侧电路吸收能量2 22 22 22 21 12 22 22 22 22 22 22 2 M RRRX电源发出有功电源发出有功 = 电阻吸收有功电阻吸收有功 = I12(R1+R12)I12R1 消耗在一次侧；消耗在一次侧；I12R12 消耗在二次侧，由互感传输。消耗在二次侧，由互感传输。求二次侧电流的等效电路求二次侧电流的等效电路为：为： 1 11 11 12 22 22 21 11 11

57、 12 22 22 2( () )( () )Lj MY UIj LjXj MY UZ 2 2L L1 11 12 22 2R RR RM MY YM MY Y先求二次侧等效电路，再求电流先求二次侧等效电路，再求电流*j L11 1 Ij L2j M+ 1 1U R1R211 22 Z2eq22 + 2 2o oc cU 1 12 2o oc c1 11 11 11 11 1UUj Mj MY UZ 易知，开路电压易知，开路电压参考参考Z1eq的求解，易知：的求解，易知：2 22 2( () )( () ) j L2 2e eq q2 21 11 1Z ZR RM MY Y2 2( () )

58、1 1e eq q1 11 12 22 2 Z ZZ ZM MY YZ2eq22 + 2 2o oc cU ZL=RL+jXL 2 2I 一次侧对二次侧的一次侧对二次侧的引入阻抗引入阻抗+ 2 2o oc c UZ222 21 11 1( () )MY 2 2I 一次侧等效电路一次侧等效电路1 I+ 1 1U Z112 22222()()MY二次侧等效电路二次侧等效电路一次侧、二次侧等效电路对比：一次侧、二次侧等效电路对比：+Z222 21 11 1( () )MY 2 2I 2 2o oc c1 11 11 1j MY UU 例例1. 已知已知 US=20 V , 一次侧引入阻抗一次侧引入阻

59、抗 Z=10j10 .求求: ZX 并求负载获得的有功功率并求负载获得的有功功率.222222224 4j10j10X MZZZ 0 0. .2 2j j9 9. .8 8 XZ 此时负载获得的功率：此时负载获得的功率：2 22 20 01 10 01 10 0 WW1 10 01 10 0RPP 引引（）解：解：*j10 2 Ij10 j2+S U10 ZX+S U10+j10 Z=10j10 ( 实际是最佳匹配：实际是最佳匹配： )2 2S S1 11 1 , , 1 10 0 WW4 4* *UZZPR 例例2. L1=3.6H , L2=0.06H , M=0.465H , R1=20

60、 , R2=0.08 , RL=42 , 314 314rad/s,o o1 11 15 50 0 V VSU . , :21II求求法一法一：回路法。：回路法。法二法二：空心变压器一次侧等效电路。：空心变压器一次侧等效电路。o o1 12 22 22 2j j0 0. .3 35 5 1 1 A AMIIZ 1131j+20=j+=1111LRZ2 22 22 22 2j j4 42 2. .0 08 81 18 8. .8 85 5 LZRRLj 2 2o o2 22 24 46 64 4 ( ( 2 24 4. .1 1 ) ) MXZZ o oS S1 11 11 10 0. .1 1