独立性检验的思想及应用(一)ppt课件

1、独立性检验的根独立性检验的根本思想及其初步本思想及其初步运用运用 第三章第三章 统计案例统计案例问题问题: 数学家庞加莱每天都从一家面数学家庞加莱每天都从一家面包店买一块包店买一块1000g 的面包，并记录的面包，并记录下买回的面包的实践质量。一年后，下买回的面包的实践质量。一年后，这位数学家发现，所记录数据的均这位数学家发现，所记录数据的均值为值为950g。于是庞加莱推断这家面。于是庞加莱推断这家面包店的面包分量缺乏。包店的面包分量缺乏。假设假设“面包份量足，那么一年购买面包的质量数据面包份量足，那么一年购买面包的质量数据的平均值应该不少于的平均值应该不少于1000g ；“这个平均值不大于这

2、个平均值不大于950g是一个与假设是一个与假设“面包份量面包份量足矛盾的小概率事件；足矛盾的小概率事件；这个小概率事件的发生使庞加莱得出推断结果。这个小概率事件的发生使庞加莱得出推断结果。一一: :假设检验问题的原理假设检验问题的原理 假设检验问题由两个互斥的假设构成，其假设检验问题由两个互斥的假设构成，其中一个叫做原假设，用中一个叫做原假设，用H0表示；另一个叫做备表示；另一个叫做备择假设，用择假设，用H1表示。表示。例如，在前面的例子中，例如，在前面的例子中， 原假设为：原假设为： H0：面包份量足，：面包份量足，备择假设为：备择假设为： H1：面包份量缺乏。：面包份量缺乏。这个假设检验问

3、题可以表达为：这个假设检验问题可以表达为： H0：面包份量足：面包份量足 H1：面包份量缺乏：面包份量缺乏二二: :求解假设检验问题求解假设检验问题思索假设检验问题：思索假设检验问题： H0：面包分量足：面包分量足 H1：面包分量缺乏：面包分量缺乏 在在H0成立的条件下，构造与成立的条件下，构造与H0矛盾的小概矛盾的小概率事件；率事件； 假设样本使得这个小概率事件发生，就能假设样本使得这个小概率事件发生，就能以一定把握断言以一定把握断言H1成立；否那么，断言没成立；否那么，断言没有发现样本数据与有发现样本数据与H0相矛盾的证据。相矛盾的证据。求解思绪：求解思绪：2 2定定量量变变量量回回归归分

4、分析析（画画散散点点图图、相相关关系系数数r r、变变量量 相相关关指指数数R R 、残残差差分分析析）分分类类变变量量研究两个变量的相关关系：定量变量：体重、身高、温度、考试成绩等等。定量变量：体重、身高、温度、考试成绩等等。变量 分类变量：性别、是否吸烟、是否患肺癌、变量 分类变量：性别、是否吸烟、是否患肺癌、 宗教信仰、国籍等等。宗教信仰、国籍等等。两种变量：独立性检验独立性检验本节研讨的是两个分类变量的独立性检验问题。在日常生活中，我们经常关怀分类变量之间能否有关系：在日常生活中，我们经常关怀分类变量之间能否有关系：例如，吸烟能否与患肺癌有关系？例如，吸烟能否与患肺癌有关系？ 性别能否

5、对于喜欢数学课程有影响？等等。性别能否对于喜欢数学课程有影响？等等。 吸烟与肺癌列联表吸烟与肺癌列联表不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌总计总计不吸烟不吸烟77757775424278177817吸烟吸烟20992099494921482148总计总计98749874919199659965为了调查吸烟能否对肺癌有影响，某肿瘤研讨所随机为了调查吸烟能否对肺癌有影响，某肿瘤研讨所随机地调查了地调查了99659965人，得到如下结果单位：人人，得到如下结果单位：人列联表列联表在不吸烟者中患肺癌的比重是在不吸烟者中患肺癌的比重是 在吸烟者中患肺癌的比重是在吸烟者中患肺癌的比重是 阐明：吸烟者和不吸烟者患肺

6、癌的能够性存在差别，吸烟者患阐明：吸烟者和不吸烟者患肺癌的能够性存在差别，吸烟者患肺癌的能够性大。肺癌的能够性大。0.54%0.54%2.28%2.28%探求探求不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌总计总计不吸烟不吸烟7775427817吸烟吸烟2099492148总计总计98749199651、列联表2、三维柱形图3、二维条形图不患肺癌患肺癌吸烟不吸烟不患肺癌患肺癌吸烟不吸烟080007000600050004000300020001000从三维柱形图能明晰看出从三维柱形图能明晰看出各个频数的相对大小。各个频数的相对大小。从二维条形图能看出，吸烟者中从二维条形图能看出，吸烟者中患肺癌的比例高于不患肺

7、癌的比例。患肺癌的比例高于不患肺癌的比例。经过图形直观判别两个分类变量能否相关：不吸烟吸烟00.10.20.30.40.50.60.70.80.91不吸烟不吸烟吸烟吸烟患肺癌比例不患肺癌比例4、等高条形图等高条形图更明晰地表达了两种情况下患肺癌的比例。 上面我们经过分析数据和图形，得到的直观印象是吸烟和患肺癌有关，上面我们经过分析数据和图形，得到的直观印象是吸烟和患肺癌有关，那么现实能否真的如此呢？这需求用统计观念来调查这个问题。那么现实能否真的如此呢？这需求用统计观念来调查这个问题。 如今想要知道可以以多大的把握以为如今想要知道可以以多大的把握以为“吸烟与患肺癌有关，吸烟与患肺癌有关，为此先

8、假设为此先假设 H0：吸烟与患肺癌没有关系：吸烟与患肺癌没有关系.不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌总计总计不吸烟不吸烟aba+b吸烟吸烟cdc+d总计总计a+cb+da+b+c+d把表中的数字用字母替代，得到如下用字母表示的列联表把表中的数字用字母替代，得到如下用字母表示的列联表 用用A表示不吸烟，表示不吸烟，B表示不患肺癌，那么表示不患肺癌，那么“吸烟与患肺癌没有关系吸烟与患肺癌没有关系等价于等价于“吸烟与患肺癌独立，即假设吸烟与患肺癌独立，即假设H0等价于等价于 P(AB)=P(A)P(B).因此因此|ad-bc|越小，阐明吸烟与患肺癌之间关系越弱；越小，阐明吸烟与患肺癌之间关系越弱； |ad

9、-bc|越大，阐明吸烟与患肺癌之间关系越强。越大，阐明吸烟与患肺癌之间关系越强。不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌总计总计不吸烟不吸烟aba+b吸烟吸烟cdc+d总计总计a+cb+da+b+c+dadbc即a aa a+ +b ba a+ +c cn nn nn na+ba+bP(A),P(A),n na+ca+cP(B),P(B),n n.a aP(AB)P(AB)n n其中为样本容量，即n = a+b+c+dn = a+b+c+d在表中，在表中，a恰好为事件恰好为事件AB发生的频数；发生的频数；a+b和和a+c恰好分别为事恰好分别为事件件A和和B发生的频数。由于频率接近于概率，所以在发生的频数。

10、由于频率接近于概率，所以在H0成立的条成立的条件下应该有件下应该有(a+b+c+d)a(a+b)(a+c), 为了使不同样本容量的数据有一致的评判规范，基于上述分为了使不同样本容量的数据有一致的评判规范，基于上述分析，我们构造一个随机变量析，我们构造一个随机变量-卡方统计量卡方统计量22(),()()()()其中为样本容量。n adbcKab cdac bdnabcd1 假设假设 H0成立，即成立，即“吸烟与患肺癌没有关系，那么吸烟与患肺癌没有关系，那么K2应应很小。很小。根据表根据表3-7中的数据，利用公式中的数据，利用公式1计算得到计算得到K2的观测值为：的观测值为：那么这个值究竟能通知我

11、们什么呢？那么这个值究竟能通知我们什么呢？242 209956.6327817 2148 9874 91k9965(7775 49）2 独立性检验在在H0成立的情况下，统计学家估算出如下的概率成立的情况下，统计学家估算出如下的概率 即在即在H0成立的情况下，成立的情况下，K2的值大于的值大于6.635的概率非常小，近似的概率非常小，近似于于0.01。2(6.635)0.01.P K （2） 也就是说，在也就是说，在H0成立的情况下，对随机变量成立的情况下，对随机变量K2进进展多次观测，观测值超越展多次观测，观测值超越6.635的频率约为的频率约为0.01。思索 206.635?KH如果，就断定

12、不成立，这种判断出错的可能性有多大答：判别出错的概率为0.01。2009965 7775 49 42 2099566327817 2148 9874 91().kHH 现现在在观观测测值值太太大大了了，在在成成立立的的情情况况下下能能够够出出现现这这样样的的观观测测值值的的概概率率不不超超过过0 0. .0 01 1，因因此此我我们们有有9 99 9% %的的把把握握认认为为不不成成立立，即即有有9 99 9% %的的把把握握认认为为“吸吸烟烟与与患患肺肺癌癌有有关关系系”。判别判别 能否成立的规那能否成立的规那么么0H假设假设 ，就判别，就判别 不成立，即以为吸烟与不成立，即以为吸烟与患肺癌

13、有关系；否那么，就判别患肺癌有关系；否那么，就判别 成立，即以为吸成立，即以为吸烟与患肺癌有关系。烟与患肺癌有关系。6.635k 0H0H独立性检验的定义独立性检验的定义 上面这种利用随机变量上面这种利用随机变量K2来确定在多大程度上来确定在多大程度上可以以为可以以为“两个分类变量有关系的方法，称为两两个分类变量有关系的方法，称为两个分类变量的独立性检验。个分类变量的独立性检验。在该规那么下，把结论在该规那么下，把结论“ 成立错判成成立错判成“ 不不成立的概率不会差过成立的概率不会差过0H0H2(6.635)0.01,P K 即有即有99%的把握以为的把握以为 不成立。不成立。0H独立性检验的

14、根本思想类似反证法独立性检验的根本思想类似反证法(1)(1)假设结论不成立假设结论不成立, ,即即 “两个分类变量没有关系两个分类变量没有关系. .0:H(2)(2)在此假设下我们所构造的随机变量在此假设下我们所构造的随机变量 K2 K2 应该很小应该很小, ,假设由假设由观测数据计算得到观测数据计算得到K2K2的观测值的观测值k k很大很大, ,那么在一定可信程度上那么在一定可信程度上阐明阐明 不成立不成立. .即在一定可信程度上以为即在一定可信程度上以为“两个分类变量有两个分类变量有关系；假设关系；假设k k的值很小，那么阐明由样本观测数据没有发现的值很小，那么阐明由样本观测数据没有发现反

15、对反对 的充分证据。的充分证据。0H0H(3)(3)根据随机变量根据随机变量K2K2的含义的含义, ,可以经过评价该假设不合理的可以经过评价该假设不合理的程度程度, ,由实践计算出的由实践计算出的, ,阐明假设合理的程度为阐明假设合理的程度为99%,99%,即即“两个两个分类变量有关系这一结论成立的可信度为约为分类变量有关系这一结论成立的可信度为约为99%.99%.怎样判别怎样判别K2的观测值的观测值k是大还是小呢？是大还是小呢？ 这仅需求确定一个正数这仅需求确定一个正数 ，当，当 时就以为时就以为K2的观测的观测值值 k大。此时相应于大。此时相应于 的判别规那么为：的判别规那么为：0k0kk

16、0k假设假设 ，就以为，就以为“两个分类变量之间有关系；否那么两个分类变量之间有关系；否那么就以为就以为“两个分类变量之间没有关系。两个分类变量之间没有关系。0kk0k-临界值临界值按照上述规那么，把按照上述规那么，把“两个分类变量之间有没关系错误的判两个分类变量之间有没关系错误的判别为别为“两个分类变量之间有关系的概率为两个分类变量之间有关系的概率为P( ).20Kk在实践运用中，我们把在实践运用中，我们把 解释为有解释为有的把握以为的把握以为“两个分类变量之间有关系；把两个分类变量之间有关系；把 解释为解释为不能以不能以 的把握以为的把握以为“两个分类变量之两个分类变量之间有关系，或者样本

17、观测数据没有提供间有关系，或者样本观测数据没有提供“两个分类变量之两个分类变量之间有关系的充分证据。间有关系的充分证据。0kk2(1() 100%P Kk0kk2(1() 100%P Kk思索：思索： 利用上面的结论，他能从列联表的利用上面的结论，他能从列联表的三维柱形图中看出两个分类变量能否相三维柱形图中看出两个分类变量能否相关呢？关呢？表表1-11 2x2联表联表 普通地，假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为x1,x2和y1,y2,其样本频数列联表称为2x2列联表为：y1y2总计总计x1aba+bx2cdc+d总计总计a+cb+da+b+c+d 假设要判别的结论为：H1：“X与Y有关

18、系，可以按如下步骤判别H1成立的能够性：aabccd2、可以利用独立性检验来调查两个分类变量能否有、可以利用独立性检验来调查两个分类变量能否有关系，并且能较准确地给出这种判别的可靠程度。关系，并且能较准确地给出这种判别的可靠程度。1、经过三维柱形图和二维条形图，可以粗略地判别、经过三维柱形图和二维条形图，可以粗略地判别两个变量能否有关系两个变量能否有关系,但是这种判别无法准确地给出但是这种判别无法准确地给出所得结论的可靠程度。所得结论的可靠程度。 1在三维柱形图中，在三维柱形图中， 主对角线上两个柱形高主对角线上两个柱形高度的乘积度的乘积ad与副对角线上两个柱形高度的乘积与副对角线上两个柱形高度的乘积bc相相差越大，差越大，H1成立的能够性就越大。成立的能够性就越大。 2在二维条形图中在二维条形图中,可以估计满足条件可以估计满足条件X=x1的的个体中具有个体中具有Y=y1的个体所占的比例的个体所占的比例 ，也可以，也可以估计满足条件估计满足条件X=x2的个体中具有的个体中具有Y=y1的个体所占的比例的个体所占的比例 。两个比。两个比例相差越大，例相差越大，H1成立的能够性就越大。成立的能够性就越大。aabccd在实践运用中，要在获取样本数据之前经过下表确定临界值：在实践运用中，要在获