【高优指导】2017版高考数学一轮复习第十三章选修4系列13.1几何证明选讲课件文北师大版选修4-1

1、第十第十三三章选修章选修4 4系列系列13.113.1选修选修4141几何证明选讲几何证明选讲-3-考纲要求:1.理解相似三角形的定义与性质,了解平行截割定理.2.会证明和应用以下定理:(1)直角三角形射影定理;(2)圆周角定理;(3)圆的切线判定定理与性质定理;(4)相交弦定理;(5)圆内接四边形的性质定理与判定定理;(6)切割线定理.-4-1.平行截割定理(1)平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等.(2)平行线分线段成比例定理定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得

2、的对应线段成比例.-5-2.相似三角形的判定与性质(1)相似三角形的判定定理两角对应相等的两个三角形相似.两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似.三边对应成比例的两个三角形相似.(2)相似三角形的性质定理相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比和对应周长的比都等于相似比.相似三角形面积的比等于相似比的平方.-6-3.直角三角形的射影定理:直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项;两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项.如图,在RtABC中,CD是斜边上的高,则有CD2=ADBD,AC2=ADAB,BC2=BDAB.-7-4.圆周角定理与圆心角定理(1)圆周角

3、定理及其推论定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.推论:()推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等.()推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90的圆周角所对的弦是直径.(2)圆心角定理:圆心角的度数等于它所对弧的度数.5.弦切角的性质弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.-8-6.圆的切线的性质及判定定理(1)定理:圆的切线垂直于经过切点的半径.(2)推论:推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.-9-7.与圆有关的比例线段 -10-11-8.圆内接四边形的性质与判定定理(1

4、)圆内接四边形的性质定理定理1:圆内接四边形的对角互补.定理2:圆内接四边形的外角等于它的内角的对角.(2)圆内接四边形的判定定理及推论判定定理:如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆.推论:如果四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆.-12-123451.下列结论正确的打“”,错误的打“”.(1)有一个角等于100度的两个等腰三角形相似. ()(2)有一个角相等的平行四边形相似. ()(3)圆内接四边形的对角和是180,反之,如果一个四边形的对角和是180,那么四点共圆. ()(4)在一个圆内,平分弦的直径一定垂直于这条弦.()(5)在同圆或等圆中,

5、如果弧相等,那么它们所对应的圆心角也相等. () -13-123452.(2015天津,文6)如图,在圆O中,M,N是弦AB的三等分点,弦CD,CE分别经过点M,N.若CM=2,MD=4,CN=3,则线段NE的长为() 答案解析解析关闭 答案解析关闭-14-123453.如图,AD,BE是ABC的两条高,ABC=60,则CED=. 答案解析解析关闭在四边形ABDE中,由题意AEB=ADB=90,所以A,B,D,E四点共圆. 答案解析关闭60-15-123454. 如图,PA是圆的切线,A为切点,PBC是圆的割线,且BC=3PB,则 答案解析解析关闭 答案解析关闭-16-123455.如图,AB

6、为圆O的直径,E为AB延长线上一点,过E作圆O的切线,切点为C,过A作直线EC的垂线,垂足为D.若AB=4,CE=2 ,则AD=. 答案解析解析关闭 答案解析关闭-17-12345自测点评1.判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理,特别要注意对应角与对应边.2.弦切角是很重要的与圆相交的角,其主要功能是协调与圆相关的各种角,如圆心角、圆周角等,是连接圆与全等三角形、三角形相似及圆知识的桥梁.-18-考点1考点2考点3考点4考点5知识方法易错易混考点6考点1平行线分线段成比例定理的应用平行线分线段成比例定理的应用例1如图,AD平分BAC,DEAC,EFBC,AB=15 cm,AF=

7、4 cm,求BE和DE的长. 答案 答案关闭-19-考点1考点2考点3考点4考点5知识方法易错易混考点6思考:如何利用平行线分线段成比例定理进行计算或证明?解题心得:1.利用平行线分线段成比例定理来计算或证明,首先要观察平行线组,再确定所截直线,进而确定比例线段及比例式,同时注意合比性质、等比性质的运用.2.解决此类问题往往需要作辅助的平行线,要结合条件构造平行线组,再应用平行线分线段成比例定理及其推论转化比例式解题.-20-考点1考点2考点3考点4考点5知识方法易错易混考点6对点训练1如图,在ABC中,DEBC,DFAC,AEAC=35,DE=6,求BF的长. 答案 答案关闭-21-考点1考

8、点2考点3考点4考点5知识方法易错易混考点6考点2相似三角形的判定及性质相似三角形的判定及性质例2(2015石家庄二中一模)如图,O的半径为6,线段AB与O相交于点C,D,AC=4,BOD=A,OB与O相交于点E.(1)求BD的长;(2)当CEOD时,求证:AO=AD. 答案 答案关闭-22-考点1考点2考点3考点4考点5知识方法易错易混考点6思考:判定三角形相似的基本思路是什么?利用相似三角形的性质能解决哪些问题?解题心得:1.证明相似三角形的一般思路:(1)先找两对内角对应相等.(2)若只有一个角对应相等,再判定这个角的两邻边是否对应成比例.(3)若无角对应相等,就要证明三边对应成比例.2

9、.相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等;可间接证明线段相等.-23-考点1考点2考点3考点4考点5知识方法易错易混考点6对点训练2如图,AB与CD相交于点E,过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P,已知A=C,PD=2DA=2,求PE的长. 答案 答案关闭-24-考点1考点2考点3考点4考点5知识方法易错易混考点6考点3直角三角形的射影定理及其应用直角三角形的射影定理及其应用例3如图,AD,BE是ABC的两条高,DFAB,垂足为F,直线FD交BE于点G,交AC的延长线于点H,求证:DF2=GFHF. 答案 答案关闭-25-考点1考点2考点3考点4考点5知识方法易错易混考点6思考:应用

10、直角三角形的射影定理应注意什么?解题心得:应用直角三角形的射影定理应注意以下几点:(1)利用直角三角形的射影定理解决问题首先确定直角边与其射影.(2)要善于将有关比例式进行适当的变形转化,有时还要将等积式转化为比例式或将比例式转化为等积式,并且注意射影定理的其他变式.(3)注意射影定理与勾股定理的结合应用.-26-考点1考点2考点3考点4考点5知识方法易错易混考点6对点训练3如图,AB是O的直径,AC是O的切线,BC交O于点E.(1)若D为AC的中点,证明:DE是O的切线;(2)若OA= CE,求ACB的大小. 答案 答案关闭-27-考点1考点2考点3考点4考点5知识方法易错易混考点6考点4圆

11、周角、弦切角及圆的切线问题圆周角、弦切角及圆的切线问题例4如图,EP交圆于E,C两点,PD切圆于D,G为CE上一点,且PG=PD,连接DG并延长交圆于点A,作弦AB垂直EP,垂足为F.(1)求证:AB为圆的直径;(2)若AC=BD,求证:AB=ED.-28-考点1考点2考点3考点4考点5知识方法易错易混考点6证明:(1)因为PD=PG,所以PDG=PGD.由于PD为切线,故PDA=DBA.又由于PGD=EGA,故DBA=EGA,所以DBA+BAD=EGA+BAD,从而BDA=PFA.由于AFEP,所以PFA=90.于是BDA=90.故AB是直径.-29-考点1考点2考点3考点4考点5知识方法易

12、错易混考点6(2)连接BC,DC.由于AB是直径,故BDA=ACB=90.在RtBDA与RtACB中,AB=BA,AC=BD,从而RtBDA RtACB.于是DAB=CBA.又因为DCB=DAB,所以DCB=CBA,故DCAB.由于ABEP,所以DCEP,DCE为直角.于是ED为直径.由(1)得ED=AB.-30-考点1考点2考点3考点4考点5知识方法易错易混考点6思考:解决与圆周角、弦切角及圆的切线有关的问题常用的数学思想是什么?解题心得:1.解决与圆周角、弦切角及圆的切线有关的问题常用的数学思想是转化的思想.常有以下相关转化:(1)圆周角与圆周角之间的转化;(2)圆周角与圆心角之间的转化;

13、(3)弧的度数与圆心角和圆周角之间的转化;(4)圆内接四边形的外角与其相对的内角的转化;(5)圆周角与弦切角之间的转化.2.圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系,从而证明三角形全等或相似,从而可求线段或角的大小.-31-考点1考点2考点3考点4考点5知识方法易错易混考点6对点训练4(2015河北衡水中学二模)如图,圆O的直径AB=8,圆周上过点C的切线与BA的延长线交于点E,过点B作AC的平行线交EC的延长线于点P.(1)求证:BC2=ACBP;(2)若EC=2 ,求PB的长.-32-考点1考点2考点3考点4考点5知识方法易错易混考点6-33-考点1考点2考点3考点4考点5

14、知识方法易错易混考点6考点5圆内接四边形的判定及性质圆内接四边形的判定及性质例5(2015河北唐山一模)如图,圆周角BAC的平分线与圆交于点D,过点D的切线与弦AC的延长线交于点E,AD交BC于点F.(1)求证:BCDE;(2)若D,E,C,F四点共圆,且 ,求BAC. 答案 答案关闭-34-考点1考点2考点3考点4考点5知识方法易错易混考点6思考:证明四点共圆的常用方法有哪些?解题心得:1.证明四点共圆的常用方法有:(1)证四点与一定点距离相等;(2)证四边形的一组对角互补;(3)证四边形的一个外角等于它的内对角;(4)当四点在一条线段同侧时,证它们对此线段张角相等;当两点在一条线段异侧时,

15、证明它们对线段的张角互补.2.圆内接四边形的性质定理是探求圆中角相等或互补关系的常用定理.-35-考点1考点2考点3考点4考点5知识方法易错易混考点6对点训练5如图,四边形ABCD是O的内接四边形,AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CB=CE.(1)证明:D=E;(2)设AD不是O的直径,AD的中点为M,且MB=MC,证明:ADE为等边三角形. 答案 答案关闭-36-考点1考点2考点3考点4考点5知识方法易错易混考点6考点6与圆有关的比例线段与圆有关的比例线段例6(2014课标全国,理22)如图,P是O外一点,PA是切线,A为切点,割线PBC与O相交于点B,C,PC=2PA,D为PC的中点

16、,AD的延长线交O于点E.证明:(1)BE=EC;(2)ADDE=2PB2. 答案 答案关闭-37-考点1考点2考点3考点4考点5知识方法易错易混考点6思考:解决与圆有关的比例线段问题的一般思路是什么?解题心得:解决与圆有关的比例线段问题的一般思路是:(1)利用圆周角或弦切角证明三角形相似,在相似三角形中寻找比例线段;(2)利用相交弦定理、切割线定理证明线段成比例;(3)一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理,涉及两条割线就要想到割线定理,见到切线和割线时要注意应用切割线定理.-38-考点1考点2考点3考点4考点5知识方法易错易混考点6对点训练6(2015河北保定一模)如图,已知O1与O2相交

17、于A,B两点,过点A作O1的切线交O2于点C,过点B作两圆的割线,分别交O1,O2于点D,E,DE与AC相交于点P.(1)求证:ADEC;(2)若AD是O2的切线,且PA=6,PC=2,BD=9,求AD的长. 答案 答案关闭-39-考点1考点2考点3考点4考点5知识方法易错易混考点61.借助图形判断三角形相似的方法(1)有平行线的可围绕平行线找相似;(2)有公共角或相等角的可围绕角做文章,再找其他相等的角或对应边成比例;(3)有公共边的可将图形旋转,观察其特征,找出相等的角或成比例的对应边.2.与圆有关的辅助线的五种作法(1)有弦,作弦心距;(2)有直径,作直径所对的圆周角;(3)有切点,作过切点的半径;(4)两圆相交,作公共弦;(5)两圆相切,作公切线.-40-考点1考点2考点3考点4考点5知识方法易错易混考点63.证明四点共圆的常用方法要根据题干中的条件及图形灵活选择.当证明四点共圆以后,圆的各种性质都可以直接应用.-41-考点1考点2考点3考点4考点5知识方法易错易混考点61.在使用平行线截割定理时易