高考数学一轮复习一元二次不等式及其解法

1、第二节 一元二次不等式及其解法1.1.一元二次不等式的定义一元二次不等式的定义只含有一个未知数且未知数的最高次数是只含有一个未知数且未知数的最高次数是_的不等式叫做一的不等式叫做一元二次不等式元二次不等式. . 2 22.2.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表表 判别式判别式=b=b2 2-4ac-4ac00=0=000)(a0)的图的图象象 判别式判别式=b=b2 2-4ac-4ac00=0=000)(a0)的根的根有两相异实数根有两相异实数根有两相等实有两相等实数根数根x x1 1=x=x2 2= =没有实数根没有实数

2、根axax2 2+bx+c0+bx+c0(a0)(a0)的解集的解集_axax2 2+bx+c0+bx+c0)(a0)的解集的解集_1212bx,2abx2a(xx ) b2ax|xxx|xxxx2 2 xr|xxr|xb2ax|xx|x1 1xxx0(a0)+bx+c0(a0)中，如果二次项系数中，如果二次项系数a0a4(x+2)(x-1)4的解集为的解集为( )( )(a)(-,-2)(3,+) (b)(-,-3)(2,+)(a)(-,-2)(3,+) (b)(-,-3)(2,+)(c)(-2,3) (d)(-3,2)(c)(-2,3) (d)(-3,2)(2)(2013(2)(2013广

3、东高考广东高考) )不等式不等式x x2 2+x-20+x-20+bx+20的解集是的解集是 则则a+b=( )a+b=( )(a)10 (b)-10 (c)14 (d)-14(a)10 (b)-10 (c)14 (d)-14【解析解析】选选d.d.由题意由题意 是方程是方程axax2 2+bx+2=0+bx+2=0的的两个根，所以两个根，所以 解得解得a=-12a=-12，b=-2,b=-2,故故a+b=-14a+b=-14，选，选d.d.1 1(, )2 3，1211a0,x,x23 11b112,23a23a 【典例典例1 1】(1)(2013(1)(2013大连模拟大连模拟) )已知函

4、数已知函数f(x)=(ax-1)(x+b)f(x)=(ax-1)(x+b)，如果不等式如果不等式f(x)0f(x)0的解集是的解集是(-1,3)(-1,3)，则不等式，则不等式f(-2x)0f(-2x)0的解集是的解集是( )( )(a)(-, )( ,+) (b)( , )(a)(-, )( ,+) (b)( , )(c)(-, )( ,+) (d)( , )(c)(-, )( ,+) (d)( , )32123212123212324.4.不等式不等式4x4x2 2-mx+10-mx+10对一切对一切xrxr恒成立，则实数恒成立，则实数m m的取值范围的取值范围是是_._.【解析解析】依题

5、意，应有依题意，应有=(-m)=(-m)2 2-4-44 410,10,即即m m2 2-160-160，解得，解得-4m4.-4m4.答案：答案：-4,4-4,4(3)(3)解关于解关于x x的不等式的不等式axax2 2-(a+1)x+10.-(a+1)x+10.【思路点拨思路点拨】(1)(1)根据不等式解集的端点与相应方程的两根根据不等式解集的端点与相应方程的两根之间的关系之间的关系, ,建立方程组求得建立方程组求得a,ba,b的值的值, ,再解不等式再解不等式f(-2x)0.f(-2x)0f(x)0，即即(ax-1)(x+b)0(ax-1)(x+b)0，其解集是，其解集是(-1(-1，

6、3)3)，所以，所以 解得解得于是于是f(x)=(-x-1)(x-3)f(x)=(-x-1)(x-3)，所以不等式，所以不等式f(-2x)0f(-2x)0即为即为(2x-1)(-2x-3)0(2x-1)(-2x-3)0，解得解得 或或(2)x(2)x2 2+x-2=(x-1)(x+2)0,+x-2=(x-1)(x+2)0,解得解得-2x1,-2x1,解集为解集为x|-2x1.x|-2x1.答案答案: :x|-2x1x|-2x1a011ab3 ，a1b3 ，1x23x.2 (3)(3)当当a=0a=0时，原不等式变为时，原不等式变为-x+10-x+11.x|x1.当当a0a0时，原不等式可化为时

7、，原不等式可化为若若a0a1x|x1或或 .若若a0a0，则上式即为，则上式即为( () )当当 即即a1a1时，原不等式的解集为时，原不等式的解集为( () )当当 即即a=1a=1时，原不等式的解集为时，原不等式的解集为；( () )当当 即即0a10a1时，原不等式的解集为时，原不等式的解集为1a x1 (x)0.a1x1 (x)0a ，11a ，1xa1(x1)(x)0.a11a ，1x |x1a ；11a ，11a ，1x |1x.a综上所述，原不等式解集为：综上所述，原不等式解集为：当当a0a1x1；当当a=0a=0时，时，x|x1x|x1；当当0a10a1a1时，时，1xa11x

8、a1x |x1.a【规律方法规律方法】解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)(1)二次项中若含有参数应讨论是小于二次项中若含有参数应讨论是小于0 0，还是大于，还是大于0 0，然后将，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式不等式转化为二次项系数为正的形式(2)(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式与与0 0的关系的关系(3)(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式论两根的大小关系，从而确定

9、解集形式. .【提醒提醒】当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于其等于0 0的情况的情况. .【变式训练变式训练】(1)(2013(1)(2013绍兴模拟绍兴模拟) )不等式不等式axax2 2+bx+c0+bx+c0的解集的解集为为(-2,1),(-2,1),则不等式则不等式axax2 2+(a+b)x+c-a0+(a+b)x+c-a0+bx+c0的解集为的解集为(-2,1),(-2,1),a0,-2+1=- ,(-2)a0,-2+1=- ,(-2)1= ,1= ,b=a,c=-2a,b=a,c=-2a,不等式不等式axax2 2+

10、(a+b)x+c-a0+(a+b)x+c-a0为为axax2 2+2ax-3a0,+2ax-3a0,(x+3)(x-1)0,+2x-30,(x+3)(x-1)0,x-3x1.x1.baca(2)(2)解关于解关于x x的不等式的不等式(1(1ax)ax)2 21.1.【解析解析】由由(1(1ax)ax)2 21 1，得，得a a2 2x x2 22ax2ax0 0，即即ax(axax(ax2)2)0 0，当，当a a0 0时，时，xx；当当a a0 0时，由时，由ax(axax(ax2)2)0 0，得，得即即当当a a0 0时，时，综上所述：当综上所述：当a a0 0时，不等式解集为空集；当时

11、，不等式解集为空集；当a a0 0时，不等式时，不等式解集为解集为 当当a a0 0时，不等式解集为时，不等式解集为22a x(x) 0a ，20 xa ；2x0.a 2x |0 xa ；2x |x0.a 考向考向 2 2 一元二次不等式的恒成立问题一元二次不等式的恒成立问题(2)(2)已知函数已知函数f(x)=xf(x)=x2 2+ax+3.+ax+3.当当xrxr时时,f(x)a,f(x)a恒成立恒成立, ,求求a a的范围的范围. .当当x-2,2x-2,2时时,f(x)a,f(x)a恒成立恒成立, ,求求a a的范围的范围. .【思路点拨思路点拨】(1)(1)因为不等式恒成立因为不等式

12、恒成立, ,所以判别式小于等于零所以判别式小于等于零, ,直接求解即可直接求解即可. .(2)(2)可直接利用判别式可直接利用判别式00求解求解. .可转化为求可转化为求f(x)-af(x)-a在在-2,2-2,2上的最小值上的最小值, ,令其最小值大于或等于令其最小值大于或等于0 0即可即可. .(2)(2)f(x)af(x)a即即x x2 2+ax+3-a0+ax+3-a0，要使，要使xrxr时，时，x x2 2+ax+3-a0+ax+3-a0恒成立，恒成立，应有应有=a=a2 2-4(3-a)0-4(3-a)0，即，即a a2 2+4a-120+4a-120，解得解得-6a2.-6a2.

13、当当xx-2,2-2,2时，设时，设g(x)=xg(x)=x2 2+ax+3-a.+ax+3-a.分以下三种情况讨论：分以下三种情况讨论：( () )当当 即即a4a4时，时，g(x)g(x)在在-2,2-2,2上单调递增，上单调递增，g(x)g(x)在在-2,2-2,2上的最小值为上的最小值为g(-2)=7-3ag(-2)=7-3a，因此，因此 a a无无解；解；a473a0，a22 ，( () )当当 即即a-4a-4时，时，g(x)g(x)在在-2,2-2,2上单调递减，上单调递减，g(x)g(x)在在-2,2-2,2上的最小值为上的最小值为g(2)=7+ag(2)=7+a，因此因此 解

14、得解得-7a-4-7a-4；( () ) 即即-4a4-4a4时，时，g(x)g(x)在在-2,2-2,2上的最小值为上的最小值为因此因此 解得解得-4a2.-4a2.综上所述，实数综上所述，实数a a的取值范围是的取值范围是-7a2.-7a2.a22 ，a47a0 ，a222 ，2aag()a324 ，24a4aa304 ，【互动探究互动探究】本例本例(2)(2)中，若对一切中，若对一切aa-3-3，3 3，不等式，不等式f(x)af(x)a恒成立，那么实数恒成立，那么实数x x的取值范围是什么？的取值范围是什么？【解析解析】不等式不等式f(x)af(x)a即即x x2 2+ax+3-a0.

15、+ax+3-a0.令令g(a)=(x-1)a+xg(a)=(x-1)a+x2 2+3+3，要使要使g(a)0g(a)0在在-3,3-3,3上恒成立，只需上恒成立，只需即即解得解得x0 x0或或x-3.x-3. g30g 30，22x3x60 x3x0，【规律方法规律方法】恒成立问题的两种解法恒成立问题的两种解法(1)(1)更换主元法更换主元法如果不等式中含有多个变量，这时选准如果不等式中含有多个变量，这时选准“主元主元”往往是解题的往往是解题的关键即需要确定合适的变量或参数，能使函数关系更加清晰关键即需要确定合适的变量或参数，能使函数关系更加清晰明朗一般思路为：将已知范围的量视为变量，而待求范

16、围的明朗一般思路为：将已知范围的量视为变量，而待求范围的量看作是参数，然后借助函数的单调性或其他方法进行求解量看作是参数，然后借助函数的单调性或其他方法进行求解. . (2)(2)分离参数法分离参数法如果欲求范围的参数能够分离到不等式的一边，那么这时可以如果欲求范围的参数能够分离到不等式的一边，那么这时可以通过求出不等式另一边式子的最值通过求出不等式另一边式子的最值( (或范围或范围) )来得到不等式恒成来得到不等式恒成立时参数的取值范围立时参数的取值范围. .一般地，一般地，af(x)af(x)恒成立时，应有恒成立时，应有af(x)af(x)maxmax，af(x)af(x)恒成立时，应有恒

17、成立时，应有af(x)af(x)minmin. .【加固训练加固训练】若函数若函数f(x)= f(x)= 的定义域为的定义域为r r，则实，则实数数m m的取值范围是的取值范围是( )( )(a)(-, ) (b)(a)(-, ) (b)0, )0, )(c)( ,+) (d)(- , )(c)( ,+) (d)(- , )【解析解析】选选b.b.依题意依题意mxmx2 2+4mx+3+4mx+30 0对一切对一切x xr r恒成立恒成立. .当当m=0m=0时时显然成立；当显然成立；当m m0 0时应有时应有=16m=16m2 2-12m0-12m0 x0时时,f(x)=x,f(x)=x2

18、2-4x,-4x,则不等式则不等式f(x)xf(x)x的解集用区间表示的解集用区间表示为为. .【解析解析】因为因为f(x)f(x)是定义在是定义在r r上的奇函数，上的奇函数，所以所以f(0)=0,f(0)=0,又当又当x0 x0,-x0,所以所以f(-x)=xf(-x)=x2 2+4x.+4x.又又f(x)f(x)为奇函数，所以为奇函数，所以f(-x)=-f(x),f(-x)=-f(x),所以所以f(x)=-xf(x)=-x2 2-4x(x0),-4x(x0 x0时，由时，由f(x)xf(x)x，得，得x x2 2-4xx-4xx，解得，解得x5.x5.(2)(2)当当x=0 x=0时，时

19、，f(x)xf(x)x无解；无解；(3)(3)当当x0 xxf(x)x，得，得-x-x2 2-4xx.-4xx.解得解得-5x0.-5xxf(x)x的解集用区间表示为的解集用区间表示为(-5,0)(5,+).(-5,0)(5,+).答案：答案：(-5,0)(5,+)(-5,0)(5,+)【误区警示误区警示】1.1.处对于处对于x=0 x=0时的情况漏掉分析而导致不全面时的情况漏掉分析而导致不全面. .2.2.处利用奇函数求处利用奇函数求x0 x0的解析式时求解错误的解析式时求解错误. .【规避策略规避策略】1.1.利用奇偶性求函数的解析式时一定要看清函数的定义域，若利用奇偶性求函数的解析式时一

20、定要看清函数的定义域，若在在0 0处有定义，则奇函数中必有处有定义，则奇函数中必有f(0)=0.f(0)=0.2.2.利用奇偶性解不等式一般需要求解利用奇偶性解不等式一般需要求解f(x)f(x)的解析式，因此要正的解析式，因此要正确利用奇偶性转化求解析式确利用奇偶性转化求解析式. .【类题试解类题试解】(2013(2013四川高考四川高考) )已知已知f(x)f(x)是定义域为是定义域为r r的偶函的偶函数数, ,当当x0 x0时时,f(x)=x,f(x)=x2 2-4x,-4x,那么那么, ,不等式不等式f(x+2)5f(x+2)5的解集是的解集是. .【解析解析】依据已知条件求出依据已知条

21、件求出y=f(x),xry=f(x),xr的解析式的解析式, ,再借助再借助y=f(x)y=f(x)的图象求解的图象求解. .设设x0,x0.-x0.当当x0 x0时时,f(x)=x,f(x)=x2 2-4x,-4x,所以所以f(-x)=(-x)f(-x)=(-x)2 2-4(-x).-4(-x).因为因为f(x)f(x)是定义在是定义在r r上的偶函数上的偶函数, ,得得f(-x)=f(x),f(-x)=f(x),所以所以f(x)=xf(x)=x2 2+4x(x+4x(x0)0)，故，故f(x)= f(x)= 由由f(x)=5f(x)=5得得 得得x=5x=5或或x=-5.x=-5.观察图象

22、可知由观察图象可知由f(x)f(x)5 5，得，得-5-5x x5.5.所以由所以由f(x+2)f(x+2)5 5，得，得-5-5x+2x+25 5，所以，所以-7-7x x3.3.故不等式故不等式f(x+2)f(x+2)5 5的解集是的解集是x|-7x|-7x x3.3.答案：答案：x|-7x|-7x x3322x4xx0 x4xx0， .22x4x5x4x5x0 x0，或 ，1.(20131.(2013宁波模拟宁波模拟) )函数函数 的定义域是的定义域是( )( )(a)(a)0,1) (b)0,1) (b)0,10,1(c)(c)0,4) (d)(4,+)0,4) (d)(4,+)【解析

23、解析】选选a.a.依题意有依题意有 解得解得所以所以0 x10 x1，即函数定义域是，即函数定义域是0,1).0,1). 22f xx3xlg(x5x4)22x3x0 x5x40，0 x3x4x1，或，2.(20132.(2013温州模拟温州模拟) )若函数若函数f(x)=xf(x)=x2 2+ax-3a-9+ax-3a-9对任意对任意xrxr恒有恒有f(x)0f(x)0，则，则f(1)f(1)等于等于( )( )(a)6 (b)5 (c)4 (d)3(a)6 (b)5 (c)4 (d)3【解析解析】选选c.c.依题意得依题意得a a2 2-4(-3a-9)0,-4(-3a-9)0,即即a a2 2+12a+360+12a+360，所以，所以(a+6)(a+6)2 20,0,必有必有a=-6,a=-6,这时这时f(x)=xf(x)=x2 2-6x+9,-6x+9,故故f(1)=4f(1)=4，故选，故选c.c.3.(20133.(2013绍兴模拟绍兴模拟) )已知函数已知函数若若f(x)1,f(x)1,则则x x的取值范围是的取值范围是( )( )(a)(-,-1(a)(-,-1(b)(b)1,+)1,+)(c)(-,0(c)(-,01,+)1,+)(d)(-,-1(d)(-,-11,+)1,+)【解析解析】选选