【全程复习方略】2014年数学理配套课件：选修4-5第二节证明不等式的基本方法、数学归纳法证明不等式

1、第二节 证明不等式的基本方法、数学归纳法证明不等式1.1.比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两种比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两种作差比较法作差比较法作商比较法作商比较法理论依理论依据据abab_aba0, 1b0, 1ababb1b1aba0a-b0a-b0a-bx-yx+2yx-y.( ).( )(2)(2)已知已知ab-1,ab-1,则则 ( )( )(3)(3)设设 (ba0)(ba0)，则，则stst.( ).( )(4)(4)证明证明 可用比较法证明可用比较法证明.( ).( )(5)(5)数学归纳法的第一步数学归纳法的第一步n n的初始值一定为的初始值一定

2、为1.( )1.( )x2y1,xy11.a1b1bb1t,saa110831【解析【解析】(1)(1)错误错误. .若若x-yx-y00，则有，则有x+2yx-yx+2yb-1,a+1b+10,.ab-1,a+1b+10,(3)(3)错误错误. ba0,a-ba0,a-b0,a(a+1)0,(4)(4)错误错误. .该不等式无论用作差法还是作商法都不好证明，最好该不等式无论用作差法还是作商法都不好证明，最好用分析法用分析法. .(5)(5)错误错误. .数学归纳法中的第一步数学归纳法中的第一步n n的初始值不一定为的初始值不一定为1 1，如证明，如证明n n边形的内角和为边形的内角和为(n-

3、2)(n-2)180180, ,第第1 1个值个值n n0 0=3.=3.答案：答案：(1)(1) (2) (3) (2) (3) (4) (4) (5) (5)11.a1b1b1bab,a1aa a1b1b,st.a1a 考向考向 1 1 比较法证明不等式比较法证明不等式【典例【典例1 1】(1)(1)设设cba,cba,证明：证明：a a2 2b+bb+b2 2c+cc+c2 2aababa,bcba,b-a0,c-b0,c-a0,-a0,c-b0,c-a0,abab2 2+bc+bc2 2+ca+ca2 2aa2 2b+bb+b2 2c+cc+c2 2a,a,即即a a2 2b+bb+b

4、2 2c+cc+c2 2aaba0,y0,x0,y0,求证求证【思路点拨【思路点拨】(1)(1)分析不等式左边的特点结合已知条件，利用分析不等式左边的特点结合已知条件，利用基本不等式及重要不等式的变形证明该不等式基本不等式及重要不等式的变形证明该不等式. .(2)(2)待证不等式中含有分数指数幂，不易直接证明待证不等式中含有分数指数幂，不易直接证明, ,可考虑用分可考虑用分析法证明析法证明. .两边六次方，消去分数指数幂，化为整式不等式后，两边六次方，消去分数指数幂，化为整式不等式后，再进行变形，整理证明即可再进行变形，整理证明即可. .221125(a)(b).ab211223323xyxy

5、.【规范解答【规范解答】(1)(1)方法一：左边方法一：左边=a=a2 2+b+b2 2+4+4+=4+a=4+a2 2+b+b2 2+ +=4+a=4+a2 2+b+b2 2+1+1+=4+(a=4+(a2 2+b+b2 2)+2+ )+2+ 4+4+当且仅当当且仅当a=ba=b时，等号成立时，等号成立. .即原不等式成立即原不等式成立. .2211(a)(b)ab2211()ab2222ababab22222bba2a1aabb2222baba2()()abab2abb ab a22 222a ba b 1254242,22方法二：方法二：aa，bRbR+ +，且，且a+ba+b=1,ab

6、 =1,ab 当且仅当当且仅当a=ba=b时，等号成立时，等号成立. .(a+ )(a+ )2 2+(b+ )+(b+ )2 2=4+(a=4+(a2 2+b+b2 2)+ )+ =4+=4+(a+b)(a+b)2 2-2ab-2ab+ +2ab1()24，1a1b2211()ab222ab2aba b2212ab412aba b22211212544(12).142( )41125(a)(b).ab2 (2)(2)要证明要证明只需证只需证(x(x2 2+y+y2 2) )3 3(x(x3 3+y+y3 3) )2 2，即证即证x x6 6+3x+3x4 4y y2 2+3x+3x2 2y y

7、4 4+y+y6 6xx6 6+2x+2x3 3y y3 3+y+y6 6，即证即证3x3x4 4y y2 2+3x+3x2 2y y4 42x2x3 3y y3 3, ,x0,y0,xx0,y0,x2 2y y2 20.0.即证即证3x3x2 2+3y+3y2 22xy,3x2xy,3x2 2+3y+3y2 2xx2 2+y+y2 22xy,2xy,3x3x2 2+3y+3y2 22xy2xy成立，成立，11223323(xy )xy,31122323xyxy.【拓展提升【拓展提升】1.1.综合法证明不等式的方法综合法证明不等式的方法(1)(1)综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不

8、等式综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系的左右两端之间的差异与联系. .合理进行转换，恰当选择已知合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键不等式，这是证明的关键. .(2)(2)在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的最常用的. .在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件. .2.2.综合法与分析法的逻辑关系综合法与分析法的逻辑关系用综合法证明不等式是用综合法证明不等式是“由因导果由因导果”, ,分析法证明不等式是分析法证明不等式是“执

9、果索因执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法，它们是两种思路截然相反的证明方法. .综合法综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理、清楚，所以在实际往往是分析法的逆过程，表述简单、条理、清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见, ,分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野. .3.3.分析法的应用分析法的应用当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式、基本不当所

10、证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆步必须可逆. .【变式训练【变式训练】1.1.已知已知a,bRa,bR+ +, ,且且a+ba+b=1,=1,求证：求证：【证明【证明】方法一：方法一：aa，b(0b(0，+)+)，且，且a+ba+b=1,=1,abab 当且仅当当且仅当a=ba=b时，等号成立时，等号成立. .1125(a)(b).ab42ab1(),2

11、42211ba1(a)(b)ababababba1()(ab)2abab1252(2)2241125(a)(b).ab4，方法二：方法二：1-ab1-ab当且仅当当且仅当a=ba=b时，等号成立时，等号成立. .(1-ab)(1-ab)2 2 (1-ab) (1-ab)2 2+1+1又又131,449,1625,1621 ab11252544abab164，22a b2ab2251125(a)(b).ab4ab4，方法三：方法三：1125(a)(b)ab422a1 b125ab42214ab8ab4a b33ab804ab4ab1125(a)(b).ab4，2.2.已知已知a0,b0,2ca+

12、ba0,b0,2ca+b, ,求证：求证：【证明【证明】要证：要证：只需证：只需证：只需证：只需证：|a-c|a-c|只需证：只需证：(a-c)(a-c)2 2cc2 2-ab,-ab,只需证：只需证：a a2 2+c+c2 2-2acc-2aca2aca2 2+ab.+ab.a0,a0,只需证只需证2ca+b2ca+b, ,由题设，上式显然成立由题设，上式显然成立. .故故22ccabaccab.22ccabaccab,22cabaccab,2cab,22ccabaccab.考向考向 3 3 用反证法或放缩法证明不等式用反证法或放缩法证明不等式【典例【典例3 3】若若a a3 3+b+b3

13、3=2=2，求证，求证:a+b2.:a+b2.【思路点拨【思路点拨】直接证明直接证明a+b2a+b2比较困难，可考虑从反面入手，比较困难，可考虑从反面入手，运用反证法，导出矛盾，从而证得结论运用反证法，导出矛盾，从而证得结论. .【规范解答【规范解答】方法一方法一: :假设假设a+ba+b2,2,而而a a2 2-ab+b-ab+b2 2但取等号的条件为但取等号的条件为a=b=0,a=b=0,显然不可能显然不可能, ,aa2 2-ab+b-ab+b2 20.0.2213(ab)b0,24则则a a3 3+b+b3 3=(a+b)(a=(a+b)(a2 2-ab+b-ab+b2 2) )2(a2

14、(a2 2-ab+b-ab+b2 2),),而而a a3 3+b+b3 3=2,=2,故故a a2 2-ab+b-ab+b2 21.1.1+ab1+aba a2 2+b+b2 22ab.2ab.从而从而abab1.1.aa2 2+b+b2 21+ab1+ab2.2.(a+b)(a+b)2 2=a=a2 2+b+b2 2+2ab+2ab2+2ab2+2ab4.4.a+ba+b2.2.这与假设矛盾，故这与假设矛盾，故a+b2.a+b2.方法二方法二: :假设假设a+ba+b2 2，则，则a a2-b,2-b,故故2=a2=a3 3+b+b3 3(2-b)(2-b)3 3+b+b3 3，即，即2 2

15、8-12b+6b8-12b+6b2 2, ,即即(b-1)(b-1)2 20 0，这不可能，从而，这不可能，从而a+b2.a+b2.方法三方法三: :假设假设a+ba+b2,2,则则(a+b)(a+b)3 3=a=a3 3+b+b3 3+3ab(a+b)+3ab(a+b)8.8.由由a a3 3+b+b3 3=2,=2,得得3ab(a+b)3ab(a+b)6.6.故故ab(a+bab(a+b) )2.2.又又a a3 3+b+b3 3=(a+b)(a=(a+b)(a2 2-ab+b-ab+b2 2)=2,)=2,ab(a+bab(a+b) )(a+b)(a(a+b)(a2 2-ab+b-ab+

16、b2 2),),aa2 2-ab+b-ab+b2 2abab, ,即即(a-b)(a-b)2 20,0,这不可能，故这不可能，故a+b2.a+b2.【拓展提升【拓展提升】 1.1.适宜用反证法证明的数学命题适宜用反证法证明的数学命题(1)(1)结论本身是以否定形式出现的一类命题结论本身是以否定形式出现的一类命题. .(2)(2)关于唯一性、存在性的命题关于唯一性、存在性的命题. .(3)(3)结论以结论以“至多至多”“”“至少至少”等形式出现的命题等形式出现的命题. .(4)(4)结论的反面比原结论更具体、更容易研究的命题结论的反面比原结论更具体、更容易研究的命题. .2.2.使用反证法证明问

17、题时，准确地作出反设使用反证法证明问题时，准确地作出反设( (即否定结论即否定结论) )，是，是正确运用反证法的前提，常见的正确运用反证法的前提，常见的“结论词结论词”与与“反设词反设词”列表列表如下：如下：结论词结论词反设词反设词结论词结论词反设词反设词至少有一个至少有一个一个也没有一个也没有对所有对所有x x成立成立存在某个存在某个x x不不成立成立至多有一个至多有一个至少有两个至少有两个对任意对任意x x不成立不成立存在某个存在某个x x成成立立至少有至少有n n个个至多有至多有n-1n-1个个p p或或q qp p且且q q 至多有至多有n n个个至少有至少有n+1n+1个个p p且且

18、q qp p或或q q3.3.放缩法证明不等式的技巧放缩法证明不等式的技巧放缩法证明不等式，就是利用不等式的传递性证明不等关系，放缩法证明不等式，就是利用不等式的传递性证明不等关系，即要证即要证a ab b，只需先证明，只需先证明a ap p，且，且p pb.b.其中其中p p的确定是最重要，的确定是最重要，也是最困难的，要凭借对题意的深刻分析，对式子巧妙变形的也是最困难的，要凭借对题意的深刻分析，对式子巧妙变形的能力以及一定的解题经验能力以及一定的解题经验. .【变式训练【变式训练】若若n n是大于是大于1 1的自然数的自然数, ,求证求证: :【证明【证明】22211111.23n2n12

19、11,nn n12111,nnn1222111111111,23n2334nn122211111.23n2n1考向考向 4 4 数学归纳法的应用数学归纳法的应用【典例【典例4 4】已知已知f(nf(n)=)=当当n1,nNn1,nN时，求证：时，求证：f(2f(2n n)【思路点拨【思路点拨】解答本题可先验证解答本题可先验证n=2n=2时不等式成立，再假设时不等式成立，再假设n=kn=k时不等式成立，推出时不等式成立，推出n=k+1n=k+1时不等式成立时不等式成立. .11111234n，n2.2【规范解答【规范解答】(1)(1)当当n=2n=2时，时，f(2f(22 2)= )= 成立成立

20、. .(2)(2)假设当假设当n=k(kNn=k(kN且且k2)k2)时不等式成立，时不等式成立，即即f(2f(2k k)= )= 成立成立. .则当则当n=k+1n=k+1时，时，f(2f(2k+1k+1)=)=即当即当n=k+1n=k+1时不等式成立时不等式成立. .由由(1)(2)(1)(2)知，对于任意的知，对于任意的n1,nN,n1,nN,不等式成立不等式成立. .n1112522n21,f 22341222k1111k2123422kkkk 1111111123221222kkkkkkkkkkk111k211k22f 221222222122222k12k21.222【拓展提升【拓

21、展提升】数学归纳法的应用数学归纳法的应用数学归纳法是用来证明与正整数数学归纳法是用来证明与正整数n n有关的数学命题的一种常用有关的数学命题的一种常用方法，应用时应注意以下三点：方法，应用时应注意以下三点：(1)(1)验证是基础验证是基础数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n n0 0，这个，这个n n0 0就是要证明的命题对象的最小正整数，这个正整数并不一定都就是要证明的命题对象的最小正整数，这个正整数并不一定都是是“1”1”，因此，因此“找准起点，奠基要稳找准起点，奠基要稳”是正确运用数学归纳是正确运用数学归纳法第一个要注意的问题法第一个要注意的问题. . (2)(2)递推乃关键递推乃关键数学归纳法的实质在于递推，所以从数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”k”到到“k+1”k+1”的过程，的过程，必须把归纳假设必须把归纳假设“n=k”n=k”作为条件来导