Levy过程与随机计算读书报告

1、 湖南师范大学研究生课程论文论文题目 Levy过程与随机计算 读书报告 课程名称 Levy过程与随机计算 姓 名 * 学 号 * 专 业 概率论与数理统计 年 级 2*级 学 院 数学与计算机科学学院 日 期 年 月 .(以下内容由任课老师填写)研究生课程论文简要评语 评阅教师签名： 年 月 日 得分： 过程与随机计算读书报告 姓名：* 学号：*这学期我们在邓老师的带领下学习了过程与随机计算这门课程，通过这门课程的学习，我对过程有了初步的了解，并掌握了一些随机分析和随机计算的知识。下面就针对过程的一些知识点做一些总结，其中包括过程的定义，性质，定理，和一些例子（如运动，过程，过程，复合过程等）

2、以及它们的特征，还简单介绍了分解定理。首先，先回顾一下几个重要知识点:无穷可分：称为无穷可分的，若对于存在个相互独立同分布的随机变量使得与同分布。 定理：是上的一个概率测度， 是无穷可分的存在向量，正定对称矩阵，上的一个测度，使得对于，均有其中.特征：的特征函数（）， 我们称映射为特征1、 过程的定义： 设概率空间为为概率空间，为定义在该空间上的一个随机过程，我们称是一个过程，若满足以下几条：有独立平稳增量，即对于 相互独立; 且与同分布;是随机连续的，即对于.注：在满足的条件下，等价于.二、过程的几条性质，定理；1、 若是一个过程，则对于是无穷可分的（即对于可以表示成个相互独立同分布随机变量

3、的和）。2、 若是随机连续的，则对于，映射是连续的。3、 若是一个过程，则对于， 其中为的特征函数，即，为 的特征。4、 若是一个过程，特征为；则（1）也是一个过程，并且其特征为， 其中对于； （2），过程是一个过程，其特征为5、若随机过程和是随机连续的，则也是随机连续的。6、若过程和相互独立，则也是过程。7、若是随机连续的，存在一列过程，其中并且对于，依概率收敛到，对于，；则是一个过程。三、过程的一些例子：1、运动和过程：上的（标准的）运动是一个过程，满足：对于， ：有连续的样本轨道。由，我们可知若是一个标准的运动，则它的特征函数为，（对于）。注解：（1）运动的样本轨道几乎处处不可微 （2）

4、对于任意上的时间序列，有 ； 令是一个正定对称矩阵，为的平方根，即是矩阵满足，令，是上的运动，构造上的过程，；则且是一个过程，也是一个过程（即的所有的有限维分布都是的）。的特征为，即其特征为。若，我们常写作，为的协方差。2、 过程：取值于的参数为的过程是一个过程，其中，所以，定义一列非负的随机变量（称为等待时间）：，则服从分布，且对于，间隔时间服从均值为的指数分布，且是相互独立同分布的。的样本轨道在有限区间内是分段连续的，在每一个处都会有一个跳跃度为1的跳。是一个鞅，定义过程，其中，则是一个复合过程，且对于，3、 复合过程： 令是一列取值于的相互独立同分布的随机变量，它们的分布测度均为，令是一

5、个参数为的过程，且与独立，定义复合过程为：， 所以。 显然，一个复合过程是一个过程且每一个。复合过程是一个过程，的特征为。若和是两个定义在同一个概率空间上的相互独立的过程，到达时间分别为；则对于一些，.即两个相互独立的过程必须在不同的时间上才会有跳。4、 随机测度跳过程，其中，是在点的左极限。若是一个单调增的过程，取值于，则是一个过程。令是一个过程且选择.则，所以不可能有独立增量。若是一个过程，对于固定的，.若 是一个复合过程，则 .对于， 定义,所以，对于，函数是一个上的计数测度，因此在上是可测的，记为的强度参数，若，我们则称是从下有界的。结论：（1）若是从下有界的，则. （2）若是从下有界

6、的，则是一个强度为的过程。 （3）若是互不相交的，则随机变量是相互独立的。令是一个可测空间，是一个概率空间。上的随机测度是随机变量使得：（1） ；（2） 可数可加性：对于任意一个序列，其中是中的互不相交的集合，；（3） 分散化独立性：对于中互不相交的集合族，随机变量是独立的。若当，服从分布，我们则称是随机测度。对于,我们则可以得到上的有限测度.给定测度空间上的有限测度，存在概率空间上的随机测度使得,.例子：令，是一个代数，令是一个过程，则是一个点过程，是其随机测度。对于，A是从下有界的，我们定义补偿随机测度：，是一个鞅。显然，我们有以下结论：（1） 是上的一个计数测度；（2） 对于从下有界，是

7、一个强度为的过程；（3） 是一个鞅值测度，其中，是从下有界的。下面看一下积分，令为到的可测函数，是从下有界的，则对于，我们可以定义的积分为随机变量有限和.注意每一个都是值随机变量。因为,我们有.令是过程的到达时。积分的另一种表达形式是。定理：令是从下有界的，则有下面几条成立：（1） 对于是一个复合分布，使得对于，其中（2） 若，我们有（3） 若，我们有.若是可测函数，则是一个复合过程。对于任意的，定义补偿积分： ；显然，是一个鞅；由上述定理可知：对于有；且对于，.若，是从下有界的，我们有.若是从下有界的，定义：，则为鞅空间的闭子空间。 若为到的可测函数，是从下有界的，是一个随机测度且为过程的调

8、的计数测度，强度参数为，定义，其中，则在上有界变差。又设为其特征，对于，是一个鞅，其中，则是有界变差的。每一个从属过程都是有界变差的。5、 分解预备知识：命题2.4.1:设是两个右连左极的中心鞅，对于是的，且对于，则注：当均为布朗运动时，上述命题是不成立的。例：是一个过程，到达时间为令是右连左极的中心鞅，则。例：设是下方有界的，是右连左极的平方可积鞅，在的到达时间是连续的，则与中的每一个过程均是正交的。定理：若是不交的且是从下有界的，则与是相互独立的随机过程。若使得我们就称过程是有有界跳的。定理：若过程有有界跳，则对，.对于，考虑复合过程定义一个新的随机过程，其中，为过程。令为过程的到达时间，

9、则，且是一个过程。定理：一个过程有有界的跳对于一些，可以表示成的形式。对于任意的，定义一个过程，则是一个中心鞅，对于.下面的讨论令，、简写为、定理：对于，其中与是相互独立的过程，有连续的样本轨道，.设为随机测度的强度参数，则（1）是一个测度； （2）对于，； （3）对于，. (4)是一个布朗运动.分解定理：若是一个过程，则存在，存在一个布朗运动（的协方差矩阵为），存在一个上的随机测度（与独立）使得， 其中例：（1）稳定过程的分解：因为稳定过程没有跳，且扩散部分为0，所以它的分解为.稳定过程，当时，有有限均值，否则，有无限均值。 （2）从属过程的分解：因为从属过程是一维的几乎处处不降的过程，所以它只有上跳没有下跳，也不能有扩散项，所以从属过程的分解为.分解的一个重要推论：若是一个过程，则对，上述推论反之不对，因为在分解的证明中我们没有用