伯努利概型与全概公式

1、计算机数学1计算机数学2定义定义: 若两个事件若两个事件 A、B 中中, 任一事件的发生与否任一事件的发生与否不影响另一事件的概率不影响另一事件的概率, 则称事件则称事件 A 与与 B 是相互独是相互独立的，立的，事件的独立性事件的独立性.)()()( BPAPABP 且且即即也也都都相相互互独独立立与与与与与与则则下下列列三三对对事事件件相相互互独独立立与与若若事事件件定定理理.;,BABABABA ; )()(1)()()()1(BPAPBPAPBAP ;)(1)()()()()2(BPAPBPAPBAP .)(1)(1)()()()3(BPAPBPAPBAP 计算机数学3)(1)(BAP

2、BAP 若事件若事件 A 与与 B 相互独立相互独立?)( BAP)(1BAP ).()(1BPAP BABA )()()(BPAPBAP ).()(1)(BPAPBAP 计算机数学4. )()()(1)(. )()()()(,321321321321321APAPAPAAAPAPAPAPAAAPAAA 则则相相互互独独立立如如果果事事件件 以上两个公式还可以推广到有限个事件的情以上两个公式还可以推广到有限个事件的情 形形:计算机数学5分析分析1：分析分析2： 思考：从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，A=抽到K，B=抽到的是红色的，问事件A,B是否独立？相相互互独独立立。，故故从从而而BAA

3、BPBPAPABPBPAP,)()()(,261522)(,215226)(,131524)( 相相互互独独立立。，故故从从而而BABAPAPBAPAP,)|()(,131262)|(,131)( 计算机数学6设设一枚硬币独立掷两次，一枚硬币独立掷两次，1第第一一次次出出现现正正面面 A2第二次出现正面第二次出现正面 A3正、反面各一次正、反面各一次 A4正面出现两次正面出现两次 A)(则事件则事件两两独立两两独立、两两独立两两独立、相互独立相互独立、相互独立相互独立、432321432321)()()()(AAADAAACAAABAAAA计算机数学7 某人应聘某人应聘甲甲公司品公司品酒酒师职

4、位师职位,该应聘者声该应聘者声称能以称能以90%的准确性判别出两种不同的酒的准确性判别出两种不同的酒,并可以依此提出并可以依此提出相相应应的的推销建议推销建议. 为了检验为了检验应聘者的辨酒能力以决定是否录用应聘者的辨酒能力以决定是否录用, ,甲甲公公司司对该对该应聘者进行测试应聘者进行测试. .让他连续让他连续分别分别品品尝两种酒尝两种酒1010次次, ,二次间的间隔为二次间的间隔为3 3分钟分钟. . 若应聘者在若应聘者在1010次辩别中至少有次辩别中至少有7 7次能准确判别出两次能准确判别出两种不同的酒种不同的酒, ,则给予录用则给予录用, ,否则否则, ,就拒绝录用就拒绝录用. .问题

5、问题:(1)上述测试方法使公司被上述测试方法使公司被冒牌者蒙冒牌者蒙到岗位到岗位的概率有多大的概率有多大? (2)上述测试方法使公司上述测试方法使公司将真正的行家将真正的行家拒之门外拒之门外的概率有多大的概率有多大? (3)能否设计出能否设计出测试方法测试方法使使被冒牌者蒙被冒牌者蒙到岗位到岗位的概率的概率及及将真正的将真正的 行家拒之门外行家拒之门外的概率都变小的概率都变小?计算机数学8伯努利概型伯努利概型设随机试验满足设随机试验满足(1)在相同条件下进行在相同条件下进行n次重复试验次重复试验;(2)每次试验只有两种可能结果每次试验只有两种可能结果,A发生或发生或A不发生不发生;(3)在每次

6、试验中在每次试验中,A发生的概率均一样发生的概率均一样,即即P(A)=P;(4)各次试验是相互独立的各次试验是相互独立的.则称这种试验为则称这种试验为n重伯努利（重伯努利（Bernoulli）试验。）试验。计算机数学9定理定理 在伯努利概型中在伯努利概型中,若一次试验时事件若一次试验时事件A发生发生的概率为的概率为P(0P0, 则称为在事件则称为在事件B发生的发生的 BAP| 前提下，事件前提下，事件A发生的条件概率。发生的条件概率。 APABPABPAP |0,有有若若同理同理条件概率条件概率 BPABPBAP |计算公式：重点回顾计算机数学19定理定理 设设A、B是随机试验是随机试验E的两

7、个随机事件，的两个随机事件， 若若P(B)0,则则 BAPBPABP| 或若或若P(A)0,有有 ABPAPABP| 乘法公式乘法公式计算机数学20例例1 某商店仓库中的某种小家电来自甲、乙、某商店仓库中的某种小家电来自甲、乙、丙三家工厂。这三家工厂生产的产品数分别为丙三家工厂。这三家工厂生产的产品数分别为500件、件、300件、件、200件，且它们的产品合格率件，且它们的产品合格率分别为分别为95%、92%、90%。现从该种小家电产。现从该种小家电产品中随机抽取品中随机抽取1件，求恰抽到合格品的概率。件，求恰抽到合格品的概率。全概率公式全概率公式计算机数学21并并有有且且互互不不相相容容可可

8、知知由由题题意意个个产产品品是是合合格格品品表表示示抽抽到到的的厂厂的的产产品品丙丙乙乙甲甲分分别别表表示示抽抽到到的的产产品品是是设设解解,.1,:321321321 AAAAAABAAA 3 . 01000300, 5 . 0100050021 APAP 2 . 010002003 AP 90. 0|,92. 0|,95. 0|321 ABPABPABP计算机数学22根据乘法定理：根据乘法定理： .”“|111的可能性概率的可能性概率合格品合格品厂生产的厂生产的抽样恰好是抽样恰好是 AABPAP .”“|222的的可可能能性性概概率率合合格格品品厂厂生生产产的的抽抽样样恰恰好好是是 AAB

9、PAP .”“|333的的可可能能性性概概率率合合格格品品厂厂生生产产的的抽抽样样恰恰好好是是AABPAP 计算机数学23根据加法定理：一件抽样不可能既是某厂生产的，根据加法定理：一件抽样不可能既是某厂生产的，同时又是另一个厂生产的，即三个事件属互不相容同时又是另一个厂生产的，即三个事件属互不相容事件（互斥）；不管这件抽样属于哪一个厂生产的事件（互斥）；不管这件抽样属于哪一个厂生产的合格品，都认定为合格品，都认定为“抽到合格品抽到合格品”，故三个事件的，故三个事件的概率相加就是题目所求。即概率相加就是题目所求。即 iiiABPAPBP|31 90. 02 . 092. 03 . 095. 05

10、 . 0 931. 0 计算机数学24定理定理(全概率公式全概率公式) 有有则则对对任任一一事事件件且且即即的的事事件件互互斥斥是是互互不不相相容容若若BniAPAAAjiAAAAAinjin., 2 , 10,2121 iniiABPAPBP|1 完备事件组完备事件组计算机数学25例例2 0345. 002. 040. 004. 035. 005. 025. 0)|()()(31 iiiABPApBP计算机数学26例例3 人们为了了解一支股票未来一定时期内价人们为了了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票的基本因素，格的变化，往往会去分析影响股票的基本因素，比如利率的变化。

11、现在假设人们经分析估计利比如利率的变化。现在假设人们经分析估计利率下调的概率为率下调的概率为60%，利率不变的概率为，利率不变的概率为40%。根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为变的情况下，其价格上涨的概率为40%，求该，求该支股票将上涨的概率。支股票将上涨的概率。64. 0计算机数学27练习、用3个机床加工同一种零件, 零件由各机床加工的概率分别为0.5, 0.3, 0.2, 各机床加工的零件为合格品的概率分别等于0.94, 0.9, 0.9

12、5, 求全部产品中的合格率.解：设解：设 A、B、C是由第是由第1,2,3个机床加工的零件个机床加工的零件 D为产品合格为产品合格, 且且 A、B、C 构成完备事件组构成完备事件组. 则根据题意有则根据题意有 P(A)=0.5, P(B)=0.3, P(C)=0.2, P(D|A)=0.94, P(D|B)=0.9, P(D|C)=0.95, 由全概率公式得全部产品的合格率由全概率公式得全部产品的合格率 P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C) = 0.93计算机数学28解：设解：设A=A仓库保管的麦种仓库保管的麦种, B=B仓库保管的麦种仓库保管的麦种, C=C仓库保管仓库保管的麦种的麦种,D=发芽的麦种发芽的麦种，则，则P(A)=0.4,P(B)=0.35,P(C)=0.25,P(D|A)=0.95, P(D|B)=0.92, P(D|C)=0.90, P(D)= P(A) P(D|A)+ P(B) P(D|B)+ P(C) P(D|C)=0.927练习、某村麦种放在A,B,C