幂级数PPT学习教案

1、会计学1幂级数幂级数 10)(nnxu若若收敛点（发散点）的全体.收敛（发散）收敛点函数项级数: （发散点）x0 :收敛域（发散域 ）U:和函数:),()(1xuxSnn ),()(1xuxSnkkn (收敛域)Ux 部分和：余项：)()()(xSxSxrnn ,)()(limxSxSnn . 0)(lim xrnn 1)(nnxu )()()(21xuxuxun区间 I 上的函数第1页/共56页 确定下列函数项级数的收敛域，并求其和函数：收敛域：,),0( . 0,( 021nnx发散域：和函数： xx221211 nx21等比级数公比:x21xnnx2111210 )121( x(1)解第

2、2页/共56页, )0(02 xnxxnnn,)(lim xunn 该级数发散，故级数的收敛域:.1, 11 xxU，该级数收敛；，该级数收敛；时收敛时收敛当当1 x,10时时当当 x收敛域一般不一定为区间！解第3页/共56页:)0(0 xx的幂级数的幂级数 00)(nnnxxa 202010)()(xxaxxaa 0nnnxa nnxaxaxaa2210 nnxxa)(0的幂级数：的幂级数：)(0 xx 1. 定义例如, 等比级数为幂级数),1(110 xxxnn.)1,1(为区间为区间收敛域收敛域 问题 一般幂级数的收敛域是否为区间？第4页/共56页ox发 散发 散收 敛收敛 发散 0nn

3、nxa则则,0)1(00收敛收敛时，时，若当若当 nnnxaxx)(0 xx 绝对收敛.定理 11.10 ( Abel定理 ) ,)2(00发散发散时，时，若当若当 nnnxaxx 0nnnxa则则)(0 xx 发散.第5页/共56页证 (1) 设)0(000 xxannn, 0lim0 nnnxa则则收敛,Mxann 0故有 M 0, 使xO当 时, 0 xx 00nnxxM收敛, 0nnnxa故原幂级数绝对收敛 .也收敛,nnnnnnxxxaxa00 nnnxxxa00 nxxM0 x0收敛第6页/共56页xO若有收敛点：1x01xx 收敛x10 x则由 (1) 知，也收敛, 矛盾!在在则

4、则 0nnnxa)(0 xx 0nnnxa则则,00发散发散时，时，若当若当 nnnxaxx发散.-x1x0发散xO-x0发散x0发散第7页/共56页幂级数在 (, +) 收敛 ; 0nnnxa幂级数收敛与发散的分界点: R 的收敛域：(1) R = 0 时,幂级数仅在 x = 0 收敛 ;(2) R = + 时,0)3(时时 R幂级数在 (R , R ) 收敛 ;(R , R ) 加上收敛区间的收敛端点：收敛域.R ：收敛半径 ； 在R , R 可能收敛(发散) .Rx 外发散;在(R , R ) ：收敛区间.ox发 散发 散收 敛收敛 发散结论:以原点为中心的区间.第8页/共56页xaax

5、axannnnnnnn 111limlim且且设设 0nnnxa nnnaa1lim证x 定理11.11 )lim nnna（或（或 , 0,1R则收敛半经则收敛半经时，时，当当 0时，时，当当0 时，时，当当 0nnnxa考虑考虑,0)1 若若)(0散散敛敛则则 nnnxa, )(0散散敛敛用比值法判断用比值法判断 nnnxa第9页/共56页xaaxaxannnnnnnn 111limlimx 2) 若, 0 则由比值法知,; R绝对收敛 ,3) 若, .0 R故故 0nnnxa的收敛半径：1lim nnnaaR当,1 x原级数收敛;当,1 x原级数发散.即x1 时,即时,x1 故收敛半径.

6、1R 结论：),(,0 xxannn,00处发散处发散在在 xxannn第10页/共56页 1;2)1(nnnnx求求解1lim nnnaaR 1;1,21nnx发散发散时时当当.)1(,211收敛收敛时时当当 nnnx.)21,21 收敛域为收敛域为,21122lim1 nnnnn 0)!12()1()2(nnnnx的收敛域.(1) 收敛半径第11页/共56页)!12(1)!12(1lim nnn1lim nnnaaR . )( ，收敛域为收敛域为 0)!12()1()2(nnnnxnnn2)12(lim 解 (2)第12页/共56页解, 1 xy记记nnnaa1lim ,3131131li

7、m221 nnnnn 12.31nnnnx的收敛域的收敛域求求x-1的幂级数级数化为级数化为.3 R收敛半径收敛半径,312 nnnny第13页/共56页;1,312收敛收敛时时当当 nny .1,312收敛收敛时时当当 nnny故收敛域为：故收敛域为：.42 x即即, 313 xy,312 nnnny. 1 xy第14页/共56页 12.21nnnxnn的收敛域的收敛域求求解2222121limxxnnnnn 由比值法，由比值法， nnnnnxnnxnn222121212lim )()(lim1xuxunnn 缺项幂级数，直接用比值法第15页/共56页 .21, 1,21, 122xxx级数

8、发散级数发散级数收敛级数收敛 ,21时时 x 1221nnnxnn的收敛域的收敛域求求原级数为.)21,21( 所给级数的收敛域：所给级数的收敛域： 11nnn 111nnn发散 21111nOnn 第16页/共56页 设nnnxa 0nnnxb 0及收敛半径分别为,21RR令 ,min21RRR nnnnnnxbxa 00,)(0nnnnxba Rx ,0nnnxc Rx 则 nnnnnnxbxa 00其中knnkknbac 01. 幂级数的四则运算性质两幂级数可在公共收敛域上相加减, 相乘(1)加减法:(2)乘法:第17页/共56页 例如, 设 nnnxa 0nnnxb 0),2,1,0,

9、1(0 naan ,3,2,0,1,110nbbbn收敛半径均为, R但是nnnxa 0 nxxx21其收敛半径只是 .1 R1 x 1nnnxb 0 x 11两幂级数相除所得幂级数的收敛半径R可能比原两幂级数的收敛半径R1, R2 小得多.第18页/共56页nnnxa 0的收敛半径,0 R)(xS数数 nnnxaxS0)(,11 nnnxan),(RRx xxaxxSnxnnxdd)(000 ,110 nnnxna),(RRx 则其和函(1) 在收敛域 I上连续;(2) 在收敛区间内 逐项积分:性质 若收敛半径不变可逐项求导、 第19页/共56页).(11xSxnnn的和函数的和函数求幂级数

10、求幂级数 解先求收敛域先求收敛域111limlim1 nnaaRnnnn;, 2ln)1(11收敛收敛时时 nnnx,111发散发散时时 nnx该幂级数的收敛域：该幂级数的收敛域：).1, 1 第20页/共56页)(xS ， 1)(nnnx 0kkxx 11 11nnx)(2xS再求和函数再求和函数 1,1211)(nnnxnxxxnxS)0()(SxS xxSxd)(0 0 )(xS xxx0d11xx0)1ln( ，)1ln(x )1, 1( x).1, 1 由和函数的连续性)1, 1( x)1, 1 x第21页/共56页1 幂级数逐项求导, 逐项积分收敛半径不变, 但区间端点的敛散性可能

11、变化，即收敛域 可能发生变化. 求导 (去分母) 求和 积分（如例5） 积分 (去分子) 求和 求导（如例6（1）2 求幂级数和函数的方法:第22页/共56页求下列幂级数的收敛域及和函数： 112)1(321)1(nnnxxx 011)1()2(nnnnx解已知等比级数已知等比级数)1(1112 xxxxxnx 11xt 令令)1(1112 tttttn) 1() 1(132 xxxxxnn公比: - x第23页/共56页)( 逐项积分逐项积分 xnxxxsxnnnxd)1(d)(01110 1011d)1(nxnnxxn 112)1(321)(nnnxxxxs(1) (方法1)1( x 11

12、)1(nnnx 1)1(0 nnnx 1)1(nnnx)1( x第24页/共56页 1)1(0 nnnx 111 x xxxs0d)(两边对x 求导：)1( x)1( x)1()1(110 xxxnnn 211x 111)(xxs第25页/共56页)11( x)( 逐项求导逐项求导 011)1(nnnnx 01)1(nnnx 01)()1(nnnx 112)1(321nnnxxx(方法2) ).1(112 xx1)( nnnxx)1( x 0)1(nnnx)1()1(110 xxxnnn第26页/共56页)1()1(110 xxxnnn 011)1()2(nnnnx1d10 nxxxnxn 0

13、0d)1(nxnnxx)( 逐项积分逐项积分xxxd110 )1(d)1(00 xxxxnnn)1ln(x 011)1(,1nnnx收敛；收敛；处处.1110发散发散处，处， nnx)11( x)(的连续性的连续性由和函数由和函数第27页/共56页.2)1(122的和的和求数项级数求数项级数 nnn解 设,1)(22 nnnxxS则, )1,1( x 2112nnnxx 21121nnnxx)1 , 1(0( xx， 12nnnxx 321nnnxxnnxnnxS)1111(21)(2 22121xxnxxnn 第28页/共56页 1nnnx 101dnxnxx而 xxxnnd011 xxx0

14、1d)1ln(x 42)1ln(21)(2xxxxxS 于是于是故 222)1(1nnn)0( x 1)212()(nnnxxxxS)2(212xxx )21(S 2ln4385 ) 1 , 1(0( xx，第29页/共56页求常数项级数求常数项级数 0nnu的和，可利用幂级数及的和，可利用幂级数及 其和函数其和函数.具体步骤如下：具体步骤如下： 找一个幂级数找一个幂级数；，使，使nnnnnnuxaxa 00 求求 0nnnxa的收敛区间；的收敛区间； 12若若 00nnnxa发散，则发散，则 0nnu发散发散； 第30页/共56页 若若 00nnnxa收敛，则转下一步收敛，则转下一步: 求出

15、求出 0nnnxa的和函数的和函数 S(x)； 34 0nnu= S(x0). 第31页/共56页解 易知收敛半径 R+. 0!nnnx 0!)(nnnxxS)( x则 11! )1()(nnnxxS 0!kkkx)(xS )( x求幂级数 的和函数S(x).0)()( xSxSR, 0 )(e xxSx即即)( x第32页/共56页R, 0 )(e xxSx即即,)(eCxSx ,)(1)0(xexSS 得，得，由由故得).,(e!0 xnxxnn，因此Re)( xCxSx，即即第33页/共56页 00)(nnnxxa1.收敛域：以x0为中心的区间；2.收敛半径：1lim nnnaaR幂级数

16、3. 幂级数的四则运算性质4. 幂级数的分析运算性质连续性，逐项求导，逐项积分第34页/共56页1. 设设 0nnnxa在在 x3 处条件收敛，问处条件收敛，问: (1) 该级数的收敛半径是多少？该级数的收敛半径是多少？ (2) 级数级数 nnnxa)3(在在 x1 及及 x1 处处 的敛散性如何？的敛散性如何？ 解(1) 收敛半径收敛半径 R3. 这是因为根据这是因为根据 阿贝尔定理，阿贝尔定理， 0nnnxa在在 x3 处处收敛收敛， 第35页/共56页则当|x| 3，则由 当|x| R时，该级数绝对收敛推知： 在x3处绝对收敛，这与 条件收敛矛盾. 所以必有 R 3. 0nnnxa所以.

17、 3 R第36页/共56页(2) 令令 tx3. 则则 0)3(nnnxa 0nnnta 当当|x3|t|3 时，时， 0)3(nnnxa发散发散; 当当 x1 时，时，31 43， 0)3(nnnxa 在在 x1 处发散； 当处发散； 当 x1 时，时， |13|2|23， 所以该级数在所以该级数在 x1 处绝对收敛处绝对收敛. 第37页/共56页2. 设nnnxa 0ax 在在处条件收敛 , 求收敛半径.解由Abel 定理知, 级数在ax 处收敛 ,ax 处发散 .故收敛半径为.aR nnaa1其中其中 nn)1(2)1(2211n 为奇数,23n 为偶数,613. nnnnx 02)1(

18、2能否确定 的收敛半径不存在 ? nnnxu)(lim 2)1(2limxnnn ,2x .2 R不能第38页/共56页当 x =1时, 1lim nnnaaR nxxxxnn 132)1(32求收敛半径及收敛域.解11 nn11 当 x = 1时, 级数nnn1)1(11 收敛; 级数 11nn发散 . . 1,1( 故收敛域为 lim n 第39页/共56页解：径与收敛域径与收敛域求下列幂级数的收敛半求下列幂级数的收敛半 01.!)2(;3)1(nnnnnnxnxnnnaa1lim)1( 因因 13131lim1nnnnn 3113lim nnn，所以收敛半径所以收敛半径31 R .33，

19、收敛区间为收敛区间为 第40页/共56页 1;13nnx是调和级数，发散是调和级数，发散处，处， .111是收敛的交错级数是收敛的交错级数处，处， nnnx .3331，的收敛域为的收敛域为综上所述，级数综上所述，级数 nnnnxnnnaa1lim)2( 因因 !1!11limnnn 011lim nn，故收敛半径故收敛半径 R . ，从而收敛域为从而收敛域为第41页/共56页.!)2(;!1)1(00nnnnxnxn 解 (1) limlim1 nnnnaaR!1n)1(lim nn 所以收敛域为. ),( (2) limlim1 nnnnaaR!n!)1( n11lim nn0 所以级数仅

20、在 x = 0 处收敛 .规定: 0 ! = 1! )1(1 n第42页/共56页 12)1(nnnnx求求的收敛域.解 令 ,1 xt级数为nnntn 121 nnnnaaRlimlim1nn21)1(211 nnnnnnn2)1(2lim1 2 当 t = 2 时, 级数 11nn发散;当 t = 2 时, 级数 1)1(nnn条件收敛;收敛域为,212 xt即.31 x第43页/共56页解 .111的收敛域的收敛域求幂级数求幂级数 nnnnx 11, 1nnnnttxt的幂级数的幂级数得得令令, 1111limlim1 nnaannnn因因.1 R故故 ,11收敛收敛 nnn 111nn

21、t发散，发散，时时当当时时当当1 t 的收敛域的收敛域于是于是 11nnnnt .20，敛域为敛域为 ，为为11 的收的收故原级数故原级数nxnnn111 第44页/共56页nnxnn202) !(! )2( 求求的收敛半径 .分析 级数缺奇次项, lim)()(lim1 nnnnxuxu2!)1( ! )1(2 nn2!2nn22)1()22( )12(limxnnnn 24x 142 x当当时级数收敛时级数发散 故收敛半径： .21 R21 x即即142 x当当21 x即即)1(2 nxnx2故直接用比值审敛法求收敛半径.解第45页/共56页.2112的收敛域的收敛域求幂级数求幂级数 nn

22、nx解用比值审敛法用比值审敛法缺项级数缺项级数 xuxunnn1lim nnnnxxn2212132lim 22x ;,2,122幂级数收敛幂级数收敛时时即即当当 xx时，时，即即当当2,122 xx 0122nnnx发散，发散，.2 R发散，发散，时，时，当当 022nx .22，故幂级数的收敛域为故幂级数的收敛域为 第46页/共56页 02121nnxSxn的和函数的和函数求幂级数求幂级数解因为因为先求收敛半径先求收敛半径.Rnnnaa1lim , 1112321lim nnn.1 R所以所以 .11，故收敛域为故收敛域为 02,121nnxnxS设设 ,121120 nnxnxxS则则发散，发散，处处在在 01211nnx第47页/共56页逐项求导，得逐项求导，得 012121nnxnxxS 02nnx211x 积分得积分得 xxxSxxS0| xxxSxd0 dxxx 0211 111ln21 xxx1 x 011011ln21xxxxxxS故故第48页/共56页 01)2(nnnx的和函数解 ； 1nnnx(1) 联想)1 , 1(,110 xxxnn（需去分母）,)(1 nnnxxS 1)()(nnnxxS，xxnn 1111)1 , 1( xxxxxSxSxxd11d)()(00 ，)1ln(x )1 , 1 x).(xS第49页/共56页， 011)(n