第五章弯曲内力

1、Page1上一讲回顾（上一讲回顾（8）扭转静不定问题（拉压与扭转问题对比）扭转静不定问题（拉压与扭转问题对比）闭口与开口薄壁杆的概念闭口与开口薄壁杆的概念 2T闭口薄壁杆的应力与变形闭口薄壁杆的应力与变形maxmin 2T tTlGI 24tIds 202TR圆：圆： 302TlG R圆：圆：#非圆截面杆扭转非圆截面杆扭转tTlGI maxtTW ,ttWI（ 查表）查表）#开口薄壁杆扭转开口薄壁杆扭转 313niiiTlGh maxmax313niiiThPage2补充：补充：全国周培源大学生力学竞赛全国周培源大学生力学竞赛2000年赛题年赛题MMLDd材料相同空心外轴与实心内轴紧配合压强材

2、料相同空心外轴与实心内轴紧配合压强p，摩擦系数摩擦系数m m。求。求(1)能施加的极限外力偶能施加的极限外力偶Mu；(2)设设 ， 画轴的扭矩图。画轴的扭矩图。uMM23Page3补充：补充：全国周培源大学生力学竞赛全国周培源大学生力学竞赛2004年赛题年赛题MMLDd材料相同空心外轴与实心内轴紧配合压强材料相同空心外轴与实心内轴紧配合压强p，摩擦系数摩擦系数m m。求。求(1)能施加的极限外力偶能施加的极限外力偶Mu；解解(1)：当两轴所有接触面达到当两轴所有接触面达到临界滑动状态时，临界滑动状态时， 外力偶达到外力偶达到极限值极限值 Mu 。(2)设设 ， 画轴的扭矩图。画轴的扭矩图。uM

3、M23/uMpdL d2m m uMdpL212mmMd212uMmdpL m mPage4(2)设设 ， 画轴的扭矩图。画轴的扭矩图。uMM23MMLDdx1x2uMdpL212mm(1)问题（问题（2）讨论：）讨论： (1)如果牢固连接，两轴之间如果牢固连接，两轴之间是否有切向内力？是否有切向内力？ (2)是否有应力集中？是否有应力集中？ (3)讨论随讨论随M增大，讨论两轴增大，讨论两轴相对滑动发生的过程。相对滑动发生的过程。 (4)滑动与未滑动交界处变形滑动与未滑动交界处变形协调条件：协调条件：ie MLDx1x2mmMduMmLmPage5(2)设设 ， 画轴的扭矩图。画轴的扭矩图。u

4、MM23解：解：设左端滑移段长设左端滑移段长x1MMLDdx1x2iuuxTMML123在在x=x1处，两轴扭矩处，两轴扭矩11euxTmxMLMduMmLmMLDx1x2mmPage6(2)设设 ，画轴的扭矩图。画轴的扭矩图。uMM23MMLDdx1x2iuuxTMML123在在x=x1处处euxTML1()()()ieT xT xdDd114443232()DdxLD441423()iudT xMD41423()()iexx11 由由()()iepipeT xT xGIGI11Page7材料相同空心外轴与实心内轴紧配合压强材料相同空心外轴与实心内轴紧配合压强p，摩擦系数摩擦系数m m。(2

5、)设设 ，画轴的扭矩图。画轴的扭矩图。uMM23MMLDdx1x2euuxTMML223在在x=x2处处iuxTML2dxLD42423()iudT xMD42423()()iexx22由由()()()ieT xT xdDd224443232()()iepipeT xT xGIGI22Page8材料相同空心外轴与实心内轴紧配合压强材料相同空心外轴与实心内轴紧配合压强p，摩擦系数摩擦系数m m。(2)设设 ， 画轴的扭矩图。画轴的扭矩图。uMM23MMLDdx1x2dLD4423()DdLD44423L3TOx()DdxLD441423()iudT xMD41423dxLD42423()iudT

6、 xMD42423udMD4423uM23MduMmLmPage9 Page10 剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系 刚架与曲梁的弯曲内力刚架与曲梁的弯曲内力 本章主要研究本章主要研究 直梁弯曲内力直梁弯曲内力Page11上图：水闸立柱上图：水闸立柱下图：跳板下图：跳板弯曲实例弯曲实例Page12哪些构件承受哪些构件承受弯曲载荷？弯曲载荷？Page13弯曲的定义、力学弯曲的定义、力学特征与计算简图特征与计算简图上图：弯曲构件上图：弯曲构件下图：计算简图下图：计算简图外力特征：外力特征：外力或外力偶的矢量垂直于杆轴外力或外力偶的矢量垂直于杆轴变形特征：杆轴由直线变为

7、曲线变形特征：杆轴由直线变为曲线弯曲与梁：以轴线变弯为主要特征的变形形式称为弯曲弯曲与梁：以轴线变弯为主要特征的变形形式称为弯曲 以弯曲为主要变形的杆件称为梁。以弯曲为主要变形的杆件称为梁。 计算简图通常以轴线代表梁计算简图通常以轴线代表梁Page14主要约束形式与反力主要约束形式与反力 固定固定铰支座：铰支座：支反力支反力 FRx 与与 FRy 可动可动铰支座铰支座：垂直于支承平面的支反力垂直于支承平面的支反力 FR 固定固定端：端：支反力支反力 FRx , FRy 与矩为与矩为 M 的支反力偶的支反力偶Page15可动铰支座：可动铰支座：FRyFRy固定铰支座：固定铰支座：FRyFRx固定

8、端：固定端：FRxFRyMPage16FFFF 简支梁简支梁：一端固定铰支、另一端固定铰支、另一端可动铰支的梁一端可动铰支的梁 外伸梁外伸梁：具有一个或两个具有一个或两个外伸部分的简支梁外伸部分的简支梁 悬臂梁：悬臂梁：一端固定、另一一端固定、另一端自由的梁端自由的梁约束反力数超过有效平衡方程数的梁（约束反力数超过有效平衡方程数的梁（ Ch7 研究）研究）常见静定梁常见静定梁静不定梁静不定梁Page17简支梁：简支梁：悬臂梁：悬臂梁：外伸梁：外伸梁：Page18力学模型讨论力学模型讨论刚性平台刚性平台abABC例：例：弹性梁单位长度重弹性梁单位长度重q, 置于光滑刚性平台上，外置于光滑刚性平台

9、上，外伸段长伸段长a，试确定梁拱起，试确定梁拱起部分长度。部分长度。求解关键：求解关键：如何建立问题的力学模型？如何建立问题的力学模型？BqabCAB点：光滑接触，限制铅垂位移，抽象为：点：光滑接触，限制铅垂位移，抽象为：C点右侧：位移转角为零，点右侧：位移转角为零，抽象为：抽象为：活动铰链活动铰链固支端固支端自重抽象为：自重抽象为： 均布载荷均布载荷Page19刚性平台刚性平台abABCAqabCB力学模型讨论（续）力学模型讨论（续）铰支铰支-固定梁固定梁是否是最是否是最优力学模型？优力学模型？BqabCA分析：分析：C端位移为零，端位移为零，右侧不变形，弯矩为零，右侧不变形，弯矩为零，可抽

10、象为可抽象为固定铰固定铰对比：对比：下图力学模型大下图力学模型大大减少了计算工作量大减少了计算工作量Page20FS剪力剪力M弯矩弯矩梁的内力梁的内力分析方法：分析方法：截面法截面法剪力剪力作用线沿所切作用线沿所切横截面的内力分量横截面的内力分量弯矩弯矩矢量沿所切横截面的矢量沿所切横截面的内力偶矩分量内力偶矩分量S 1AyFFF() 1AyMF bF ba由梁左段平衡求得，在由梁左段平衡求得，在m-m截面：截面：注意：注意：设正法。设正法。在横力载荷下，截面不仅有剪力，还有弯矩在横力载荷下，截面不仅有剪力，还有弯矩Page21剪力：剪力：使微段有沿顺时使微段有沿顺时针方向转动趋势为正针方向转动

11、趋势为正弯矩：弯矩：使微段弯曲呈使微段弯曲呈下凹形为正下凹形为正弯矩符号另一定义：弯矩符号另一定义：使使横截面顶部受压为正横截面顶部受压为正剪力与弯矩的符号规定剪力与弯矩的符号规定Page22 假想地将梁切开，并任选一段为研究对象假想地将梁切开，并任选一段为研究对象 画所选梁段的受力图画所选梁段的受力图，FS 与与 M 宜均设为正宜均设为正 由由 S S Fy = 0 计算计算 FS 由由 S S MC = 0 计算计算 M，C 为截面形心为截面形心小结：任一指定截面剪力与弯矩的计算小结：任一指定截面剪力与弯矩的计算思考：均布载荷、集中载荷、集中力偶两思考：均布载荷、集中载荷、集中力偶两侧剪力

12、是否相等？弯矩是否相等？侧剪力是否相等？弯矩是否相等？Page23bFMxl 11aFMxl 22S1bFFl ,S2aFFl ,AC段段(0 x1a)：CB段段(0 x2b)：Page24lABqFAyFByqFAyxFSM例例5-1：试建立图示简支梁试建立图示简支梁的剪力、弯矩方程，画剪力、的剪力、弯矩方程，画剪力、弯矩图。弯矩图。解：解：1、求支反力，由梁的平衡：求支反力，由梁的平衡： FAy=FBy=ql/2xo2、建立坐标轴建立坐标轴Ox轴轴3、在截面在截面x处截取左段为研处截取左段为研究对象，根据平衡条件：究对象，根据平衡条件：FS=FAy-qx=q(l-2x)/2 M=FAyx-

13、(qx2/2) =qx(l-x)/2 0 xlPage25FS=q(l-2x)/2 M= =qx(l-x)/2 0 xllABqFAyFByxoql/2+_+ql2/84、根据剪力、弯矩方程画根据剪力、弯矩方程画剪力、弯矩图剪力、弯矩图注意事项：注意事项：载荷、剪力、弯矩图对齐载荷、剪力、弯矩图对齐标注段值、极值、正负号标注段值、极值、正负号按工程图要求，请用工具按工程图要求，请用工具 作图作图FS:xFSOM:xMOql/2Page26Aq4RFqaBCa3aAyFByF( )a1x2x43qa53qaqa( ) csF212qa289qa( )dMRFqa4 AByMFqa30,4 AM0

14、 ByFqa83 解：解：1、计算支座反力、计算支座反力，作用于，作用于AC梁中点。梁中点。例：例：建立剪力弯矩方程，并画剪力弯矩图建立剪力弯矩方程，并画剪力弯矩图43qa1SF1x1M2SF2x2M22RFqx( )b11RFqxsFqaqx1143Mqaxqx21114132xa103 AB段内力段内力sFqx22 Mqx22212 xa20 BC段内力段内力Page27例：例：建立剪力弯矩方程，并画剪力弯矩图建立剪力弯矩方程，并画剪力弯矩图qqa2aaABCx可以不求支反力可以不求支反力建立坐标建立坐标建立剪力弯矩方程：建立剪力弯矩方程：FS=-qx (0 x a) M=-qx2/2 (

15、0 x a) FS=-qa (a x 2a) M=qa2-qa(x-a/2) (a x 0，Fs上斜；上斜；q0，M上斜；上斜； Fs 0，M凹；凹；q0,上斜；上斜；Fs0处处,M图凹图凹; q0, 上斜上斜;q0,下斜下斜 集中力集中力F处处, Fs按按F大小大小, 方向跳方向跳 各段起终点各段起终点Fs值值=q图左边面积图左边面积+集中力值集中力值(含支反力含支反力)校核校核: 两图右边回零点两图右边回零点.线形看微分，段值看积分。线形看微分，段值看积分。Page38四、弯矩图快速校核四、弯矩图快速校核xFSO+xMO+FM0+FaFaM0FaM0FM0+FaM0请从剪力、弯矩图的绘制请

16、从剪力、弯矩图的绘制中发现校核的简便有效的中发现校核的简便有效的规律。规律。规律：剪力、弯矩图的图规律：剪力、弯矩图的图线从坐标轴开始，最后回线从坐标轴开始，最后回到坐标轴。到坐标轴。力学依据：平衡，合力和力学依据：平衡，合力和合力偶为零。合力偶为零。Page39例：例：利用微积分关系画剪力弯矩图利用微积分关系画剪力弯矩图ABqa/2qa/2a/2aCD1、求支反力：、求支反力：FAy=5qa/8 FDy= 7qa/85qa/87qa/83、积分关系求、积分关系求特征点特征点剪力弯矩值：剪力弯矩值：03qa2/85qa2/165qa2/160M-7qa/8qa/8qa/85qa/85qa/8F

17、sD-C-B+B-A+CDBCAB2次凸曲线斜上斜上M图斜下水平水平Fs图q =常数0(a 0(a 0)q(x)= c 0q(x) = c 0,上斜；上斜；Fs0处处,M图凹图凹; q0, 上斜上斜;q0,下斜下斜 集中力集中力F处处, Fs跳跃跳跃F，沿沿F方向方向 各段起终点各段起终点Fs值值=q图左边面积图左边面积+集中力值集中力值(含支反力含支反力)线形看微分，段值由积分，凹凸象雨伞，极值对零点，线形看微分，段值由积分，凹凸象雨伞，极值对零点，集中载荷跳，校核图封闭。集中载荷跳，校核图封闭。上一讲回顾（上一讲回顾（10）Page59刚架：刚架：用刚性接头连用刚性接头连接的杆系结构接的杆

18、系结构一、刚架一、刚架Page60刚性接头的力学性质：刚性接头的力学性质： 受力既可传力，也可受力既可传力，也可传递力偶矩传递力偶矩 约束限制相连杆端截约束限制相连杆端截面间的相对线位移与角位移面间的相对线位移与角位移Page61二、刚架的内力及其符号二、刚架的内力及其符号轴力为正，轴力为正，弯弯矩为正矩为正轴力为正，轴力为正，弯弯矩为负矩为负观察者观察者B观察者观察者A内力符号的困惑：内力符号的困惑： MMNFNF平面刚架一般有四个内力分量：平面刚架一般有四个内力分量：轴力、剪力、扭矩和弯矩轴力、剪力、扭矩和弯矩 为什么他们认为弯矩的符号相反？为什么他们认为弯矩的符号相反？ Page62NF

19、NFTTsFsF未画与之平未画与之平衡力偶衡力偶NFNFTTsFsF未画与之平未画与之平衡力偶衡力偶内力符号规定的坐标不变性内力符号规定的坐标不变性与坐标相关性讨论与坐标相关性讨论轴力、扭矩和剪力的符号具有轴力、扭矩和剪力的符号具有坐标不变性。坐标不变性。sF+NF+NF+观察者观察者AT+观察者观察者BT+sF+我们对轴力、剪力、扭矩我们对轴力、剪力、扭矩符号看法相同，符号看法相同，都为正都为正怎么？我们的怎么？我们的图图画在相反一侧？画在相反一侧？图的位置与坐标相关。图的位置与坐标相关。Page63弯矩图的符号坐标相关。弯矩图的符号坐标相关。MMMM观察者观察者BM+M怎么？我们的怎么？我

20、们的图图的符号相反？的符号相反？MM观察者观察者AMMM哈！哈！不标弯矩图的的符不标弯矩图的的符号，号，我们我们就一致了。就一致了。弯矩图的位置具有坐标不变性。弯矩图的位置具有坐标不变性。M内力符号规定的坐标不变性与坐标相关性讨论（续）内力符号规定的坐标不变性与坐标相关性讨论（续）Page64绘制刚架内力图时，关于内力符号的小结绘制刚架内力图时，关于内力符号的小结内力符号与图线位置：内力符号与图线位置： 在不同坐标指向下，轴力、扭在不同坐标指向下，轴力、扭矩、剪力和弯矩，矩、剪力和弯矩，轴力、扭矩和剪轴力、扭矩和剪力符号相同。图线会在不同侧。力符号相同。图线会在不同侧。 弯矩会在同一侧，且一定

21、是受弯矩会在同一侧，且一定是受压侧。压侧。绘制方法：绘制方法：沿刚架的的各段（可任意）选定坐标轴正向，沿刚架的的各段（可任意）选定坐标轴正向，分别按对前述直杆、轴和梁所建立的方法（包括建立内力分别按对前述直杆、轴和梁所建立的方法（包括建立内力方程和运用微积分关系的快速画法）绘制轴力、扭矩、剪方程和运用微积分关系的快速画法）绘制轴力、扭矩、剪力和弯矩图，力和弯矩图，其中轴力、扭矩和剪力符号必须标出，弯矩的其中轴力、扭矩和剪力符号必须标出，弯矩的符号不标出。符号不标出。坐标轴指向不同，坐标轴指向不同，各内力图符号是否各内力图符号是否相同？是否会画在相同？是否会画在同一侧？同一侧？Page65文献拾

22、疑：文献拾疑：“竖杆侧面看作横杆顶面或底面的延伸部分，竖杆侧面看作横杆顶面或底面的延伸部分，确定标出弯矩图符号确定标出弯矩图符号”是否适合所有情形？是否适合所有情形？qa12aqaqaqa12qa212+M图图qa12qa+Fs图图顶顶顶顶底底底底左左 右右顶顶顶顶底底底底左左 右右竖杆左（右）侧究竟是竖杆左（右）侧究竟是顶还是底面的延伸顶还是底面的延伸 ？能否以内（外）侧概念延伸能否以内（外）侧概念延伸 ？备注：土木类文献弯矩图画在受拉侧。备注：土木类文献弯矩图画在受拉侧。Page66DB012q l012q l0q( )a0q/2l/2lDABC20q l0q ll刚架内力图的画法：刚架内

23、力图的画法：将刚架拆为分段的梁（杆）将刚架拆为分段的梁（杆）由内力方程或微积分关系作图由内力方程或微积分关系作图将分段的内力图组合将分段的内力图组合问题：外力偶应放在那一段梁？问题：外力偶应放在那一段梁？ABCq l0q l012q l012q l0q l200M0M外力偶可放在任意一段梁对应外力偶可放在任意一段梁对应B B点点B B点还应有对应内力偶和铅垂内力点还应有对应内力偶和铅垂内力 （本题未画铅垂内力）（本题未画铅垂内力）Page67sF0q lxM2012q lx2012q l( )b( ) cM018q lsF012q l012q lDB012q l012q l0qABC0q l0

24、12q l012q l0q l( )a0q/2l/2lDABC20q l0q ll刚架拆为分段的梁刚架拆为分段的梁根据微积分关系画图根据微积分关系画图Page68012q l012q l0q lsF 图()d( )e2018q lM图2012q l( )a0q/2l/2lDABC20q l将分段梁的剪力与弯矩图合成为刚架总的剪力弯矩图，将分段梁的剪力与弯矩图合成为刚架总的剪力弯矩图，弯矩图不标正负号。弯矩图不标正负号。轴力、扭矩、剪力图符号是否相同？是否会画在同一侧？轴力、扭矩、剪力图符号是否相同？是否会画在同一侧？弯矩图符号是否相同？是否会画在同一侧？弯矩图符号是否相同？是否会画在同一侧？思

25、考：思考：按上述方法画刚架内力图，按上述方法画刚架内力图，Page69ABqCaa1、求支反力求支反力 FAx=qa FAy=qa/2 Fcy=qa/2FAyFAxFCy2、建立局部坐标建立局部坐标x2x13、分段列内力方程分段列内力方程：CB段：段：Fs=-Fcy=-qa/2 M=qax1/2 FN=0AB段：段：Fs=qa-qx2 M=qax2-qx22/2 FN=qa/2qa/2_+qaFS图图qa2/2qa2/2M图图FN图图qa/2+例：例：列内力方程，画内力图。列内力方程，画内力图。Page70例：例：组合刚架的约束反力分析。组合刚架的约束反力分析。ABqCa/2aa/2aqaqaFByBa/2aF1N1qaN1N2F1F2qaN1=qa F1=FBy=2qaFAyFAxAqCa/2aF2N2MAFAyFAxAqCa/2aFCNCMAqaFByBa/2aFCNCqa思考：思考：中间铰（连同集中力）中间铰（连同集中力）能不能与左边或右边结合？能不能与左边或右边结合？中间铰附近力偶如何处理？中间铰附近力偶如何处理？Page71三、曲梁三、曲梁未受力时，轴线即为曲线的杆件，称为