异面直线所成的角的求法PPT学习教案

1、会计学1异面直线所成的角的求法异面直线所成的角的求法问题一：异面直线的判定问题一：异面直线的判定第1页/共42页第2页/共42页第3页/共42页第4页/共42页第5页/共42页异面直线的证明异面直线的证明:(1)反证法，假设两直线共面，随后导出反证法，假设两直线共面，随后导出矛盾，故两直线异面矛盾，故两直线异面(2)过平面外一点与平面内一点的直线和过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不过该点的直线是异面直线平面内不过该点的直线是异面直线(异面异面直线判定定理直线判定定理)第6页/共42页问题二：求异面直线所成的角问题二：求异面直线所成的角第7页/共42页预备知识预备知识角的知识角的知识正弦定

2、理正弦定理a=2RsinA a=2RsinAS ABC=21bc sinA余弦定理余弦定理ABCbcacosA=bcacb2222 ABCbca第8页/共42页 解决空间角的问题涉及的数学思想主要是解决空间角的问题涉及的数学思想主要是化化归与转化归与转化，即把空间的角转化为平面的角，进而，即把空间的角转化为平面的角，进而转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得。转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得。2.2.方法：方法：3.3.步骤：步骤：求异面直线所成的角：求异面直线所成的角：作（找） 证 点 算1.1.数学思想：数学思想：平移平移 构造可解三角形构造可解三角形第9页/共42页A A1 1

3、B B1 1C C1 1D D1 1A AB BC CD DMNPQBQ=1BN=2QN=5QC=17NC=52CosQNC=522222NCQNQCNCQN第10页/共42页 例例 5、 在正方体在正方体ABCD-ABCD中，棱中，棱长为长为a，E、F分别是棱分别是棱AB，BC的中的中点，求：点，求：异面直线异面直线 AD与与 EF所成角的大小；所成角的大小；异面直线异面直线 BC与与 EF所成角的大小；所成角的大小；异面直线异面直线 BD与与 EF所成角的所成角的大小大小.4560第11页/共42页异面直线异面直线 BC与与 EF所成角的大小所成角的大小；60第12页/共42页90OGAC

4、 AC EF, OG BDBD 与与EF所成的角所成的角即为即为AC与与OG所成的角所成的角, 即为即为AOG或其补角或其补角.平移平移法法补形补形法法第13页/共42页例例6空间四边形空间四边形SABC中，中，SA=SB=SC=AB=BC=CA，E、F分别是分别是SA、BC中点，则异面直线中点，则异面直线EF与与SC所所成的角成的角900第14页/共42页ASBCMNP PMABCPNPBaaaa2a22a42a22a26a46a414a42a414a25510cosPNB第15页/共42页三三例例8.第16页/共42页第17页/共42页第18页/共42页第19页/共42页第20页/共42页

5、第21页/共42页第22页/共42页交于点F.在平面ADE中，过点F作FGDE，与AE相交于点G，连结CG，可以看出：FG与FC所成的角，即为异面直线CF与DE所成的角如图3.第23页/共42页第24页/共42页第25页/共42页第26页/共42页23那样作角，因为此角在几何体内部，易求第27页/共42页第28页/共42页10A为正三角形BCD所在平面外一点，且AB=AC=AD=BC=a，E、F分别是棱AD、BC的中点，连结AF、CE，如图所示，求异面直线AF、CE所成角的余弦值。 ABCDEFG解：连结DF，取DF的中点G，连结EG，CG，又E是AD的中点，故EG/AF，所以GEC（或其补角

6、）是异面直线AF、CE所成的角。.4321aAFEG.43232121aABDFFG.47)21()43(2222aABABFCFGCG.32cosGECEGC中用余弦定理得在异面直线AF、CE所成角的余弦值是 32第29页/共42页11A为正三角形BCD所在平面外一点，且AB=AC=AD=BC=a，E、F分别是棱AD、BC的中点，连结AF、CE，如图所示，求异面直线AF、CE所成角的余弦值。 ABCDEFP另解另解:延长DC至P,使DC=CP，E为AD中点，AP/EC。 故PAF(或其补角)为异面直线AF、CE所成的角。 ,23aAF .27120cos222aPCFCPCFCPF.32aE

7、CAP.32cos,PAFPAF得中应用余弦定理异面直线AF、CE所成角的余弦值是 32第30页/共42页练习1：如图，P为ABC所在平面外一点，PCAB，PC=AB=2，E、F分别为PA和BC的中点。 （1）求证：EF与PC为异面直线；（2）求EF与PC所成的角；（3）求线段EF的长。ABCPEF假设EF与PC不是异面直线, 则EF与PC共面由题意可知其平面为PBC, , ,PPBCPEPBCPAPBCP A B CEPBC平面平面即平面共面平面这与已知P为ABC所在平面外一点矛盾第31页/共42页PABCMN12、空间四边形、空间四边形P-ABC中，中，M，N分分别是别是PB，AC的中的中

8、点，点，PA=BC=4，MN=3，求，求PA与与BC所成的角？所成的角？E第32页/共42页ADCBA1D1C1B1变题变题:已知正方体已知正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，棱长为中，棱长为a.a.O O为底面中心，为底面中心，F F为为DDDD1 1中点中点E E在在A A1 1B B1 1上上, ,求求AFAF与与OEOE所成的角所成的角OEFN第33页/共42页ADCBA1D1C1B12 2、若、若M M为为A A1 1B B1 1的中点，的中点，N N为为BBBB1 1的中点的中点，求异面直线，求异面直线AMAM与与CNCN所成的角；所成的角；

9、NMFE第34页/共42页ABCD第35页/共42页四面体四面体ABCD的棱的棱长均为长均为a, E，F分别分别为棱为棱BC，AD的中点的中点， （1）求异面直线）求异面直线CF和和BD所成的角的所成的角的余弦值。余弦值。 （2）求）求CF与与DE所所成的角。成的角。思考题ABCDEFPQ第36页/共42页异面直线所成的角的求法异面直线所成的角的求法: : 典例剖析例1：如图正方体AC1， 求异面直线AB1和CC1所成角的大小 求异面直线AB1和A1D所成角的大小 D1D1CB1A1ADD1BC1分析 1、做异面直线的平行线 2、说明哪个角就是所求角 3、把角放到平面图形中求解 解: CC1/

10、BB1 AB1和BB1所成的锐角是异面直线AB1和CC1所成的角 在ABB1中，AB1和BB1所成的角是450 异面直线AB1和CC1所成的角是450 。第37页/共42页异面直线所成的角的求法异面直线所成的角的求法: : 典例剖析例1：如图正方体AC1， 求异面直线AB1和CC1所成角的大小 求异面直线AB1和A1D所成角的大小 D1D1CB1A1ADD1BC1分析 1、做异面直线的平行线 2、说明哪个角就是所求角 3、把角放到平面图形中求解 在面A1B1CD中， A1B1 CD A1D/B1C AB1和B1C所成的锐角是异面直线AB1和A1D所成的角 在AB1C中，AB1和CC1所成的角是

11、600 异面直线AB1和A1D所成的角是600 。第38页/共42页DB1A1D1C1ACBDB1A1D1C1ACBDB1A1D1C1ACB正方体正方体ABCD- A1B1C1D1中中,P为为 BB1的中点的中点,如图画出下面各题中指定的异面直线如图画出下面各题中指定的异面直线P异面直线所成的角是锐角或直角，当三角形内角是钝角时，异面直线所成的角是锐角或直角，当三角形内角是钝角时，表示异面直线表示异面直线所成的角是它的补角所成的角是它的补角.第39页/共42页DB1A1D1C1ACB以第三幅图为例，设正方体的棱长为1，求异面直线的夹角FE1EF1如图，补一个与原正方体全等的并与原正方体有公共面的正方体如图，补一个与原正方体全等的并与原正方体有公共面的正方体11111ACEACBD解：根据图像知，或它的补角是与的夹角1111222111111011AC= 2,BD= 3,AE= 5AC +BD =AE ,ACEACE 90则是直角三角形0111A CD B90异面直线与的夹角是补形补形法法把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，把空间图形补成熟悉的或完整的