第9章动量矩定理课件

1、理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社第9章动量矩定理课件理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社第9章动量矩定理课件 91 动量矩动量矩 92 动量矩定理动量矩定理 93 刚体绕定轴转动的微分方程刚体绕定轴转动的微分方程 94 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量 95 质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩定理 96 刚体的平面运动微分方程刚体的平面运动微分方程第第9章章 动量矩定理动量矩定理动力学动力学第第9章章 动量矩定理动量矩定理理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社第9章动量矩定理课件

2、由前一章知，当质心为固定轴上一点时，vC=0，其动量恒为零，质心无运动，但质点系确受外力的作用。动量定理揭示了质点和质点系动量变化与外力主矢的关系；质心运动定理揭示了质心运动与外力主矢的关系。但不是质点系机械运动的全貌。 本章要介绍的动量矩定理，动量矩定理建立了质点和质点系相对于某固定点（固定轴）的动量矩的改变与外力对同一点(轴）之矩两者之间的关系，从另一个侧面揭示出质点系对于某一点的运动规律动力学动力学第第9章章 动量矩定理动量矩定理理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社第9章动量矩定理课件动力学动力学第第9章章 动量矩定理动量矩定理9-1动量矩动量矩 1质点的动

3、量矩质点的动量矩 设质点Q 某瞬时动量为 mv ， 其对O 点的位置为矢径r ， 如图 所示，定义质点Q 的动量对于O 点的矩为质点对点O 的动量矩 定义指点动量mv 在Oxy 平面的投影（mv)xy 对于点O 的矩，为质 点动量对于z 轴的矩，简称对于z 轴的动量矩。分别表示如下理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社第9章动量矩定理课件 质点系对点O动量矩等于各质点对同一点O的动量矩的矢量和，或者称为质点系对点O 的主矩，即vrvMmmO)()()(vvMmMmzzO)(1iiniOOmvML动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点( (轴

4、轴) )转动的强弱。转动的强弱。单位：kg2/s。从图可以看出，质点对于O点的动量矩矢在z轴上的投影，等于对z轴的动量矩。即正负号规定与力对轴矩的规定相同对着轴看：顺时针为负，逆时针为正2质点系的动量矩质点系的动量矩动力学动力学第第9章章 动量矩定理动量矩定理理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社第9章动量矩定理课件刚体平动时刚体平动时，可把质量集中于质点，作为一个质点计算其动量矩； 质点系对某轴z的动量矩等于各质点对同一轴z动量矩的代数和，即)(1iinizzmMLv同理有zzOLL上式表明：质点系对某点质点系对某点O的动量矩矢在通过该点的的动量矩矢在通过该点的z

5、轴上的投影等于质点系对于该轴的动量矩。轴上的投影等于质点系对于该轴的动量矩。 动力学动力学第第9章章 动量矩定理动量矩定理理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社第9章动量矩定理课件niiiniiiiiniiiiiinizzrmrrmrvmmML12111)( v令 ，称为刚体对z轴的转动惯量转动惯量，于是有niiizrmJ12zzJL 即绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与转动角速度于刚体对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积的乘积动力学动力学第第9章章 动量矩定理动量矩定理刚体作定轴转动时，刚体作定轴转动时，对转轴的

6、矩理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社第9章动量矩定理课件动力学动力学第第9章章 动量矩定理动量矩定理刚体的平面运动刚体的平面运动时可以分解为随同质心的平动与绕质心的转动，其对垂直于刚体质量对称平面的固定轴的动量矩，等于刚体随同质心作平动时质心的动量对该轴的动量矩与绕质心轴作转动时的动量矩之和，即:()zzCCLMmJv理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社第9章动量矩定理课件11222321RRvv3232222221)(vRmmRJRJLOOCOBOAOLLLL2332222211)(RvmRvmJJ解解：例例1 滑轮A：m1，R1

7、，R1=2R2，J1 滑轮B：m2，R2，J2 ；物体C：m3 求求系统对O轴的动量矩。动力学动力学第第9章章 动量矩定理动量矩定理理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社第9章动量矩定理课件9-2动量矩定理动量矩定理1质点的动量矩定理质点的动量矩定理)(dddd)(dd)(dd vrvrvrvMmtmtmtmtO对质点动量矩求一次导数，得FrvvvMvrFvmmttmtO)(dddd,)(dd因为)(, 0FMFrvvOm动力学动力学第第9章章 动量矩定理动量矩定理)()(ddFMvMOOmt故理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社第9章

8、动量矩定理课件动力学动力学第第9章章 动量矩定理动量矩定理 上式表示质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩，称为质点动量矩定理。其投影式分别为 )()(dd)()(dd)()(ddFvFvFvzzyyxxMmMtMmMtMmMt)()(ddFMvMOOmt理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社第9章动量矩定理课件2质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理i =1,2,n ; n个方程相加，有n个质点，由质点动量矩定理有)()()(dd)e() i (iOiOiiOmtFMFMvMniiOniiOniiiOmt1)e(1) i (1)()()(ddF

9、MFMvM由于OniiiOniiiOiOtmtmtMLvMvMFdd)(dd)(dd0)(11) i (于是niiOOt1)e()(ddFML动力学动力学第第9章章 动量矩定理动量矩定理理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社第9章动量矩定理课件动力学动力学第第9章章 动量矩定理动量矩定理 上式表明质点系对于某定点O 的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和，（外力对点O 的主矩）称为质点系动量矩定理，其投影式为： niizzniiyyniixxMLtMLtMLt1)e(1)e(1)e()(dd)(dd)(ddFFFniiOOt1)e()(d

10、dFML理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社第9章动量矩定理课件3动量矩守恒定理动量矩守恒定理 如果作用于质点的力对某定点O的矩恒为零，则质点对该点的动量矩保持不变，即恒矢量)( vMmO作用于质点的力对某定轴的矩恒为零，则质点对该轴的动量矩保持不变，即恒量)( vmMz以上结论称为质点动量矩守恒定律质点动量矩守恒定律同理，当外力对某定点（或某定轴）的主矩等于零时，质点系对于该点（或该轴）的动量矩保持不变，这就是质点系动质点系动量矩守恒定律。量矩守恒定律。另外，质点系的内力不能改变质点系的动量矩。动力学动力学第第9章章 动量矩定理动量矩定理理论力学电子教案理论力学

11、电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社第9章动量矩定理课件运动分析： ，2)(mllmlmMOvOMlv , 由动量矩定理即)()(FvOOMmMdtd0sin , sin)(2lgmglmldtd sin)()()(TmglMMMOOOPFF解解：将小球视为质点。受力分析；受力图如图示。例例2 图示单摆已知m，l，t =0时= 0，从静止开始释放。 求求单摆的运动规律。动力学动力学第第9章章 动量矩定理动量矩定理理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社第9章动量矩定理课件注：计算动量矩与力矩时，正负号规定应一致（本题规定逆注：计算动量矩与力矩时，正负号规定应一致

12、（本题规定逆时针转向为正）时针转向为正）质点动量矩定理的应用：质点动量矩定理的应用：在质点受有心力的作用时。质点绕某心（轴）转动的问题。动力学动力学第第9章章 动量矩定理动量矩定理lgn2微幅摆动时，并令 , sin02n 解微分方程,并代入初始条件)0, 0(00ttlgcos0摆动周期lgT2则则运动方程理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社第9章动量矩定理课件解解: 取整个系统为研究对象， 受力分析如图示。 运动分析： v =rPPrPrPMBABAO)()()e(F)(22OBAOBAOJrgPrgPJrvgPrvgPL由动量矩定理：rPPJgrPgrPtB

13、AOBA)()(dd22OBABAgJPrPrPPrgt22)(dd例例3 已知: 。求角加速度。转动惯量 ; ; ; rJPPPOBA动力学动力学第第9章章 动量矩定理动量矩定理理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社第9章动量矩定理课件解解：因 , 0)() e(FOMrvvmrvmABAA)(02vvA猴A与猴B向上的绝对速度是一样的,均为 。2v例例4 已知：猴子A重=猴子B重，猴B以相对绳速度上爬，猴A不动，问当猴B向上爬时，猴A将如何动？动的速度多大？（轮重不计）v动力学动力学第第9章章 动量矩定理动量矩定理故系统的动量矩守恒。理论力学电子教案理论力学电子

14、教案 C 机械工业出版社机械工业出版社第9章动量矩定理课件)(dd ) )(dd )()(dd 12211FFFFnizzzzinizzinizzMtJMJMtJMJt或（也可为或 9-39-3刚体绕定轴的转动微分方程刚体绕定轴的转动微分方程如图示一定轴转动刚体，由质点系对z轴动量矩定理以上各式称为刚体绕定轴转动微分方程以上各式称为刚体绕定轴转动微分方程动力学动力学第第9章章 动量矩定理动量矩定理理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社第9章动量矩定理课件动力学动力学第第9章章 动量矩定理动量矩定理刚体绕定轴转动主要解决两类问题刚体绕定轴转动主要解决两类问题：已知作用

15、在刚体的外力矩，求刚体的转动规律；已知刚体的转动规律，求作用于刚体的外力（矩）。但不能求出轴承处的约束反力，需用质心运动定理求解。特殊情况特殊情况： 若外力矩恒为零，则刚体作匀速转动或保持静止； 若外力矩为常量，则刚体作匀变速转动。 将 比较，刚体的转动惯量的大小体现了刚体转动状态改变的难易程度，是刚体转动惯性的度量。FaFmMJzz ) 与（理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社第9章动量矩定理课件9-4 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量定义定义：刚体对任意轴z的转动惯量定义为：若刚体的质量是连续分布，则：niiizmJ12rmrJzd2转动惯量恒为正值，国际

16、单位制中单位kgm2 。（1）匀质细直杆长为l ,质量为m ，其分别对z和z轴的转动惯量1简单形状物体的转动惯量计算简单形状物体的转动惯量计算2222121d mlxlmxJllz202 31d mlxlmxJlz动力学动力学第第9章章 动量矩定理动量矩定理理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社第9章动量矩定理课件（2）匀质圆环半径R，质量为m ，其对中心轴z的转动惯量为222mRmRRmJiiz（3）匀质圆板半径R，质量为m ，其对中心轴z的转动惯量。任取一圆环，则22dRmppdrrmAAiii2222142d2mRJRprrpJoARoAO或动力学动力学第第9

17、章章 动量矩定理动量矩定理理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社第9章动量矩定理课件2. 回转半径回转半径 定义：mJzz 即物体转动惯量等于该物体质量与回转半径平方的乘积； 对于均质物体，仅与几何形状有关，与密度无关。对于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚体，其回转半径是相同的。2zzmJ 则动力学动力学第第9章章 动量矩定理动量矩定理理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社第9章动量矩定理课件3. 平行移轴定理平行移轴定理 刚体对于某轴的转动惯量，等于刚体对于过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体刚体质量与轴距平方的乘积，

18、即2mdJJzCz证明证明：设质量为m的刚体，质心为C，/ /COzCz动力学动力学第第9章章 动量矩定理动量矩定理22()ziiiJm xy222221()2CziiiiiiiiJm xydm xydm ydm在坐标系Oxyz中，其质心坐标： /Ciiym ymd2CzzJJmd即：理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社第9章动量矩定理课件当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计算每一部分(物体)的转动惯量, 然后再加起来就是整个整个物体的转动惯量。 若物体有空心部分, 要把此部分的转动惯量视为负值来处理。4计算转动惯量的组合法计算转动惯量的组合法动力学动力学

19、第第9章章 动量矩定理动量矩定理理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社第9章动量矩定理课件动力学动力学第第9章章 动量矩定理动量矩定理盘杆OOOJJJ222221)(2131RlmRmlm)423(213122221lRlRmlm解解：例例5 钟摆： 均质直杆m1, l ； 均质圆盘：m2 , R 。 求 JO 。理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社第9章动量矩定理课件例例6 提升装置中，轮A、B的重量分别为P1 、 P2 ,半径分别为 r1 、 r2 , 可视为均质圆盘; 物体C 的重量为P3 ; 轮A上作用常力矩M1 。求：求： 物

20、体C上升的加速度。动力学动力学第第9章章 动量矩定理动量矩定理理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社第9章动量矩定理课件动力学动力学第第9章章 动量矩定理动量矩定理 取轮B 连同物体C 为研究对象 (2) )21(dd232T232222rPrFvrgPrgPt 补充运动学条件 112222 ,rarvr 化简(1) 得： 化简(2) 得： 3T3222PFagPPT1112FrMagPgPPPPrMa22/321311(1) 211T11211rFMrgP解解: 取轮A 为研究对象 理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社第9章动量矩定理

21、课件1.1.对质心的动量矩对质心的动量矩CCiiiiiLMmvrmv有有CiiirLrmv由于由于iCirvvvCiiCiiirLrmvrmv得得( )0iiCiiCrmvm rv其中其中(,0)Ci iCi imrmr mrmr因9-5质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩定理动力学动力学第第9章章 动量矩定理动量矩定理理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社第9章动量矩定理课件即：质点系相对质心的动量矩，无论是以相对速度还是以绝对即：质点系相对质心的动量矩，无论是以相对速度还是以绝对速度计算，质点系对于质心的动量矩的结果相同速度计算，质点系对于质心的

22、动量矩的结果相同.OiiiCiiiCiiiiiLrmvrrmvrmvrmv,iiCiiiCmvm vrmvLOCCCLrmvLOCCMmvL对任一点对任一点O的动量矩：的动量矩：动力学动力学第第9章章 动量矩定理动量矩定理理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社第9章动量矩定理课件 ddddeOCCCiiLrmvLrFtt2 2 相对质心的动量矩定理相对质心的动量矩定理 eeCiiirFrFdd,0ddCCCCrrvmvtt由于由于ddddddCCCCCrLmvrmvttt即即动力学动力学第第9章章 动量矩定理动量矩定理理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出

23、版社机械工业出版社第9章动量矩定理课件 ddeeCCCCCCiiiLvmvrmarFrFt由此可得： eCCCirmarF又由于得： d()deeCiiCiLrFMFt即质点系对质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力质点系对质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对质心力矩的矢量和，对质心力矩的矢量和，称为质点系对质心的动量矩定理。质点系对质心的动量矩定理。质点系相对于质心和固定点的动量矩定理，具有完全相似的数学形质点系相对于质心和固定点的动量矩定理，具有完全相似的数学形式，而对于质心以外的其它动点，一般并不存在这种简单的关系式，而对于质心以外的其它动点，一般并不存在这种简单

24、的关系动力学动力学第第9章章 动量矩定理动量矩定理理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社第9章动量矩定理课件 如图所示一平面运动刚体， D为刚体上任一点，C为质心，Cxy为固连于质心的平移参考系，刚体的运动可分解为随质心的平移和绕质心的转动两个部分。该刚体上作用有力系F1，F2，F3，Fn，则应用质心运动定理和相对于质心的动量矩定理，得)()(dd )e()e(FFaCCCCMJJtm9-6刚体的平面运动微分方程刚体的平面运动微分方程 CCJL动力学动力学第第9章章 动量矩定理动量矩定理理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社第9章动量矩定

25、理课件动力学动力学第第9章章 动量矩定理动量矩定理 也可写成 )(dd dd)e(22)e(22FFrCCCCmJtJtm 以上两式称为刚体的平面运动微分方程刚体的平面运动微分方程。应用时，前一式取投影式。 )(dd dddd)e(22)e(22)e(22FCCCyCxCmJtJFtymFtxm理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社第9章动量矩定理课件例例7 质量为m半径为R的均质圆轮置放于倾角为q的斜面上，在重力作用下由静止开始运动。设轮与斜面间的静、动滑动摩擦系数为f、f ，不计滚动摩阻，试分析轮的运动。解解：取轮为研究对象。 受力分析如图示。 运动分析：取直角

26、坐标系 Oxy aC y =0，aC x =aC 一般情况下轮作平面运动。 根据平面运动微分方程，有动力学动力学第第9章章 动量矩定理动量矩定理理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社第9章动量矩定理课件动力学动力学第第9章章 动量矩定理动量矩定理由2式得qcosNmgF SsinFmgmaCqNcos 0FmgqRFJCS12341 ，3两式中含有三个未知数aC 、FS、 ，需补充附加条件。1设接触面绝对光滑，即f = f =0常量。q , 0 ,sin , 0SgaFC 讨论讨论因为轮由静止开始运动，故 0，轮沿斜面平动下滑，轮沿斜面平动下滑。理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社第9章动量矩定理课件3设轮与斜面间有滑动，轮又滚又滑。FS=fFN，可解得qqqqcos ,cos2 ,)cos(sinSmgfFRgfgfaC轮作纯滚动的条件：qqcossin31Nm