从一道典型的例题谈排列组合问题的解法

1、从一道典型的例题谈排列组合问题的解法 排队、排数、抽样和分组是排列组合题中最为典型的问题.下面仅以7人排队的典型问题为例，介绍求解排列组合问题的基本方法，希望能够对同学们学好这部分知识有所帮助. 题目:7位同学排成一列，按下列要求各有多少种不同的排法？ (1)甲必须在中间； (2)首末不排甲； (3)甲、乙、丙必须相邻； (4)甲、乙、丙任何两人都不相邻且全不排首位； (5)甲必须站在乙的右边（不一定相邻）； (6)甲不站首位，乙不站末位； (7)丁居中，甲、乙、丙排两边； (8)分成左3右4两组，且甲在左组，乙在右组； (9)恰有3人的编号与站位编号相同； (10)从左到右分成a、b、c、d

2、四组，要求每组至少有1人. 解析:(1)特元法：当某个（或几个）元素有特殊的限制，求解时须优先安排特殊元素的方法. 先排特殊元素p11，再排其余6个元素p66.故n= p11p66=720. (2)特位法：当某个（或几个）元素位置有特殊的限制，求解时须优先安排特殊位置的方法. 先让除甲外的6人中选2人去占两特殊位置“首末”的种数p26，再排其余的位置 .故n=p26p55=3600. （3）捆绑法：当要求某些元素必须排在一起，求解时可先把这些元素捆绑成一个“合元素”，与其余元素进行排列，然后再进行“合元素”内排列的方法. 把甲、乙、丙3人看成一个“人”，先进行5个人的全排列p55，再进行由甲、

3、乙、丙3人合并的“人”内部全排列p33.故n=p55p33=720. (4)插空法：当要求某些元素互不相邻，求解时可先把其余的元素排列，再把这些元素依空插入的方法. 先把除甲、乙、丙外的4人全排列p44，再从这4人之间和末端的共4个“空位”中选出3个“空位”排入甲、乙、丙3人p34.故n= p44p34=576. (5)概率法：当元素的排列出现“等可能”现象，求解时可用全排列数乘以概率数得到结果. 因为“甲左乙右”与“甲右乙左”各占总排列数的一半.故有n= 12p77 =2520. (6)二分法：当可由某元素“取与不取”、“含与不含”、“在与不在”等，把事件划分为两个互相对立的事件，求解时可以

4、列出“二分表”进行求解的方法. 先以甲是否站首位划分事件，再在甲不站首位的情形下，以乙是否站末位划分的事件. 7人并排 （p77）甲站首位(p11p66) 甲不站首位 乙站末位（15p55) 乙不站末位 故n= p77-p66-p15p55=3720 . (7)扣除法：当限制条件的反面很明确，求解时可先不考虑限制条件，求出方法总数，然后再扣除不合限制条件的种数. 先求“丁居中”但不考虑限制条件“甲、乙、丙”排两边的种数 p12p66.再求“丁居中”且“甲、乙、丙排在一边”（限制条件的反面）的种数p33p33p22.故 故n=p11p66-p33p22=648. (8)先组合排法：当牵涉到分组和

5、排列的综合，求解时通常采用先组合后排列分步解决的方法. 先在除甲、乙外的5人中取2人与甲在左组全排c25p33，再把余下的4人在右组全排p44. 故n=c25p33p44=1440. (9)穷举法：第一步求出与“编号”与“站位编号”相同的三人种数为c37；第二步求余下“编号”与“站位编号”不相同的四人的种数（9种），不妨假设余下的四人编号分别为3、4、5、6，其排法列表穷举如表. (10)变换命题法：当直接切题较繁或较难，求解时可对原问题作一等价转化后求解的方法. 按照题意，每组人数有三种类型：即一一一四型、一一二三型、一二二二型，先把7人全排列p77，下面把本问较难操作的分组问题等价转化为较易操作的分隔问题，把全排列后的7人看成一字摆开的7个完全相同的小球，用3块木板放在由他们形成的6个空档间，分隔成4组，显然每组的人数都有1、2、3、4四种可能，所以不同的分组种数就是3块小木板的不同放法种数c36.故n=p77c36=100800. 请同学们注意的是，上述诸多方法之间并不是相互