极限运算法则PPT学习教案

1、会计学1极限运算法则极限运算法则时, 有,min21定理定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 .证证: 考虑两个无穷小的和 .设,0lim0 xx,0lim0 xx,0,01当100 xx时 , 有2, 02当200 xx时 , 有2取则当00 xx22因此.0)(lim0 xx这说明当0 xx 时,为无穷小量 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共26页说明说明: 无限个无限个无穷小之和不一定不一定是无穷小 !例如，例如，22233312limnnnnn13 机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似可证: 有限个有限个无穷小之和仍为无穷小 . 1,nn 时是又 如无 穷 小 ，.1

2、1不不是是无无穷穷小小之之和和为为个个但但nn第2页/共26页证证: 设, ),(10 xxMu 又设,0lim0 xx即,020, 当),(20 xx时, 有M取,min21则当),(0 xx时 , 就有uuMM故,0lim0uxx即u是0 xx 时的无穷小 .推论推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 .推论推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共26页oyx.sinlimxxx解解: 1sinx01limxx由定理 2 可知.0sinlimxxxxxysin说明说明 : y = 0 是xxysin的渐近线 .机动 目录 上页 下页 返回

3、 结束 第4页/共26页,)(lim,)(limBxgAxf则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf证证: 因,)(lim,)(limBxgAxf则有BxgAxf)(,)(其中,为无穷小) 于是)()()()(BAxgxf)()(BA由定理 1 可知也是无穷小, 再利用极限与无穷小BA的关系定理 , 知定理结论成立 .定理定理 3 . 若机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共26页,)(lim,)(limBxgAxf且),()(xgxf则.BA)()()(xgxfx利用保号性定理证明 .说明说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 .提示提示: 令机动 目录 上

4、页 下页 返回 结束 第6页/共26页,)(lim,)(limBxgAxf则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf提示提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 .说明说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 .推论推论 1 .)(lim)(limxfCxfC( C 为常数 )推论推论 2 .nnxfxf )(lim)(lim( n 为正整数 )例例2. 设 n 次多项式,)(10nnnxaxaaxP试证).()(lim00 xPxPnnxx证证:)(lim0 xPnxx0axaxx0lim1nxxnxa0lim)(0 xPnBA机动 目录 上页 下页 返回 结束

5、第7页/共26页为无穷小(详见详见P44)B2B1)(1xg)(0 xx,)(lim,)(limBxgAxf且 B0 , 则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf证证: 因,)(lim,)(limBxgAxf有,)(,)(BxgAxf其中,设BAxgxf)()(BABA)(1BB)(ABBA因此由极限与无穷小关系定理 , 得BAxgxf)()(lim)(lim)(limxgxfBAxgxf)()(为无穷小,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共26页,lim,limByAxnnnn则有)(lim) 1 (nnnyx nnnyxlim)2(,00)3(时且当BynBAyxn

6、nnlimBABA提示提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由定理3 , 4 , 5 直接得出结论 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共26页31lim3xxx,)()()(xQxPxR其中)(, )(xQxP都是多项式 ,0)(0 xQ试证: . )()(lim00 xRxRxx证证: )(lim0 xRxx)(lim)(lim00 xQxPxxxx)()(00 xQxP)(0 xR说明说明: 若,0)(0 xQ不能直接用商的运算法则 .例例4.934lim223xxxx)3)(3() 1)(3(lim3xxxxx6231 若机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10

7、页/共26页.4532lim21xxxx解解: x = 1 时3245lim21xxxx0312415124532lim21xxxx分母 = 0 , 分子0 ,但因机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共26页.125934lim22xxxxx解解: x时,分子.22111125934limxxxxx分子分母同除以,2x则54分母原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共26页为非负常数 )nmba,0(00mn 当mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00ba,0,机动 目录 上页 下页 返回 结束 mn 当mn 当第13页/共26页定理定理7. 设0lim

8、( ),xxxa且 x 满足100 xx时,( ),xa又lim( ),( ),uaf uA ux则有0lim ( )xxfxAufau)(lim证证: Aufau)(lim,0,0当au0时, 有 Auf)(0lim( )xxxa,0,02当200 xx时, 有( ) xa对上述取,min21则当00 xx时( ) xaau 故0Axf)(Auf)(,因此式成立.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共26页定理定理7. 设0lim ( ),xxxa且 x 满足100 xx时,( ),xa又则有0lim ( )xxfxAufau)(lim 说明说明: 若定理中若定理中0lim ( )

9、,xxx 则类似可得0lim ( )xxfxAufu)(lim机动 目录 上页 下页 返回 结束 lim( ),( ),uaf uA ux第15页/共26页解解: 令.93lim23xxx932xxu已知ux3lim61 原式 =uu61lim6166机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共26页解解:.11lim1xxx11lim1xxx1) 1)(1(lim1xxxx) 1(lim1xx2机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共26页1. 极限运算法则(1) 无穷小运算法则(2) 极限四则运算法则(3) 复合函数极限运算法则注意使用条件！使用条件！2. 求函数极限的方法(1

10、) 分式函数极限求法0) 1xx 时, 用代入法( 分母不为 0 )0)2xx 时, 对00型 , 约去公因子x)3时 , 分子分母同除最高次幂(2) 复合函数极限求法设中间变量机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共26页思考思考题题若若0)( xf，且且Axfx )(lim，问问：能能否否保保证证有有0 A的的结结论论？试试举举例例说说明明.第19页/共26页思考题解答思考题解答不能保证不能保证.例例xxf1)( , 0 x有有01)( xxf )(limxfx. 01lim Axx第20页/共26页._1sinlim520 xxx、._33lim132 xxx、一、填空题一、填空

11、题:._11lim231 xxx、._)112)(11(lim32 xxxx、._5)3)(2)(1(lim43 nnnnn、._coslim6 xxxeex、练练 习习 题题第21页/共26页._2324lim72240 xxxxxx、._)12()23()32(lim8503020 xxxx、二、求下列各极限二、求下列各极限:)21.41211(lim1nn 、hxhxh220)(lim2 、)1311(lim331xxx 、第22页/共26页38231lim4xxx 、)(lim5xxxxx 、1412lim6 xxx、2lim71 nmnmxxxxx、第23页/共26页一一、1 1、-