构造法求数列通项公式专题讲座PPT学习教案

1、会计学1构造法求数列通项公式专题讲座构造法求数列通项公式专题讲座用，此时可用构造法求解。第1页/共28页第2页/共28页1nnap a1qp1nqap1111nnqqaappp11,0,0nnapaq ppq第3页/共28页11,0,0nnapaq ppq*111,21nnaaanN111,21nnaaa1121nnaa112a 1111212nnnaa 21nna 解解:因为,得且. 所以.从而得.第4页/共28页nnnaaaa求：已知练习, 32, 3111323nna答案：nnnanaaa求：已知练习)2( , 43, 92111)31(81nna答案：类型1形如 的递推式11,0,0n

2、napaq ppq第5页/共28页 nannS585nnSna na11,0,0nnapaq ppq第6页/共28页类型2形如 的递推式 nb nf解法：只需构造数列构造数列，消去，消去带来的差异差异 nfpaann11nqqqaqpqannnn111 nbnnnqab qbqpbnn11一般地，要先在原递推公式两边同除同除以，得：引入辅助数列引入辅助数列（其中（其中），得：），得：再再用用待定系数法解决。待定系数法解决。第7页/共28页 na651a11)21(31nnnaana11)21(31nnnaa12n1)2(32211nnnnaannnab 21321nnbbnnb)32(23nn

3、nnnba)31(2)21(32例例2、已知数列已知数列中，中，求解：在解：在两边乘以得：令令，则,解之得：所以类型2形如 的递推式 nfpaann1第8页/共28页 na2214nnnaSna已知数列前n项和求 通项公式.2214nnnaS111214nnnaS)2121()(1211nnnnnnaaSS11121nnnnaaannnaa21211由得：于是所以.nnnqpaa1第9页/共28页12n22211nnnnaa1214121111aaSanna2nnann2) 1(22212nnna上式两边同乘以得：由.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以第10页/共28页111232

4、, 3nnnaaana322,2321111nnnnnnnaaaa232, 322111aaannnn又nna2232333) 1(232nnann112)36()233(22nnnnna解：解： 构成了一个以 首项 ，公差为3的等差数列， 第11页/共28页nnnnanaaa求：已知练习)2( ,55, 52111nnna5)45(答案：nnnnanaaa求：已知练习)2( ,221, 13111nnnnnnna11221212答案：第12页/共28页banpaann1)() 1(1yxnapynxannyx,yxnanCBnAnpaann21)(2CBnAnapbnn同样令第13页/共28

5、页na)2( , 123, 411nnaaannnaBAnbaB，Anabnnnn则1,nnaa12) 1(31nBnAbBAnbnn) 133()23(31ABnAbn13323ABBAA11BA1nabnn取13nnbb61bnnnb32361132nann例例4:设数列：，求.解：设，将代入递推式，得（）则,又，故代入（）得第14页/共28页)(nfn)(2CBnAnapbnn1231naann1) 1(2321naann3n2)( 3211nnnnaaaannnqbpbb12第15页/共28页 nannS2*111,21nnaaSnnnN na练习练习1 数列前项和为,且，求数列，求数

6、列的通项公式。的通项公式。练习练习2 在数列an中，a1=1，an+1=4an+3n+1，求数列an通项。543221nnaann练习a1=1求数列an通项。第16页/共28页类型类型四四：已知 （利用取倒数法，构造等差数列）。为公差的等差数列。为首项，以是以分析：取倒数，pdaapdapapdaannnnn11111111第17页/共28页 na21annnaaa311na例例5：数列中，若，则，则31311,3111nnnnnnnaaaaaaanaa1,211121562,2562533) 1(211nannnann解： 又是首项为公差3的等差数列。第18页/共28页 nannnaaaa3

7、12, 211nannnnnnnaaaaaaa121232311,312113,232),1(2111则令nnaa2531),31(213111aaann又31na252111)21(2531,)21(2531nnnnaa1)21(2531nna例例6数列中，求解：是首项为公比为的等比数列第19页/共28页nnnnanaaaa求通项：已知练习, 2,13, 31111893nan答案：nnnnnaaaaaa求通项：已知练习,02, 32111563nan答案：nnnnnssaasn, 2,122, 1321项和求前：已知练习121nsn答案：第20页/共28页类型4补充形如 的递推式.10,0

8、nnnaabacadbccad，axbxcxdnnnaba nb1nnba nb基本思路：基本思路：一般的,设是递推关系的特征方程的两个根.(1)当时,可令,则为等比数列;(2) 当时,可令,则为等差数列。.nnnaba第21页/共28页 na11324,4nnnaaaa na1324nnnaaa324xxx122,1xx 11225101,244nnnnnnaaaaaa 11112252nnnnaaaa12nnaa14a 11131262aa1112225nnnaa11125252nnnnna例例7 在数列中, 求数列的通项公式。解解:由于的特征方程的两根为,所以,两式相除得,.则数列为等比

9、数列.因为,所以,所以,所以.第22页/共28页na,Nn.325131nnnaaa例例8已知数列满足：对于都有, 61a;na若求.32513xxx, 025102xx解：作特征方程变形得, 5, 61a.1a.,811) 1(11Nnnrprnabn, 0nb.7nn. 0bN,nn.N,7435581111nnnnbann令则对于第23页/共28页2( )(0)2axbf xaaxd类型5形如 的递推式2( )(0)2axbf xaaxdxx12、f x( )anaf ann()12,3,n 2111122()nnnnaxaxaxax11120axax12lnnnaxax2定理定理 设，

10、且是的不动点，数列满足递推关系，则有；若，则是公比为的等比数列。第24页/共28页nx14x 21324nnnxxxnx例例9 9（20102010北京东城区二模试题）北京东城区二模试题）已知数列满足，求数列的通项公式21324nnnxxx23( )24xf xx( )f xx121,3xx2213(1)112424nnnnnxxxxx 2213(3)332424nnnnnxxxxx2111133nnnnxxxx111413343xx133111log2log33nnnnxxxx解：依题，记，令，求出不动点；由定理知：，所以，又，所以第25页/共28页11121231313131nnnnanax所以1311l